Elliptische Umlaufbahn - Elliptic orbit

Animation der Umlaufbahn durch Exzentrizität
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Zwei Körper mit ähnlicher Masse kreisen um einen gemeinsamen Schwerpunkt mit elliptischen Bahnen.
Eine elliptische Bahn ist im oberen rechten Quadranten dieses Diagramms dargestellt, wobei der Gravitationspotentialtopf der Zentralmasse die potentielle Energie anzeigt und die kinetische Energie der Bahngeschwindigkeit rot dargestellt ist. Die Höhe der kinetischen Energie nimmt nach den Keplerschen Gesetzen mit abnehmender Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers und zunehmender Entfernung ab.

In der Astrodynamik oder Himmelsmechanik ist eine elliptische Bahn oder eine elliptische Bahn eine Kepler-Bahn mit einer Exzentrizität von weniger als 1; dies schließt den Sonderfall einer Kreisbahn mit einer Exzentrizität gleich 0 ein. Im engeren Sinne handelt es sich um eine Kepler-Bahn mit einer Exzentrizität größer als 0 und kleiner als 1 (also ohne die Kreisbahn). Im weiteren Sinne handelt es sich um eine Kepler-Umlaufbahn mit negativer Energie . Dies beinhaltet die radiale elliptische Umlaufbahn mit einer Exzentrizität von 1.

Bei einem gravitativen Zweikörperproblem mit negativer Energie folgen beide Körper ähnlichen elliptischen Bahnen mit gleicher Umlaufzeit um ihren gemeinsamen Schwerpunkt . Auch die relative Position eines Körpers zum anderen folgt einer elliptischen Bahn.

Beispiele für elliptische Bahnen sind: Hohmann-Transferbahn , Molniya-Bahn und Tundra-Bahn .

Geschwindigkeit

Unter Standardannahmen kann die Bahngeschwindigkeit ( ) eines Körpers, der sich auf einer elliptischen Bahn bewegt, aus der Vis-viva-Gleichung wie folgt berechnet werden:

wo:

Die Geschwindigkeitsgleichung für eine hyperbolische Trajektorie hat entweder + , oder es ist dasselbe mit der Konvention, dass in diesem Fall a negativ ist.

Umlaufzeit

Unter Standardannahmen kann die Umlaufzeit ( ) eines Körpers, der sich auf einer elliptischen Bahn bewegt, wie folgt berechnet werden:

wo:

Schlussfolgerungen:

  • Die Umlaufperiode ist gleich der für eine Kreisbahn mit dem Umlaufradius gleich der großen Halbachse ( ),
  • Für eine gegebene große Halbachse hängt die Umlaufzeit nicht von der Exzentrizität ab (Siehe auch: Drittes Keplersches Gesetz ).

Energie

Unter Standardannahmen ist die spezifische Bahnenergie ( ) einer elliptischen Bahn negativ und die Bahnenergieerhaltungsgleichung (die Vis-viva-Gleichung ) für diese Bahn kann die Form annehmen:

wo:

Schlussfolgerungen:

  • Für eine gegebene große Halbachse ist die spezifische Bahnenergie unabhängig von der Exzentrizität.

Mit dem Virialsatz finden wir:

  • der zeitliche Mittelwert der spezifischen potentiellen Energie ist gleich −2ε
    • das Zeitmittel von r −1 ist a −1
  • der zeitliche Mittelwert der spezifischen kinetischen Energie ist gleich ε

Energie in Bezug auf die Haupthalbachse

Es kann hilfreich sein, die Energie in Bezug auf die Haupthalbachse (und die beteiligten Massen) zu kennen. Die Gesamtenergie der Bahn ist gegeben durch

,

wobei a die Haupthalbachse ist.

Ableitung

Da die Schwerkraft eine zentrale Kraft ist, ist der Drehimpuls konstant:

Bei der nächsten und der weitesten Annäherung ist der Drehimpuls senkrecht zum Abstand von der umkreisten Masse, also:

.

Die Gesamtenergie der Bahn ist gegeben durch

.

Wir können v ersetzen und erhalten

.

Dies gilt für r als den nächsten / am weitesten entfernten Abstand, so dass wir zwei simultane Gleichungen erhalten, die wir nach E auflösen:

Da und , wobei Epsilon die Exzentrizität der Umlaufbahn ist, haben wir schließlich das angegebene Ergebnis.

Flugbahnwinkel

Der Flugbahnwinkel ist der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor des umkreisenden Körpers (= der Vektortangente an die momentane Bahn) und der lokalen Horizontalen. Unter Standardannahmen der Drehimpulserhaltung erfüllt der Flugbahnwinkel die Gleichung:

wo:

ist der Winkel zwischen dem Bahngeschwindigkeitsvektor und der großen Halbachse. ist die lokale wahre Anomalie. , deshalb,

wo ist die exzentrizität.

Der Drehimpuls hängt mit dem Vektorkreuzprodukt von Position und Geschwindigkeit zusammen, das proportional zum Sinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren ist. Hier ist der Winkel definiert, der sich um 90 Grad davon unterscheidet, so dass der Kosinus anstelle des Sinus erscheint.

Bewegungsgleichung

Aus Ausgangsposition und Geschwindigkeit

Eine Bahngleichung definiert die Bahn eines umlaufenden Körpers um den Zentralkörper relativ zu , ohne die Position als Funktion der Zeit anzugeben. Ist die Exzentrizität kleiner als 1, dann beschreibt die Bewegungsgleichung eine elliptische Bahn. Da die Kepler-Gleichung keine allgemeine geschlossene Lösung für die exzentrische Anomalie (E) in Bezug auf die mittlere Anomalie (M) hat, haben Bewegungsgleichungen als Funktion der Zeit auch keine geschlossene Lösung (obwohl für beide numerische Lösungen existieren ) .

Geschlossene zeitunabhängige Bahngleichungen einer elliptischen Bahn bezüglich eines Zentralkörpers können jedoch nur aus einer Anfangsposition ( ) und Geschwindigkeit ( ) bestimmt werden.


Für diesen Fall ist es zweckmäßig, die folgenden Annahmen zu verwenden, die sich etwas von den obigen Standardannahmen unterscheiden:

  1. Die Position des Zentralkörpers ist der Ursprung und ist der Hauptfokus ( ) der Ellipse (alternativ kann stattdessen der Massenschwerpunkt verwendet werden, wenn der umlaufende Körper eine signifikante Masse hat)
  2. Die Masse des Zentralkörpers (m1) ist bekannt
  3. Die Anfangsposition ( ) und die Geschwindigkeit ( ) des umkreisenden Körpers sind bekannt
  4. Die Ellipse liegt innerhalb der XY-Ebene

Die vierte Annahme kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit getroffen werden, da drei beliebige Punkte (oder Vektoren) in einer gemeinsamen Ebene liegen müssen. Unter diesen Annahmen muss der zweite Fokus (manchmal auch „leerer“ Fokus genannt) ebenfalls innerhalb der XY-Ebene liegen: .

Verwenden von Vektoren

Die allgemeine Gleichung einer Ellipse unter diesen Annahmen mit Vektoren lautet:

wo:

  • ist die Länge der großen Halbachse .
  • ist der zweite („leere“) Fokus.
  • ein beliebiger (x, y)-Wert ist, der die Gleichung erfüllt.


Die Hauptachsenlänge (a) kann wie folgt berechnet werden:

wo ist der Standard-Gravitationsparameter .


Den leeren Fokus ( ) finden Sie, indem Sie zuerst den Exzentrizitätsvektor bestimmen :

Wo ist der spezifische Drehimpuls des umkreisenden Körpers:

Dann

Verwenden von XY-Koordinaten

Dies kann in kartesischen Koordinaten mit dem folgenden Verfahren erfolgen:

Die allgemeine Gleichung einer Ellipse unter den obigen Annahmen lautet:

Gegeben:

die Anfangspositionskoordinaten
die Anfangsgeschwindigkeitskoordinaten

und

der Gravitationsparameter

Dann:

spezifischer Drehimpuls
Anfangsabstand von F1 (im Ursprung)
die halbe Hauptachsenlänge


der Exzentrizitäts - Vektor Koordinaten


Schließlich die leeren Fokuskoordinaten


Nun können die Ergebniswerte fx, fy und a auf die obige allgemeine Ellipsengleichung angewendet werden.

Bahnparameter

Der Zustand eines umlaufenden Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt wird durch die Position und Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers in Bezug auf den Zentralkörper definiert, die durch die dreidimensionalen kartesischen Koordinaten dargestellt werden können (Position des umlaufenden Körpers repräsentiert durch x, y und z) und die ähnlichen kartesischen Komponenten der Geschwindigkeit des umkreisenden Körpers. Dieser Satz von sechs Variablen wird zusammen mit der Zeit Orbitalzustandsvektoren genannt . Aufgrund der Massen der beiden Körper bestimmen sie die volle Umlaufbahn. Die beiden allgemeinsten Fälle mit diesen 6 Freiheitsgraden sind die elliptische und die hyperbolische Bahn. Sonderfälle mit weniger Freiheitsgraden sind die Kreis- und Parabelbahn.

Da mindestens sechs Variablen unbedingt erforderlich sind, um eine elliptische Umlaufbahn mit diesem Parametersatz vollständig darzustellen, sind sechs Variablen erforderlich, um eine Umlaufbahn mit einem beliebigen Parametersatz darzustellen. Ein weiterer Satz von sechs Parametern, der häufig verwendet wird, sind die Orbitalelemente .

Sonnensystem

Im Sonnensystem haben Planeten , Asteroiden , die meisten Kometen und einige Weltraumschrottstücke ungefähr elliptische Bahnen um die Sonne. Streng genommen kreisen beide Körper um denselben Brennpunkt der Ellipse, der eine näher am massereicheren Körper ist, aber wenn ein Körper wesentlich massereicher ist, wie die Sonne im Verhältnis zur Erde, kann der Brennpunkt innerhalb des größeren liegen massierenden Körper, und somit soll sich der kleinere um ihn drehen. Das folgende Diagramm des Perihels und Aphels der Planeten , Zwergplaneten und des Halleyschen Kometen zeigt die Variation der Exzentrizität ihrer elliptischen Bahnen. Bei ähnlichen Abständen von der Sonne bedeuten breitere Balken eine größere Exzentrizität. Beachten Sie die nahezu Null-Exzentrizität von Erde und Venus im Vergleich zu der enormen Exzentrizität von Halleys Komet und Eris.

Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Astronomical unit Halley's Comet Sun Eris (dwarf planet) Makemake (dwarf planet) Haumea (dwarf planet) Pluto Ceres (dwarf planet) Neptune Uranus Saturn Jupiter Mars Earth Venus Mercury (planet) Astronomical unit Astronomical unit Dwarf planet Dwarf planet Comet Planet

Entfernungen ausgewählter Körper des Sonnensystems von der Sonne. Die linke und rechte Kante jedes Balkens entsprechen dem Perihel bzw. Aphel des Körpers, daher bezeichnen lange Balken eine hohe Orbitalexzentrizität . Der Radius der Sonne beträgt 0,7 Millionen km und der Radius von Jupiter (dem größten Planeten) beträgt 0,07 Millionen km, beides zu klein, um auf diesem Bild aufgelöst zu werden.

Radiale elliptische Flugbahn

Eine radiale Trajektorie kann ein Doppelliniensegment sein , das eine entartete Ellipse mit kleiner Halbachse = 0 und Exzentrizität = 1 ist. Obwohl die Exzentrizität 1 beträgt, ist dies keine parabolische Bahn. Die meisten Eigenschaften und Formeln elliptischer Bahnen treffen zu. Die Umlaufbahn kann jedoch nicht geschlossen werden. Es ist eine offene Umlaufbahn, die dem Teil der entarteten Ellipse von dem Moment an entspricht, in dem sich die Körper berühren und sich voneinander entfernen, bis sie sich wieder berühren. Bei Punktmassen ist eine volle Umlaufbahn möglich, die mit einer Singularität beginnt und endet. Die Geschwindigkeiten am Anfang und am Ende sind in entgegengesetzte Richtungen unendlich und die potentielle Energie ist gleich minus unendlich.

Die radiale elliptische Flugbahn ist die Lösung eines Zwei-Körper-Problems mit einer Geschwindigkeit von Null, wie beim Fallenlassen eines Objekts (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands).

Geschichte

Die Babylonier waren die ersten, die erkannten, dass die Bewegung der Sonne entlang der Ekliptik nicht gleichförmig war, obwohl sie nicht wussten, warum dies so war; Es ist heute bekannt, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass sich die Erde auf einer elliptischen Umlaufbahn um die Sonne bewegt, wobei sich die Erde schneller bewegt, wenn sie sich im Perihel näher an der Sonne befindet, und langsamer, wenn sie sich im Aphel weiter entfernt .

Im 17. Jahrhundert entdeckte Johannes Kepler , dass die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt sind, und beschrieb dies in seinem ersten Gesetz der Planetenbewegung . Später erklärte Isaac Newton dies als Folge seines Gesetzes der universellen Gravitation .

Siehe auch

Verweise

Quellen

Externe Links