Elektromagnetischer Stress-Energie-Tensor - Electromagnetic stress–energy tensor
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In der relativistischen Physik ist der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor der Beitrag zum Spannungs-Energie-Tensor aufgrund des elektromagnetischen Feldes . Der Spannungs-Energie-Tensor beschreibt den Energie- und Impulsfluss in der Raumzeit . Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor enthält das Negative des klassischen Maxwell-Spannungstensors , der die elektromagnetischen Wechselwirkungen regelt.
Definition
SI-Einheiten
Im freien Raum und flache Raum-Zeit, der elektromagnetische Energie Spannungs- Tensor in SI - Einheiten ist ,
wo ist der elektromagnetische Tensor und wo ist der metrische Minkowski-Tensor der metrischen Signatur (− + + +) . Wenn die Metrik mit Signatur (+ − − −) verwendet wird , hat der Ausdruck rechts von der Gleichung das entgegengesetzte Vorzeichen.
Explizit in Matrixform:
wo
ist der Poynting-Vektor ,
ist der Maxwell-Spannungstensor und c ist die Lichtgeschwindigkeit . Somit wird in SI-Druckeinheiten ( Pascal ) ausgedrückt und gemessen .
CGS-Einheiten
Die Permittivität des Freiraums und die Permeabilität des Freiraums in cgs-Gauss-Einheiten sind
dann:
und in expliziter Matrixform:
wobei Poynting-Vektor wird:
Der Spannungs-Energie-Tensor für ein elektromagnetisches Feld in einem dielektrischen Medium ist weniger gut verstanden und Gegenstand der ungelösten Abraham-Minkowski-Kontroverse .
Das Element des Spannungs-Energie-Tensors repräsentiert den Fluss der μ- th-Komponente des Viererimpulses des elektromagnetischen Feldes, , durch eine Hyperebene ( ist konstant). Es repräsentiert den Beitrag des Elektromagnetismus zur Quelle des Gravitationsfeldes (Krümmung der Raum-Zeit) in der Allgemeinen Relativitätstheorie .
Algebraische Eigenschaften
Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor hat mehrere algebraische Eigenschaften:
- Es ist ein symmetrischer Tensor :
- Der Tensor ist spurlos :
- .
BeweisBeginnen mit
Mit der expliziten Form des Tensors
Die Indizes senken und die Tatsache nutzen, dass
Dann verwenden Sie ,
Beachten Sie, dass im ersten Term μ und α nur Dummy-Indizes sind, also benennen wir sie in α bzw. β um.
- Die Energiedichte ist positiv-definit :
Die Symmetrie des Tensors entspricht der eines allgemeinen Spannungs-Energie-Tensors in der Allgemeinen Relativitätstheorie . Die Spur des Energie-Impuls-Tensors ist ein Lorentz-Skalar ; das elektromagnetische Feld (und insbesondere elektromagnetische Wellen) hat keine Lorentz-invariante Energieskala, daher muss sein Energie-Impuls-Tensor eine verschwindende Spur haben. Diese Spurlosigkeit bezieht sich schließlich auf die Masselosigkeit des Photons .
Naturschutzgesetze
Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor ermöglicht eine kompakte Schreibweise der Erhaltungssätze von Impuls und Energie im Elektromagnetismus. Die Divergenz des Spannungs-Energie-Tensors ist:
wo ist die (4D) Lorentzkraft pro Volumeneinheit auf Materie .
Diese Gleichung ist äquivalent zu den folgenden 3D-Erhaltungsgesetzen
bzw. den Fluss der elektromagnetischen Energiedichte beschreiben
und elektromagnetische Impulsdichte
wobei J die elektrische Stromdichte , ρ die elektrische Ladungsdichte und die Lorentzkraftdichte ist.
Siehe auch
- Ricci-Kalkül
- Kovariante Formulierung des klassischen Elektromagnetismus
- Mathematische Beschreibungen des elektromagnetischen Feldes
- Maxwell-Gleichungen
- Maxwell-Gleichungen in gekrümmter Raumzeit
- Generelle Relativität
- Einstein-Feldgleichungen
- Magnetohydrodynamik
- Vektorrechnung