Elektromagnetischer Stress-Energie-Tensor - Electromagnetic stress–energy tensor

In der relativistischen Physik ist der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor der Beitrag zum Spannungs-Energie-Tensor aufgrund des elektromagnetischen Feldes . Der Spannungs-Energie-Tensor beschreibt den Energie- und Impulsfluss in der Raumzeit . Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor enthält das Negative des klassischen Maxwell-Spannungstensors , der die elektromagnetischen Wechselwirkungen regelt.

Definition

SI-Einheiten

Im freien Raum und flache Raum-Zeit, der elektromagnetische Energie Spannungs- Tensor in SI - Einheiten ist ,

wo ist der elektromagnetische Tensor und wo ist der metrische Minkowski-Tensor der metrischen Signatur (− + + +) . Wenn die Metrik mit Signatur (+ − − −) verwendet wird , hat der Ausdruck rechts von der Gleichung das entgegengesetzte Vorzeichen.

Explizit in Matrixform:

wo

ist der Poynting-Vektor ,

ist der Maxwell-Spannungstensor und c ist die Lichtgeschwindigkeit . Somit wird in SI-Druckeinheiten ( Pascal ) ausgedrückt und gemessen .

CGS-Einheiten

Die Permittivität des Freiraums und die Permeabilität des Freiraums in cgs-Gauss-Einheiten sind

dann:

und in expliziter Matrixform:

wobei Poynting-Vektor wird:

Der Spannungs-Energie-Tensor für ein elektromagnetisches Feld in einem dielektrischen Medium ist weniger gut verstanden und Gegenstand der ungelösten Abraham-Minkowski-Kontroverse .

Das Element des Spannungs-Energie-Tensors repräsentiert den Fluss der μ- th-Komponente des Viererimpulses des elektromagnetischen Feldes, , durch eine Hyperebene ( ist konstant). Es repräsentiert den Beitrag des Elektromagnetismus zur Quelle des Gravitationsfeldes (Krümmung der Raum-Zeit) in der Allgemeinen Relativitätstheorie .

Algebraische Eigenschaften

Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor hat mehrere algebraische Eigenschaften:

  • Es ist ein symmetrischer Tensor :
  • Der Tensor ist spurlos :
    .
    Beweis

    Beginnen mit

    Mit der expliziten Form des Tensors

    Die Indizes senken und die Tatsache nutzen, dass

    Dann verwenden Sie ,

    Beachten Sie, dass im ersten Term μ und α nur Dummy-Indizes sind, also benennen wir sie in α bzw. β um.

  • Die Energiedichte ist positiv-definit :

Die Symmetrie des Tensors entspricht der eines allgemeinen Spannungs-Energie-Tensors in der Allgemeinen Relativitätstheorie . Die Spur des Energie-Impuls-Tensors ist ein Lorentz-Skalar ; das elektromagnetische Feld (und insbesondere elektromagnetische Wellen) hat keine Lorentz-invariante Energieskala, daher muss sein Energie-Impuls-Tensor eine verschwindende Spur haben. Diese Spurlosigkeit bezieht sich schließlich auf die Masselosigkeit des Photons .

Naturschutzgesetze

Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor ermöglicht eine kompakte Schreibweise der Erhaltungssätze von Impuls und Energie im Elektromagnetismus. Die Divergenz des Spannungs-Energie-Tensors ist:

wo ist die (4D) Lorentzkraft pro Volumeneinheit auf Materie .

Diese Gleichung ist äquivalent zu den folgenden 3D-Erhaltungsgesetzen

bzw. den Fluss der elektromagnetischen Energiedichte beschreiben

und elektromagnetische Impulsdichte

wobei J die elektrische Stromdichte , ρ die elektrische Ladungsdichte und die Lorentzkraftdichte ist.

Siehe auch

Verweise