Elektrische potentielle Energie - Electric potential energy

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v T e

Elektrische potentielle Energie ist eine potentielle Energie (gemessen in Joule ), die aus konservativen Coulomb-Kräften resultiert und mit der Konfiguration eines bestimmten Satzes von Punktladungen innerhalb eines definierten Systems verbunden ist . Ein Objekt kann aufgrund von zwei Schlüsselelementen elektrische potentielle Energie haben: seine eigene elektrische Ladung und seine relative Position zu anderen elektrisch geladenen Objekten .

Der Begriff „elektrische potentielle Energie“ wird verwendet, um die potentielle Energie in Systemen mit zeitvarianten elektrischen Feldern zu beschreiben , während der Begriff „elektrostatische potentielle Energie“ verwendet wird, um die potentielle Energie in Systemen mit zeitinvarianten elektrischen Feldern zu beschreiben.

Definition

Die elektrische potentielle Energie eines Systems von Punktladungen ist definiert als die Arbeit, die erforderlich ist, um dieses Ladungssystem zusammenzusetzen, indem sie wie im System aus unendlicher Entfernung zusammengebracht werden. Alternativ wird die elektrische potentielle Energie einer gegebenen Ladung oder eines gegebenen Ladungssystems als die Gesamtarbeit bezeichnet, die von einem externen Agenten geleistet wird, um die Ladung oder das Ladungssystem von Unendlich in die gegenwärtige Konfiguration zu bringen, ohne einer Beschleunigung zu unterliegen.

Die elektrostatische potentielle Energie lässt sich auch wie folgt aus dem elektrischen Potential definieren:

Die elektrostatische potentielle Energie U _E einer Punktladung q an Position r in Gegenwart eines elektrischen Potentials ist definiert als das Produkt aus Ladung und elektrischem Potential. ${\displaystyle \Phi}$

${\displaystyle U_{\textrm{E}}(\mathbf{r})=q\Phi(\mathbf{r})}$,

wo ist das von den Ladungen erzeugte elektrische Potential , das eine Funktion der Position r ist .${\displaystyle \Phi}$

Einheiten

Die SI- Einheit der elektrischen potentiellen Energie ist Joule (benannt nach dem englischen Physiker James Prescott Joule ). Im CGS - System der ERG ist die Energieeinheit, gleich 10 ^-7 Joules. Es können auch Elektronenvolt verwendet werden, 1 eV = 1,602 × 10 ^–19 Joule.

Elektrostatische potentielle Energie einer Punktladung

Eine Punktladung q in Gegenwart einer anderen Punktladung Q

Eine Punktladung q im elektrischen Feld einer anderen Ladung Q.

Die elektrostatische potentielle Energie U _E einer Punktladung q an Position r in Gegenwart einer Punktladung Q , wobei eine unendliche Trennung zwischen den Ladungen als Bezugsposition genommen wird, ist:

wobei die Coulomb-Konstante ist , r der Abstand zwischen den Punktladungen q und Q ist und q und Q die Ladungen sind (nicht die absoluten Werte der Ladungen – dh ein Elektron hätte einen negativen Ladungswert, wenn es in die Formel eingesetzt wird) . Die folgende Beweisskizze gibt die Herleitung aus der Definition der elektrischen potentiellen Energie und dem Coulombschen Gesetz zu dieser Formel an. ${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi\varepsilon_{0}}}}$

Gliederung des Beweises  —

Die auf eine Ladung q wirkende elektrostatische Kraft F kann als elektrisches Feld E geschrieben werden als

$${\displaystyle\mathbf{F} =q\mathbf{E},}$$

Definitionsgemäß ist die Änderung der elektrostatischen potentiellen Energie U _E einer Punktladung q , die sich von der Referenzposition r _ref in die Position r bewegt hat, in Gegenwart eines elektrischen Feldes E das Negative der Arbeit, die von der elektrostatischen Kraft an geleistet wird bringe es von der Referenzposition r _ref zu dieser Position r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r} _{\rm{ref}}}^{r}q\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} .}$$

wo:

• r = Position der Ladung q im 3D-Raum unter Verwendung kartesischer Koordinaten r = ( x , y , z ), wobei die Position der Q- Ladung bei r = (0,0,0), dem Skalar r = | r | ist die Norm des Ortsvektors,
• d s = differentieller Verschiebungsvektor entlang eines Pfades C von r _ref nach r ,
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$ist die Arbeit, die die elektrostatische Kraft verrichtet, um die Ladung von der Referenzposition r _ref nach r zu bringen ,

Normalerweise wird U _E auf Null gesetzt, wenn r _ref unendlich ist:

$${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty)=0}$$

so

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int_{\infty}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

Wenn die Krümmung ∇ × E null ist, hängt das obige Linienintegral nicht von dem spezifischen gewählten Pfad C ab , sondern nur von seinen Endpunkten. Dies geschieht in zeitinvarianten elektrischen Feldern. Wenn über elektrostatische potentielle Energie gesprochen wird, wird immer von zeitinvarianten elektrischen Feldern ausgegangen, in diesem Fall ist das elektrische Feld also konservativ und das Coulomb-Gesetz kann verwendet werden.

Unter Verwendung des Coulomb-Gesetzes ist bekannt, dass die elektrostatische Kraft F und das elektrische Feld E, die durch eine diskrete Punktladung Q erzeugt werden, radial von Q aus gerichtet sind . Aus der Definition des Ortsvektors r und des Verschiebungsvektors s folgt, dass auch r und s radial von Q aus gerichtet sind . Also müssen E und d s parallel sein:

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\ Mathe {d} s}$$

Nach dem Coulomb-Gesetz ist das elektrische Feld gegeben durch

$${\displaystyle |\mathbf{E} |=E={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{Q}{s^{2}}}}$$

und das Integral lässt sich leicht auswerten:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int_{\infty}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int_{\infty} ^{r}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1 }{4\pi \varepsilon_{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

Eine Punktladung q in Gegenwart von n Punktladungen Q _i

Elektrostatische potentielle Energie von q aufgrund des Ladungssystems von Q ₁ und Q ₂ :${\displaystyle U_{E}=q{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

Die elektrostatische potentielle Energie U _E einer Punktladung q in Gegenwart von n Punktladungen Q _i , wobei eine unendliche Trennung zwischen den Ladungen als Bezugsposition genommen wird, ist:

wobei die Coulomb-Konstante ist , r _i der Abstand zwischen den Punktladungen q und Q _i ist und q und Q _i die zugewiesenen Werte der Ladungen sind. ${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi\varepsilon_{0}}}}$

In einem System von Punktladungen gespeicherte elektrostatische potentielle Energie

Die in einem System von N Ladungen q ₁ , q ₂ , …, q _N an den Positionen r ₁ , r ₂ , …, r _N gespeicherte elektrostatische potentielle Energie U _E ist:

wobei für jeden i- Wert Φ( r _i ) das elektrostatische Potential aufgrund aller Punktladungen außer der bei r _i ist und gleich ist:

$${\displaystyle \Phi(\mathbf{r}_{i})=k_{e}\sum _{j=1,...,N\,(j\neq i)}{\frac {q_{j }}{\mathbf{r}_{ij}}},}$$

Gliederung des Beweises  —

Die in einem System aus zwei Ladungen gespeicherte elektrostatische potentielle Energie U _E ist gleich der elektrostatischen potentiellen Energie einer Ladung im elektrostatischen Potential, die von der anderen erzeugt wird. Das heißt, wenn die Ladung q ₁ ein elektrostatisches Potential Φ _{1 erzeugt} , das eine Funktion des Ortes r ist , dann

$${\displaystyle U_{\textrm{E}}=q_{2}\Phi_{1}(\mathbf{r}_{2}).}$$

Durch die gleiche Berechnung in Bezug auf die andere Ladung erhalten wir

$${\displaystyle U_{\textrm{E}}=q_{1}\Phi_{2}(\mathbf{r}_{1}).}$$

Die elektrostatische potentielle Energie wird von und geteilt , so dass die gesamte gespeicherte Energie ${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle U_{E}={\frac{1}{2}}\left[q_{2}\Phi_{1}(\mathbf{r}_{2})+q_{1}\Phi_ {2}(\mathbf{r}_{1})\right]}$$

Dies lässt sich so verallgemeinern, dass die elektrostatische potentielle Energie U _E, die in einem System von N Ladungen q ₁ , q ₂ , …, q _N an den Positionen r ₁ , r ₂ , …, r _N gespeichert ist, ist:

$${\displaystyle U_{\mathrm{E}}={\frac{1}{2}}\sum_{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf{r}_{i} ).}$$

In einem System mit einer Punktladung gespeicherte Energie

Die elektrostatische potentielle Energie eines Systems, das nur eine Punktladung enthält, ist Null, da es keine anderen Quellen elektrostatischer Kräfte gibt, gegen die ein externer Agent Arbeit leisten muss, um die Punktladung von Unendlich zu ihrem endgültigen Ort zu bewegen.

Eine häufige Frage stellt sich hinsichtlich der Wechselwirkung einer Punktladung mit ihrem eigenen elektrostatischen Potential. Da diese Wechselwirkung die Punktladung selbst nicht bewegt, trägt sie nicht zur gespeicherten Energie des Systems bei.

In einem System mit zwei Punktladungen gespeicherte Energie

Betrachten Sie, eine Punktladung q in ihre endgültige Position in der Nähe einer Punktladung Q _{1 zu bringen} . Das elektrostatische Potential Φ( r ) aufgrund von Q ₁ ist

$${\displaystyle \Phi(r)=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$$

Damit erhalten wir die elektrische potentielle Energie von q im Potential von Q ₁ als

$${\displaystyle U_{E}={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{qQ_{1}}{r_{1}}}}$$

Energie, die in einem System von Dreipunktladungen gespeichert ist

Die elektrostatische potentielle Energie eines Systems aus drei Ladungen sollte nicht mit der elektrostatischen potentiellen Energie von Q ₁ aufgrund zweier Ladungen Q ₂ und Q ₃ verwechselt werden , da letztere die elektrostatische potentielle Energie des Systems der beiden Ladungen nicht einschließt Q ₂ und Q ₃ .

Die im System der drei Ladungen gespeicherte elektrostatische potentielle Energie ist:

$${\displaystyle U_{\textrm{E}}={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\left[{\frac{Q_{1}Q_{2}}{r_{12 }}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Gliederung des Beweises  —

Mit der in ( 1 ) angegebenen Formel lautet die elektrostatische potentielle Energie des Systems der drei Ladungen dann:

$${\displaystyle U_{\mathrm{E}}={\frac{1}{2}}\left[Q_{1}\Phi (\mathbf{r}_{1})+Q_{2}\Phi ( \mathbf{r}_{2})+Q_{3}\Phi (\mathbf{r}_{3})\right]}$$

Wo ist das elektrische Potential in r ₁ erzeugt durch die Ladungen Q ₂ und Q ₃ , ist das elektrische Potential in r ₂ erzeugt durch die Ladungen Q ₁ und Q ₃ und ist das elektrische Potential in r ₃ erzeugt durch die Ladungen Q ₁ und Q ₂ . Die Potenziale sind: ${\displaystyle \Phi (\mathbf{r}_{1})}$${\displaystyle \Phi(\mathbf{r}_{2})}$${\displaystyle \Phi(\mathbf{r}_{3})}$

$${\displaystyle \Phi(\mathbf{r}_{1})=\Phi_{2}(\mathbf{r}_{1})+\Phi_{3}(\mathbf{r}_{1 })={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{Q_{2}}{r_{12}}}}+{\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$

$${\displaystyle \Phi(\mathbf{r}_{2})=\Phi_{1}(\mathbf{r}_{2})+\Phi_{3}(\mathbf{r}_{2 })={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{Q_{1}}{r_{21}}}}+{\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$

$${\displaystyle \Phi(\mathbf{r}_{3})=\Phi_{1}(\mathbf{r}_{3})+\Phi_{2}(\mathbf{r}_{3 })={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{Q_{1}}{r_{31}}}}+{\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

Wobei r _ij der Abstand zwischen Ladung Q _i und Q _{j ist} .

Wenn wir alles hinzufügen:

$${\displaystyle U_{\textrm{E}}={\frac{1}{2}}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\left[{\frac{Q_{1 }Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_ {21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\ frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

Schließlich erhalten wir, dass die elektrostatische potentielle Energie, die im System von drei Ladungen gespeichert ist:

$${\displaystyle U_{\textrm{E}}={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\left[{\frac{Q_{1}Q_{2}}{r_{12 }}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

In einer elektrostatischen Feldverteilung gespeicherte Energie

Die Energiedichte oder Energie pro Volumeneinheit des elektrostatischen Feldes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ist: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon_{0}\left|{\mathbf{E}}\right|^{ 2}.}$$

Gliederung des Beweises  —

Man kann die Gleichung für die elektrostatische potentielle Energie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung auf das elektrostatische Feld setzen .

Da das Gaußsche Gesetz für elektrostatische Felder in differentiellen Formzuständen

$${\displaystyle \mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon_{0}}}}$$

wo

• ${\displaystyle \mathbf{E}}$ ist der elektrische Feldvektor
• ${\displaystyle \rho}$ist die Gesamtladungsdichte einschließlich Dipols Ladungen gebunden in einem Material
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ist die Permittivität des freien Raums ,

dann,

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\& ={\frac{1}{2}}\int\limits_{\text{aller Raum}}\varepsilon_{0}(\mathbf{\nabla} \cdot {\mathbf{E}})\Phi\ ,dV\end{ausgerichtet}}}$$

also, jetzt unter Verwendung der folgenden Divergenzvektoridentität

$${\displaystyle\nabla\cdot(\mathbf{A}{B})=(\nabla\cdot\mathbf{A}){B}+\mathbf{A}\cdot(\nabla{B})\Rightarrow ( \nabla\cdot\mathbf{A}){B}=\nabla\cdot(\mathbf{A}{B})-\mathbf{A}\cdot(\nabla{B})}$$

wir haben

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon_{0}}{2}}\int \limits_{\text{all space}}\mathbf {\nabla} \cdot (\mathbf{E} \Phi ) dV-{\frac{\varepsilon_{0}}{2}}\int\limits_{\text{aller Raum}}(\mathbf{\nabla}\Phi)\cdot\mathbf{E} dV}$$

Verwenden des Divergenzsatzes und Annehmen der Fläche im Unendlichen, wobei${\displaystyle \Phi (\infty)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits_{{}_{\text{ of space}}^{\text {boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{ aller Raum}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{aller Raum}}{\frac {1}{2}}\ varepsilon _{0}\left|{\mathbf{E}}\right|^{2}\,dV.\end{ausgerichtet}}}$$

Die Energiedichte oder Energie pro Volumeneinheit des elektrostatischen Feldes ist also: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon_{0}\left|{\mathbf{E}}\right|^{2}.}$$

In elektronischen Elementen gespeicherte Energie

Die in einem Kondensator gespeicherte elektrische potentielle Energie ist U _E = 1/2Lebenslauf ²

Einige Elemente in einem Stromkreis können Energie von einer Form in eine andere umwandeln. Ein Widerstand wandelt beispielsweise elektrische Energie in Wärme um. Dies ist als Joule-Effekt bekannt . Ein Kondensator speichert es in seinem elektrischen Feld. Die gesamte in einem Kondensator gespeicherte elektrostatische potentielle Energie ist gegeben durch

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}} }$$

Gliederung des Beweises  —

Man kann Ladungen zu einem Kondensator in infinitesimalen Inkrementen zusammenbauen, so dass der Arbeitsaufwand, der zum Zusammenbau jedes Inkrements an seiner endgültigen Position verrichtet wird, ausgedrückt werden kann als ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

Die Gesamtarbeit, die geleistet wird, um den Kondensator auf diese Weise vollständig aufzuladen, beträgt dann

$${\displaystyle W=\int dW=\int_{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={ \frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

Wo ist die Gesamtladung des Kondensators. Diese Arbeit wird als elektrostatische potentielle Energie gespeichert, daher ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

Bemerkenswerterweise ist dieser Ausdruck nur gültig, wenn , was für Systeme mit vielen Ladungen gilt, wie beispielsweise große Kondensatoren mit metallischen Elektroden. Für Systeme mit wenigen Ladungen ist die diskrete Natur der Ladung wichtig. Die in einem Kondensator mit wenigen Ladungen gespeicherte Gesamtenergie beträgt ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{C}}}$$

welche durch ein Verfahren der Ladungs erhaltene Anordnung des kleinsten physikalischen Ladungsschrittes unter Verwendung von wo das ist Elementarladungseinheit und in dem die Gesamtanzahl der Ladungen in dem Kondensator. ${\displaystyle \Delta q=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Q=Ne}$${\displaystyle N}$

Die gesamte elektrostatische potentielle Energie kann auch als elektrisches Feld in der Form ausgedrückt werden

$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV}$$

wobei das elektrische Verschiebungsfeld innerhalb eines dielektrischen Materials ist und die Integration über das gesamte Volumen des Dielektrikums erfolgt. ${\displaystyle \mathrm {D}}$

Die gesamte elektrostatische potentielle Energie, die in einem geladenen Dielektrikum gespeichert ist, kann auch als kontinuierliche Volumenladung ausgedrückt werden, , ${\displaystyle \rho}$

$${\displaystyle U_{E}={\frac{1}{2}}\int_{V}\rho\Phi\,dV}$$

Diese beiden letztgenannten Ausdrücke gelten nur für Fälle, in denen das kleinste Ladungsinkrement null ist ( ), wie z. B. Dielektrika in Gegenwart von metallischen Elektroden oder Dielektrika mit vielen Ladungen. ${\displaystyle dq\to 0}$

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

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