Pythagoräisches Triple - Pythagorean triple

Animation, die das einfachste pythagoräische Tripel demonstriert, 3 2  + 4 2  = 5 2 .

Ein pythagoräisches Tripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen a , b und c , so dass a 2 + b 2 = c 2 . Ein solches Tripel wird gewöhnlich geschrieben ( a , b , c ) und ein bekanntes Beispiel ist (3, 4, 5) . Wenn ( a , b , c ) ein pythagoräisches Tripel ist, dann auch ( ka , kb , kc ) für jede positive ganze Zahlk . Ein primitives pythagoräisches Tripel ist eines, bei dem a , b und c teilerfremdsind( dh sie haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1). Ein Dreieck, dessen Seiten ein pythagoräisches Tripel bilden, wird pythagoräisches Dreieck genannt und ist notwendigerweise ein rechtwinkliges Dreieck .

Der Name leitet sich vom Satz des Pythagoras ab , der besagt, dass jedes rechtwinklige Dreieck Seitenlängen hat, die der Formel a 2 + b 2 = c 2 genügen ; somit beschreiben pythagoreische Tripel die drei ganzzahligen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Rechtwinklige Dreiecke mit nicht ganzzahligen Seiten bilden jedoch keine pythagoräischen Tripel. Zum Beispiel ist das Dreieck mit den Seiten a = b = 1 und c = 2 ein rechtwinkliges Dreieck, aber (1, 1, 2 ) ist kein pythagoräisches Tripel, weil 2 keine ganze Zahl ist. Weiterhin 1 und 2 keine ganze Zahl gemeinsames Vielfaches haben , weil 2 ist irrational .

Pythagoräische Tripel sind seit der Antike bekannt. Die älteste bekannte Aufzeichnung stammt von Plimpton 322 , einer babylonischen Tontafel aus der Zeit um 1800 v. Chr., geschrieben in einem sexagesimalen Zahlensystem. Es wurde kurz nach 1900 von Edgar James Banks entdeckt und 1922 für 10 US-Dollar an George Arthur Plimpton verkauft .

Bei der Suche nach ganzzahligen Lösungen ist die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 eine diophantische Gleichung . Somit gehören pythagoreische Tripel zu den ältesten bekannten Lösungen einer nichtlinearen diophantischen Gleichung.

Beispiele

Streudiagramm der Beine ( a , b ) der ersten pythagoräischen Tripel mit a und b kleiner als 6000. Negative Werte sind enthalten, um die parabolischen Muster zu veranschaulichen. Die "Strahlen" resultieren aus der Tatsache, dass wenn ( a , b , c ) ein pythagoräisches Tripel ist, dann auch (2 a , 2 b , 2 c ), (3 a , 3 b , 3 c ) und, allgemeiner ( ka , kb , kc ) für jede positive ganze Zahl k .

Es gibt 16 primitive pythagoräische Zahlentripel bis 100:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)

Jeder dieser Punkte bildet im Streudiagramm eine strahlende Linie. Andere kleine pythagoräische Tripel wie (6, 8, 10) werden nicht aufgeführt, weil sie nicht primitiv sind; beispielsweise (6, 8, 10) ist ein Vielfaches von (3, 4, 5).

Außerdem sind dies die restlichen primitiven pythagoräischen Zahlentripel bis 300:

(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Ein Tripel erzeugen

Primitive pythagoräische Tripel als Dreiecke in einem Graphen dargestellt
Das primitive Pythagoras verdreifacht sich. Auf der horizontalen Achse ist der ungerade Schenkel a aufgetragen, auf der vertikalen Achse der gerade Schenkel b . Das krummlinige Gitter besteht aus Kurven der Konstanten m  −  n und der Konstanten m  +  n in der Euklidschen Formel.
Eine durch Euklids Formel erzeugte Darstellung von Tripeln bildet einen Teil des Kegels z 2  =  x 2  +  y 2 ab . Ein konstantes m oder n zeichnet einen Teil einer Parabel auf dem Kegel nach.

Die Formel von Euklid ist eine grundlegende Formel zur Erzeugung von pythagoräischen Tripeln, wenn ein beliebiges Paar von ganzen Zahlen m und n mit m > n > 0 gegeben ist . Die Formel besagt, dass die ganzen Zahlen

bilden ein pythagoräisches Tripel. Die dreifache von erzeugten Euclid ‚s Formel ist primitiv , wenn und nur wenn m und n sind coprime und nicht beide ungerade. Wenn sowohl m als auch n ungerade sind, dann sind a , b und c gerade, und das Tripel ist nicht primitiv; die Division von a , b und c durch 2 ergibt jedoch ein primitives Tripel, wenn m und n teilerfremd und beide ungerade sind.

Jedes primitive Tripel entsteht (nach dem Austausch von a und b , falls a gerade ist) aus einem eindeutigen Paar von Koprimzahlen m , n , von denen eine gerade ist. Daraus folgt, dass es unendlich viele primitive pythagoräische Tripel gibt. Auf diese Beziehung von a , b und c zu m und n aus Euklids Formel wird im Rest dieses Artikels Bezug genommen.

Obwohl alle primitiven Tripel generiert werden, erzeugt Euklids Formel nicht alle Tripel – zum Beispiel kann (9, 12, 15) nicht mit ganzzahligen m und n generiert werden . Dies kann durch Einfügen eines zusätzlichen Parameters k in die Formel behoben werden . Das Folgende erzeugt alle pythagoräischen Tripel eindeutig:

wobei m , n und k positive ganze Zahlen mit m > n sind und wobei m und n teilerfremd und nicht beide ungerade sind.

Dass diese Formeln pythagoreische Tripel erzeugen, kann man verifizieren, indem man a 2 + b 2 mit elementarer Algebra entwickelt und verifiziert, dass das Ergebnis gleich c 2 ist . Da jedes pythagoräische Tripel durch eine ganze Zahl k geteilt werden kann , um ein primitives Tripel zu erhalten, kann jedes Tripel eindeutig erzeugt werden, indem die Formel mit m und n verwendet wird , um sein primitives Gegenstück zu erzeugen, und dann mit k wie in der letzten Gleichung multipliziert wird .

Die Auswahl von m und n aus bestimmten ganzzahligen Folgen führt zu interessanten Ergebnissen. Wenn beispielsweise m und n aufeinander folgende Pell-Zahlen sind , unterscheiden sich a und b um 1.

Seit Euklid sind viele Formeln zur Bildung von Tripeln mit bestimmten Eigenschaften entwickelt worden.

Beweis der Formel von Euklid

Dass die Zufriedenheit des Euklid-Formel durch a, b, c ist ausreichend für das Dreieck pythagoreischen sein aus der Tatsache ersichtlich ist , dass für positive ganze Zahlen m und n , m > n , die a, b, und c durch die Formel alle positiv sind ganze Zahlen, und aus der Tatsache, dass

Ein Beweis für die Notwendigkeit, dass a, b, c durch die Euklidsche Formel für jedes primitive pythagoreische Tripel ausgedrückt werden muss, ist wie folgt. Alle solche primitiven Tripel können als (geschrieben werden , ein , b , c ) wobei a 2 + b 2 = c 2 und a , b , c sind coprime . So a , b , c sind paarweise coprime (wenn eine Primzahl geteilt zwei von ihnen wäre es auch die dritte aufzuteilen gezwungen werden). Da a und b teilerfremd sind, ist mindestens einer von ihnen ungerade, so dass wir annehmen können, dass a ungerade ist, indem wir , falls erforderlich, a und b austauschen . Dies impliziert , dass b ist eben und c ungerade ist (wenn b ungerade waren, c würde sogar sein, und c 2 wäre ein Vielfaches von 4 sein, während a 2 + b 2 wäre kongruent zu 2 modulo 4, wie ein ungerades quadratisch ist kongruent zu 1 modulo 4).

Von erhalten wir und somit . Dann . Da rational ist, setzen wir es in den niedrigsten Termen gleich. Somit ist der Kehrwert von . Dann lösen

für und gibt

Wie vollständig reduziert, sind m und n teilerfremd und können nicht beide gerade sein. Wenn sie beide ungerade wären, wäre der Zähler von ein Vielfaches von 4 (weil ein ungerades Quadrat kongruent zu 1 modulo 4 ist) und der Nenner 2 mn wäre kein Vielfaches von 4. Da 4 der minimal mögliche gerade Faktor wäre im Zähler und 2 würde der maximal mögliche sogar Faktor im Nenner sein, würde dies bedeuten , eine sogar zu sein als ungerade trotz definieren. Somit ist einer von m und n ungerade und der andere gerade, und die Zähler der beiden Brüche mit Nenner 2 mn sind ungerade. Somit werden diese Brüche vollständig reduziert (eine ungerade Primzahl, die diesen Nenner teilt, teilt einen von m und n, aber nicht den anderen; daher teilt sie nicht m 2 ± n 2 ). Man kann also Zähler mit Zählern und Nenner mit Nennern gleichsetzen, um die Formel von Euklid zu erhalten

mit m und n teilerfremden und entgegengesetzten Paritäten.

Ein längerer, aber allgemeinerer Beweis wird in Maor (2007) und Sierpiński (2003) gegeben. Ein weiterer Beweis ist in der diophantischen Gleichung § Beispiel für pythagoräische Tripel gegeben , als Beispiel für eine allgemeine Methode, die auf jede homogene diophantische Gleichung zweiten Grades anwendbar ist .

Interpretation von Parametern in Euklids Formel

Angenommen, die Seiten eines pythagoräischen Dreiecks haben die Längen m 2n 2 , 2 mn und m 2 + n 2 , und der Winkel zwischen dem Schenkel der Länge m 2n 2 und der Hypotenuse der Länge m 2 + n 2 ist als β bezeichnet . Dann sind die trigonometrischen Vollwinkelwerte , , und .

Eine Variante

Die folgende Variante von Euklids Formel ist manchmal bequemer, da sie in m und n symmetrischer ist (gleiche Paritätsbedingung für m und n ).

Wenn m und n zwei ungerade ganze Zahlen mit m > n sind , dann

sind drei ganze Zahlen, die ein pythagoräisches Tripel bilden, das genau dann primitiv ist, wenn m und n teilerfremd sind. Umgekehrt entsteht jedes primitive pythagoreische Tripel (nach dem Austausch von a und b , falls a gerade ist) aus einem eindeutigen Paar m > n > 0 von teilerfremden ungeraden ganzen Zahlen.

Elementare Eigenschaften primitiver pythagoräischer Tripel

Allgemeine Eigenschaften

Zu den Eigenschaften eines primitiven pythagoräischen Tripels ( a , b , c ) mit a < b < c (ohne Angabe, welches von a oder b gerade und welches ungerade ist) gehören:

  • ist immer ein perfektes Quadrat. Da dies nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung ist, kann sie verwendet werden, um zu überprüfen, ob ein gegebenes Zahlentripel kein pythagoräisches Tripel ist, wenn sie den Test nicht bestehen. Zum Beispiel bestehen die Tripel {6, 12, 18} und {1, 8, 9} jeweils den Test, dass ( ca )( cb )/2 ein perfektes Quadrat ist, aber auch kein pythagoräisches Tripel.
  • Wenn ein Tripel der Zahlen a , b und c ein primitives pythagoräisches Tripel bildet, dann sind ( c minus dem geraden Bein) und die Hälfte von ( c minus dem ungeraden Bein) beide perfekte Quadrate; Dies ist jedoch keine ausreichende Bedingung, da die Zahlen {1, 8, 9} den Test auf perfekte Quadrate bestehen, aber kein pythagoräisches Tripel sind, da 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
  • Höchstens eines von a , b , c ist ein Quadrat.
  • Die Fläche eines pythagoräischen Dreiecks kann nicht das Quadrat oder das doppelte Quadrat einer natürlichen Zahl sein.
  • Genau eins von a , b ist durch 2 teilbar (ist gerade ), aber nie c .
  • Genau eines von a , b ist durch 3 teilbar, aber nie c .
  • Genau eins von a , b ist durch 4 teilbar, aber nie c (weil c nie gerade ist).
  • Genau eines von a , b , c ist durch 5 teilbar.
  • Die größte Zahl, die immer abc teilt, ist 60.
  • Jede ungerade Zahl der Form 2 m +1 , wobei m eine ganze Zahl und m > 1 ist , kann der ungerade Schenkel eines primitiven pythagoräischen Tripels [PPT] sein. Siehe Abschnitt zu fast gleichschenkligen PPT weiter unten. Jedoch können nur gerade Zahlen, die durch 4 teilbar sind, der gerade Zweig eines PPT sein. Dies liegt daran, dass Euklids Formel für das oben angegebene gerade Bein 2 mn ist und eines von m oder n gerade sein muss.
  • Die Hypotenuse c ist die Summe zweier Quadrate. Dies erfordert, dass alle seine Primfaktoren Primzahlen der Form 4 n + 1 sind . Daher hat c die Form 4 n + 1 . Eine Sequenz möglicher Hypotenusezahlen für eine PPT finden Sie unter (Sequenz A008846 im OEIS ).
  • Die Fläche ( K = ab /2) ist eine durch 6 teilbare kongruente Zahl .
  • In jedem pythagoräischen Dreieck sind der Radius des Inkreises und die Radien der drei Exkreise natürliche Zahlen. Insbesondere für ein primitives Tripel ist der Radius des Inkreises r = n ( mn ) und die Radien der Exkreise gegenüber den Seiten m 2n 2 , 2mn und der Hypotenuse m 2 + n 2 sind jeweils m ( mn ) , n ( m + n ) und m ( m + n ) .
  • Wie bei jedem rechtwinkligen Dreieck besagt die Umkehrung des Satzes von Thales, dass der Durchmesser des Umkreises gleich der Hypotenuse ist; daher ist für primitive Tripel der Umkreisdurchmesser m 2 + n 2 , und der Umkreisradius ist die Hälfte davon und somit rational, aber nicht ganzzahlig (da m und n entgegengesetzte Parität haben).
  • Wenn die Fläche eines pythagoräischen Dreiecks mit den Krümmungen seines Inkreises und seiner 3 Exkreise multipliziert wird, erhält man jeweils vier positive ganze Zahlen w > x > y > z . Ganzzahlen w , x , y , z erfüllen die Kreisgleichung von Descartes . Entsprechend ist der Radius des äußeren Soddy-Kreises jedes rechtwinkligen Dreiecks gleich seinem Halbumfang. Das äußere Soddy-Zentrum befindet sich bei D , wobei ACBD ein Rechteck, ACB das rechtwinklige Dreieck und AB seine Hypotenuse ist.
  • Nur zwei Seiten eines primitiven pythagoreischen Tripels können gleichzeitig prim sein, da nach Euklids Formel zur Erzeugung eines primitiven pythagoreischen Tripels einer der Schenkel zusammengesetzt und gerade sein muss. Allerdings kann nur eine Seite eine ganze Zahl mit perfekter Potenz sein, denn wenn zwei Seiten ganze Zahlen mit perfekter Potenz mit gleichem Exponenten wären, würde dies der Tatsache widersprechen, dass es keine ganzzahligen Lösungen für die diophantische Gleichung gibt , wobei , und paarweise teilerfremd sind.
  • Es gibt keine pythagoräischen Dreiecke, bei denen die Hypotenuse und ein Bein die Beine eines anderen pythagoräischen Dreiecks sind; Dies ist eine der äquivalenten Formen des Satzes von Fermat über das rechtwinklige Dreieck .
  • Jedes primitive pythagoreische Dreieck hat ein Verhältnis von Fläche, K , zu quadriertem Halbumfang , s , das für sich selbst eindeutig ist und gegeben ist durch

Sonderfälle

Darüber hinaus können spezielle pythagoräische Tripel mit bestimmten zusätzlichen Eigenschaften garantiert werden:

  • Jede ganze Zahl größer als 2, die nicht kongruent zu 2 mod 4 ist (also jede ganze Zahl größer als 2, die nicht die Form 4 k + 2 hat ) ist Teil eines primitiven pythagoräischen Tripels. (Wenn die ganze Zahl die Form 4 k hat , kann man in Euklids Formel n = 1 und m = 2 k nehmen ; ist die ganze Zahl 2 k + 1 , kann man n = k und m = k + 1 nehmen .)
  • Jede ganze Zahl größer als 2 ist Teil eines primitiven oder nicht-primitiven pythagoräischen Tripels. Zum Beispiel gehören die ganzen Zahlen 6, 10, 14 und 18 nicht zu primitiven Tripeln, sondern zu den nicht-primitiven Tripeln (6, 8, 10) , (14, 48, 50) und (18, 80, 82) .
  • Es gibt unendlich viele pythagoräische Tripel, bei denen sich Hypotenuse und längster Schenkel um genau eins unterscheiden. Solche Tripel sind notwendigerweise primitiv und haben die Form (2 n + 1, 2 n 2 + 2 n , 2 n 2 + 2 n + 1 ) . Dies ergibt sich aus der Formel von Euklid, indem man bemerkt, dass die Bedingung impliziert, dass das Tripel primitiv ist und ( m 2 + n 2 ) – 2 mn = 1 verifizieren muss . Dies impliziert ( mn ) 2 = 1 und somit m = n + 1 . Die obige Form der Tripel ergibt sich also aus der Substitution von m für n + 1 in Euklids Formel.
  • Es gibt unendlich viele primitive pythagoräische Tripel, bei denen sich die Hypotenuse und der längste Schenkel um genau zwei unterscheiden. Sie sind alle primitiv und werden durch Setzen von n = 1 in Euklids Formel erhalten. Allgemeiner gesagt  gibt es für jede ganze Zahl k > 0 unendlich viele primitive pythagoreische Tripel, in denen sich Hypotenuse und ungerader Schenkel um 2 k 2 unterscheiden . Sie erhält man, indem man n = k in die Formel von Euklid einsetzt.
  • Es gibt unendlich viele pythagoräische Tripel, bei denen sich die beiden Schenkel um genau eins unterscheiden. Zum Beispiel 20 2 + 21 2 = 29 2 ; diese werden von Euclid-Formel erzeugt wird, wenn a ist konvergent zu 2 .
  • Zu jeder natürlichen Zahl k existieren k pythagoräische Tripel mit unterschiedlichen Hypotenusen und gleicher Fläche.
  • Für jede natürliche Zahl k gibt es mindestens k verschiedene primitive pythagoreische Tripel mit dem gleichen Schenkel a , wobei a eine natürliche Zahl ist (die Länge des geraden Schenkels beträgt 2 mn , und es genügt z. B. a mit vielen Faktorisierungen zu wählen a = 4 b , wobei b ein Produkt von k verschiedenen ungeraden Primzahlen ist; dies erzeugt mindestens 2 k verschiedene primitive Tripel).
  • Für jede natürliche Zahl n existieren mindestens n verschiedene pythagoräische Tripel mit derselben Hypotenuse.
  • Es existieren unendlich viele pythagoräische Tripel mit Quadratzahlen sowohl für die Hypotenuse c als auch für die Summe der Schenkel a  +  b . Nach Fermat hat das kleinste solche Tripel die Seiten a  = 4.565.486.027.761; b  = 1.061.652.293.520; und c = 4.687.298.610.289. Hier a  +  b  = 2.372.159 2 und c  = 2.165.017 2 . Dies wird durch die Formel von Euklid mit Parameterwerten m  = 2.150.905 und n  = 246.792 erzeugt.
  • Es gibt nicht-primitive pythagoräische Dreiecke mit ganzzahliger Höhe von der Hypotenuse . Solche pythagoreischen Dreiecke werden als zerlegbar bezeichnet, da sie entlang dieser Höhe in zwei separate und kleinere pythagoreische Dreiecke aufgespalten werden können.

Geometrie der Euklidschen Formel

Rationale Punkte auf einem Einheitskreis

3,4,5 wird auf den x,y-Punkt (4/5,5/3/5) auf dem Einheitskreis abgebildet
Die rationalen Punkte auf einem Kreis entsprechen bei stereographischer Projektion den rationalen Punkten der Linie.

Euklids Formel für ein pythagoräisches Tripel

kann als Geometrie rationaler Punkte auf dem Einheitskreis verstanden werden ( Trautman 1998 ).

Tatsächlich gehört ein Punkt in der kartesischen Ebene mit den Koordinaten ( x , y ) zum Einheitskreis, wenn x 2 + y 2 = 1 ist . Der Punkt ist , rational , wenn x und y sind rationale Zahlen , das heißt, wenn es coprime ganze Zahlen a , b , c , so daß

Durch Multiplizieren beider Elemente mit c 2 kann man sehen, dass die rationalen Punkte auf dem Kreis eins zu eins mit den primitiven pythagoräischen Tripeln übereinstimmen.

Der Einheitskreis kann auch durch eine parametrische Gleichung definiert werden

Euklids Formel für pythagoreische Tripel bedeutet, dass ein Punkt auf dem Kreis mit Ausnahme von (−1, 0) genau dann rational ist, wenn der entsprechende Wert von t eine rationale Zahl ist.

Stereographischer Ansatz

Stereographische Projektion des Einheitskreises auf die x- Achse. Zeichne bei gegebenem Punkt P auf dem Einheitskreis eine Linie von P zum Punkt N = (0, 1) (dem Nordpol ). Der Punkt P ' , wobei die Linie des schneidet x -Achse ist die stereographische Projektion von P . Umgekehrt, beginnend mit einem Punkt P ′ auf der x- Achse und Ziehen einer Linie von P ′ nach N , ist die inverse stereographische Projektion der Punkt P, wo die Linie den Einheitskreis schneidet.

Es gibt eine Entsprechung zwischen Punkten auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten und primitiven pythagoräischen Tripeln. An dieser Stelle können die Formeln von Euklid entweder durch Methoden der Trigonometrie oder äquivalent unter Verwendung der stereographischen Projektion abgeleitet werden .

Für den stereographischen Ansatz sei P ′ ein Punkt auf der x -Achse mit rationalen Koordinaten

Dann kann durch einfache Algebra gezeigt werden, dass der Punkt P Koordinaten hat

Damit ist festgelegt, dass jeder rationale Punkt der x- Achse auf einen rationalen Punkt des Einheitskreises übergeht. Die Umkehrung, dass jeder rationale Punkt des Einheitskreises von einem solchen Punkt der x- Achse ausgeht, folgt durch die Anwendung der inversen stereographischen Projektion. Angenommen, P ( x , y ) ist ein Punkt des Einheitskreises mit den rationalen Zahlen x und y . Dann hat der durch stereographische Projektion auf die x -Achse erhaltene Punkt P ′ die Koordinaten

was rational ist.

In Bezug auf die algebraische Geometrie ist die algebraische Vielfalt der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis birational zur affinen Linie über den rationalen Zahlen. Der Einheitskreis wird daher als rationale Kurve bezeichnet , und dieser Umstand ermöglicht eine explizite Parametrisierung der darauf befindlichen (rationalen Zahl-)Punkte mittels rationaler Funktionen.

Pythagoräische Dreiecke in einem 2D-Gitter

Ein 2D- Gitter ist ein regelmäßiges Array von isolierten Punkten, wobei, wenn ein Punkt als kartesischer Ursprung (0, 0) gewählt wird, alle anderen Punkte bei ( x , y ) liegen, wobei x und y über alle positiven und negativen ganzen Zahlen reichen . Jedes pythagoreische Dreieck mit Tripel ( a , b , c ) kann innerhalb eines 2D-Gitters mit Scheitelpunkten an den Koordinaten (0, 0) ( a , 0) und (0, b ) gezeichnet werden . Die Anzahl der Gitterpunkte, die streng innerhalb der Grenzen des Dreiecks liegen, ist gegeben durch   für primitive pythagoreische Tripel ist diese innere Gitterzahl   Die Fläche (nach dem Satz von Pick gleich eins weniger als die innere Gitterzahl plus die Hälfte der Randgitterzahl) ist gleich    .

Das erste Vorkommen zweier primitiver pythagoräischer Tripel, die sich die gleiche Fläche teilen, tritt bei Dreiecken mit Seiten (20, 21, 29), (12, 35, 37) und gemeinsamer Fläche 210 auf (Sequenz A093536 im OEIS ). Das erste Auftreten von zwei primitiven pythagoräischen Tripeln, die dieselbe innere Gitterzahl teilen, tritt mit (18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365) und innere Gitterzahl 2287674594 (Sequenz A225760 im OEIS ) auf. Es wurden drei primitive pythagoreische Tripel gefunden, die sich die gleiche Fläche teilen: (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069) mit der Fläche 13123110 gefunden, die die gleiche innere Gitterzahl teilen.

Aufzählung primitiver pythagoräischer Tripel

Nach Euklids Formel können alle primitiven pythagoräischen Tripel aus ganzen Zahlen und mit , ungerade und erzeugt werden . Daher gibt es eine 1-zu-1-Abbildung von rationalen Zahlen (in niedrigsten Begriffen) auf primitive pythagoräische Tripel, wobei im Intervall und ungerade sind.

Die umgekehrte Abbildung von einem primitiven Tripel wo zu einem rationalen wird durch das Studium der beiden Summen und erreicht . Eine dieser Summen ist ein Quadrat, das gleichgesetzt werden kann, und die andere ist das Doppelte eines Quadrats, das gleichgesetzt werden kann . Es ist dann möglich, das rationale zu bestimmen .

Um primitive pythagoräische Tripel aufzuzählen, kann das Rational als geordnetes Paar ausgedrückt und unter Verwendung einer Paarungsfunktion wie der Paarungsfunktion von Cantor auf eine ganze Zahl abgebildet werden . Ein Beispiel finden Sie unter (Sequenz A277557 im OEIS ). Es beginnt

und gibt rationale
diese wiederum erzeugen primitive Tripel

Spinors und die modulare Gruppe

Pythagoräische Tripel lassen sich ebenfalls in eine quadratische Matrix der Form kodieren

Eine Matrix dieser Form ist symmetrisch . Weiterhin ist die Determinante von X ist ,

was genau dann Null ist, wenn ( a , b , c ) ein pythagoräisches Tripel ist. Entspricht X einem pythagoräischen Tripel, dann muss es als Matrix den Rang 1 haben.

Da X symmetrisch ist, folgt aus einem Ergebnis der linearen Algebra, dass es einen Spaltenvektor ξ = [ m n ] T gibt, so dass das äußere Produkt

 

 

 

 

( 1 )

gilt, wobei das T die Matrixtransponierte bezeichnet . Der Vektor ξ heißt Spinor (für die Lorentzgruppe SO(1, 2)). Abstrakt ausgedrückt bedeutet die euklidische Formel, dass jedes primitive pythagoreische Tripel als das äußere Produkt eines Spinors mit ganzzahligen Einträgen mit sich selbst geschrieben werden kann, wie in ( 1 ).

Die modulare Gruppe Γ ist die Menge von 2×2 Matrizen mit ganzzahligen Einträgen

mit Determinante gleich eins: αδ − βγ = 1 . Diese Menge bildet eine Gruppe , da die Inverse einer Matrix in Γ wieder in Γ liegt, ebenso wie das Produkt zweier Matrizen in Γ. Die modulare Gruppe wirkt auf die Sammlung aller ganzzahligen Spinoren. Darüber hinaus ist die Gruppe transitiv auf die Sammlung von ganzzahligen Spinoren mit relativ Primzahlen. Denn wenn [ m  n ] T relativ Primzahleinträge hat, dann

wobei u und v (durch den euklidischen Algorithmus ) so gewählt werden, dass mu + nv = 1 ist .

Durch Einwirkung auf den Spinor ξ in ( 1 ) geht die Wirkung von Γ in eine Wirkung auf pythagoräische Tripel über, sofern man Tripel mit möglicherweise negativen Komponenten zulässt. Wenn also A eine Matrix in Γ ist, dann

 

 

 

 

( 2 )

führt zu einer Aktion auf der Matrix X in ( 1 ). Dies ergibt keine genau definierte Aktion für primitive Tripel, da es ein primitives Tripel zu einem imprimitiven machen kann. An dieser Stelle (nach Trautman 1998 ) ist es zweckmäßig , einen dreifachen ( a , b , c ) Standard zu nennen, wenn c > 0 und entweder ( a , b , c ) relativ prim sind oder ( a /2, b /2, c /2) sind relativ prim mit einer ungeraden /2. Wenn der Spinor [ m  n ] T relativ Primzahlen hat, dann ist das durch ( 1 ) bestimmte zugehörige Tripel ( a , b , c ) ein Standardtripel. Daraus folgt, dass die Wirkung der modularen Gruppe auf die Menge der Standardtripel transitiv ist.

Beschränken Sie alternativ die Aufmerksamkeit auf diejenigen Werte von m und n, für die m ungerade und n gerade ist. Sei die Untergruppe Γ(2) von Γ der Kern des Gruppenhomomorphismus

wobei SL(2, Z 2 ) die spezielle lineare Gruppe über dem endlichen Körper Z 2 der ganzen Zahlen modulo 2 ist . Dann ist Γ(2) die Gruppe der unimodularen Transformationen, die die Parität jedes Eintrags bewahren. Wenn also der erste Eintrag von ξ ungerade und der zweite Eintrag gerade ist, dann gilt das gleiche für A ξ für alle A ∈ Γ(2) . Tatsächlich wirkt die Gruppe Γ(2) unter der Aktion ( 2 ) transitiv auf die Sammlung primitiver pythagoräischer Tripel ( Alperin 2005 ).

Die Gruppe Γ(2) ist die freie Gruppe, deren Generatoren die Matrizen sind

Folglich kann jedes primitive pythagoreische Tripel auf einzigartige Weise als Produkt von Kopien der Matrizen U und  L erhalten werden .

Eltern-Kind-Beziehungen

Nach Berggren (1934) können alle primitiven pythagoräischen Tripel aus dem (3, 4, 5)-Dreieck erzeugt werden, indem die drei folgenden linearen Transformationen T 1 , T 2 , T 3 verwendet werden, wobei a , b , c Seiten sind von einem Dreier:

neue seite a neue Seite b neue Seite c
T 1 : a − 2 b + 2 c 2 ab + 2 c 2 a − 2 b + 3 c
T 2 : a + 2 b + 2 c 2 a + b + 2 c 2 a + 2 b + 3 c
T 3 : a + 2 b + 2 c −2 a + b + 2 c −2 a + 2 b + 3 c

Mit anderen Worten, jedes primitive Tripel ist ein "Elternteil" von drei zusätzlichen primitiven Tripeln. Ausgehend vom Anfangsknoten mit a = 3, b = 4 und c = 5 ergibt die Operation T 1 das neue Tripel

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5 , 12, 13),

und in ähnlicher Weise erzeugen T 2 und T 3 die Tripel (21, 20, 29) und (15, 8, 17).

Die linearen Transformationen T 1 , T 2 und T 3 haben eine geometrische Interpretation in der Sprache der quadratischen Formen . Sie sind eng verwandt (aber nicht gleich) mit Reflexionen, die die orthogonale Gruppe von x 2 + y 2z 2 über den ganzen Zahlen erzeugen .

Beziehung zu Gaußschen ganzen Zahlen

Alternativ können die Formeln von Euklid mit den Gaußschen ganzen Zahlen analysiert und bewiesen werden . Gaußsche ganze Zahlen sind komplexe Zahlen der Form α = u + vi , wobei u und v gewöhnliche ganze Zahlen sind und i die Quadratwurzel von negativ ist . Die Einheiten der Gaußschen ganzen Zahlen sind ±1 und ±i. Die gewöhnlichen ganzen Zahlen werden rationale ganze Zahlen genannt und als Z bezeichnet . Die Gaußschen ganzen Zahlen werden als Z [ i ] bezeichnet. Die rechte Seite des Satzes des Pythagoras kann in Gaußsche ganze Zahlen faktorisiert werden:

Eine primitive pythagoreische ist dreifach ein , in denen ein und b sind coprime , dh sie keine Primfaktoren in den ganzen Zahlen teilen. Bei einem solchen Tripel ist entweder a oder b gerade und das andere ungerade; daraus folgt, dass c auch ungerade ist.

Die beiden Faktoren z  := a + bi und z*  := abi eines primitiven pythagoräischen Tripels entsprechen jeweils dem Quadrat einer Gaußschen ganzen Zahl. Dies kann mit der Eigenschaft bewiesen werden, dass jede Gaußsche ganze Zahl bis auf Einheiten eindeutig in Gaußsche Primzahlen zerlegt werden kann . (Diese einzigartige Faktorisierung folgt aus der Tatsache, dass grob gesagt eine Version des euklidischen Algorithmus auf ihnen definiert werden kann.) Der Beweis besteht aus drei Schritten. Erstens, wenn a und b keine Primfaktoren in den ganzen Zahlen teilen, dann teilen sie auch keine Primfaktoren in den Gaußschen ganzen Zahlen. (Angenommen a = gu und b = gv mit Gaußschen ganzen Zahlen g , u und v und g keine Einheit. Dann liegen u und v auf derselben Geraden durch den Ursprung. Alle Gaußschen ganzen Zahlen auf einer solchen Geraden sind ganzzahlige Vielfache einer Gaußschen Zahl h . Aber dann teilt die ganze Zahl gh ≠ ±1 sowohl a als auch b .) Zweitens folgt, dass z und z* ebenfalls keine Primfaktoren in den Gaußschen ganzen Zahlen teilen. Denn wenn ja, dann würde ihr gemeinsamer Teiler δ auch z  +  z* = 2 a und z  −  z* = 2 ib teilen . Da a und b teilerfremd sind, bedeutet dies, dass δ teilt 2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i) 2 . Aus der Formel c 2zz* würde dies wiederum bedeuten, dass c gerade ist, entgegen der Hypothese eines primitiven pythagoräischen Tripels. Drittens, da c 2 ein Quadrat ist, wird jede Gaußsche Primzahl in ihrer Faktorisierung verdoppelt, dh sie kommt gerade oft vor. Da z und z* keine Primfaktoren teilen, gilt diese Verdopplung auch für sie. Daher sind z und z* Quadrate.

Somit kann der erste Faktor geschrieben werden

Der Real- und Imaginärteil dieser Gleichung ergeben die beiden Formeln:

Für jedes primitive pythagoreische Tripel muss es ganze Zahlen m und n geben , damit diese beiden Gleichungen erfüllt sind. Daher kann jedes pythagoreische Tripel aus einer Auswahl dieser ganzen Zahlen erzeugt werden.

Als vollkommen quadratische Gaußsche ganze Zahlen

Wenn wir das Quadrat einer Gaußschen ganzen Zahl betrachten, erhalten wir die folgende direkte Interpretation der Euklidschen Formel als Darstellung des perfekten Quadrats einer Gaußschen ganzen Zahl.

Unter Verwendung der Tatsache, dass die Gaußschen ganzen Zahlen ein euklidisches Gebiet sind und dass für eine Gaußsche Zahl p immer ein Quadrat ist, kann man zeigen, dass ein pythagoräisches Tripel dem Quadrat einer Primzahlgaußzahl entspricht, wenn die Hypotenuse eine Primzahl ist.

Wenn die Gaußsche ganze Zahl keine Primzahl ist, dann ist sie das Produkt zweier Gaußscher ganzen Zahlen p und q mit und ganzen Zahlen. Da sich Größen in den Gaußschen ganzen Zahlen multiplizieren, muss das Produkt sein , das, wenn es quadriert wird, um ein pythagoräisches Tripel zu finden, zusammengesetzt sein muss. Das Kontrapositiv vervollständigt den Beweis.

Bezug zu Ellipsen mit ganzzahligen Maßen

Beziehung zwischen pythagoräischen Tripeln und Ellipsen mit integraler linearer Exzentrizität und großen und kleinen Achsen für die ersten 3 pythagoräischen Tripel

Unter Bezugnahme auf die Figur und die Definition der Brennpunkte einer Ellipse F 1 und F 2 ist für jeden Punkt P auf der Ellipse F 1 P + PF 2 konstant.

Da die Punkte A und B beide auf der Ellipse liegen, gilt F 1 A + AF 2 = F 1 B + BF 2 . Aus Symmetriegründen gilt F 1 A + AF 2 = F 2 A' + AF 2 = AA' = 2 AC und F 1 B + BF 2 = 2 BF 2 . Daher ist AC = BF 2 .

Wenn also BCF 2 ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten ist, sind die Trennung der Brennpunkte, lineare Exzentrizität, Nebenachse und Hauptachse ebenfalls ganze Zahlen.

Verteilung der Tripel

Ein Streudiagramm der Beine ( a , b ) der ersten pythagoräischen Tripel mit a und b kleiner als 4500.

Es gibt eine Reihe von Ergebnissen zur Verteilung der pythagoräischen Tripel. Im Streudiagramm sind bereits einige offensichtliche Muster erkennbar. Immer wenn die Schenkel ( a , b ) eines primitiven Tripels im Diagramm erscheinen, müssen auch alle ganzzahligen Vielfachen von ( a , b ) im Diagramm erscheinen, und diese Eigenschaft erzeugt das Erscheinen von vom Ursprung ausgehenden Linien im Diagramm.

Innerhalb der Streuung gibt es Sätze von parabolischen Mustern mit einer hohen Punktdichte und all ihren Brennpunkten im Ursprung, die sich in alle vier Richtungen öffnen. Verschiedene Parabeln schneiden sich an den Achsen und scheinen mit einem Einfallswinkel von 45 Grad von der Achse zu reflektieren, wobei eine dritte Parabel senkrecht einfällt. Innerhalb dieses Quadranten zeigt jeder auf den Ursprung zentrierte Bogen den Abschnitt der Parabel, der zwischen ihrer Spitze und ihrem Schnittpunkt mit ihrem Semilatus-Rektum liegt .

Diese Muster können wie folgt erklärt werden. Wenn eine ganze Zahl ist, dann ist ( a , , ) ein pythagoräisches Tripel. (In der Tat jeder pythagoreischen Tripel ( a , b , c ) kann auf diese Art und Weise geschrieben werden , mit ganzzahligen n gegebenenfalls nach Austausch von a und b , da und a und b nicht beide ungerade sein.) Der Pythagoreisches Tripel liegt also Kurven gegeben durch , dh an der a- Achse gespiegelte Parabeln und die entsprechenden Kurven mit vertauschten a und b . Wenn a für ein gegebenes n (dh auf einer gegebenen Parabel) variiert wird , treten ganzzahlige Werte von b relativ häufig auf, wenn n ein Quadrat oder ein kleines Vielfaches eines Quadrats ist. Liegen mehrere solcher Werte nahe beieinander, fallen die entsprechenden Parabeln annähernd zusammen und die Tripel bündeln sich in einem schmalen Parabelstreifen. Zum Beispiel 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 und 10 × 12 2 = 1440; der entsprechende Parabelstreifen um n ≈ 1450 ist im Streudiagramm deutlich zu erkennen.

Die oben beschriebenen Winkeleigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der funktionalen Form der Parabeln. Die Parabeln werden an der a- Achse bei a = 2 n gespiegelt , und die Ableitung von b nach a an diesem Punkt ist –1; daher beträgt der Einfallswinkel 45°. Da sich die Cluster wie alle Tripel zu ganzzahligen Vielfachen wiederholen, entspricht auch der Wert 2 n einem Cluster. Die entsprechende Parabel schneidet die b- Achse rechtwinklig bei b = 2 n , und daher schneidet ihre Spiegelung beim Austausch von a und b die a- Achse rechtwinklig bei a = 2 n , genau dort, wo die Parabel für n bei reflektiert wird die a- Achse. (Dasselbe gilt natürlich auch für vertauschte a und b .)

Albert Fässler und andere geben Einblicke in die Bedeutung dieser Parabeln im Kontext konformer Abbildungen.

Sonderfälle und verwandte Gleichungen

Die platonische Folge

Der Fall n = 1 der allgemeineren Konstruktion pythagoräischer Tripel ist seit langem bekannt. Proklos beschreibt es in seinem Kommentar zum 47. Satz des ersten Buches der Euklidischen Elemente wie folgt:

Überliefert sind bestimmte Methoden zur Entdeckung solcher Dreiecke, eine, die sie auf Platon und eine andere auf Pythagoras beziehen . (Letzteres) beginnt mit ungeraden Zahlen. Denn es macht die ungerade Zahl zur kleineren der Seiten um den rechten Winkel; dann nimmt es das Quadrat davon, subtrahiert die Einheit und macht die Hälfte der Differenz je größer der Seiten um den rechten Winkel; endlich fügt sie diesem eine Einheit hinzu und bildet so die übrige Seite, die Hypotenuse.
...Denn die Methode von Platon argumentiert mit geraden Zahlen. Es nimmt die gegebene gerade Zahl und macht sie zu einer der Seiten im rechten Winkel; Dann wird diese Zahl halbiert und die Hälfte quadriert, um dem Quadrat Eins hinzuzufügen, um die Hypotenuse zu bilden, und Eins vom Quadrat subtrahiert, um die andere Seite ungefähr im rechten Winkel zu bilden. ... Auf diese Weise hat es dasselbe Dreieck gebildet, das durch die andere Methode erhalten wurde.

In Gleichungsform wird daraus:

a ist ungerade (Pythagoras, um 540 v. Chr.):

a ist gerade (Platon, um 380 v. Chr.):

Es kann gezeigt werden, dass alle pythagoräischen Tripel mit entsprechender Umskalierung aus der grundlegenden platonischen Folge ( a , ( a 2 − 1)/2 und ( a 2 + 1)/2 ) erhalten werden können, indem a nicht ganzzahlig angenommen wird rationale Werte. Wenn a durch den Bruch m / n in der Sequenz ersetzt wird, ist das Ergebnis nach der Neuskalierung gleich dem 'Standard'-Tripelgenerator (2 mn , m 2n 2 , m 2 + n 2 ). Daraus folgt, dass jedes Tripel einen entsprechenden rationalen a- Wert hat, der verwendet werden kann, um ein ähnliches Dreieck zu erzeugen (eines mit den gleichen drei Winkeln und mit den gleichen Seitenverhältnissen wie das Original). Zum Beispiel wird das platonische Äquivalent von (56, 33, 65) erzeugt durch a = m / n = 7/4 als ( a , ( a 2 –1)/2, ( a 2 +1)/2) = ( 56/32, 33/32, 65/32). Die platonische Sequenz selbst kann abgeleitet werden, indem man den Schritten zum 'Aufteilen des Quadrats' folgt , die in Diophantus II.VIII beschrieben sind .

Die Jacobi-Madden-Gleichung

Die gleichung,

entspricht dem speziellen pythagoräischen Tripel,

Es gibt unendlich viele Lösungen für diese Gleichung, da das Lösen nach den Variablen eine elliptische Kurve beinhaltet . Kleine sind,

Gleiche Summen von zwei Quadraten

Eine Möglichkeit, Lösungen zu generieren, besteht darin, a, b, c, d in Bezug auf ganze Zahlen m, n, p, q wie folgt zu parametrisieren :

Gleiche Summen von zwei vierten Potenzen

Gegeben zwei Mengen pythagoräischer Tripel,

das Problem, gleiche Produkte einer nicht-hypotenuse Seite und der Hypotenuse zu finden,

ist leicht äquivalent zu der Gleichung,

und wurde zuerst von Euler als gelöst . Da er gezeigt hat, dass dies ein rationaler Punkt in einer elliptischen Kurve ist , gibt es unendlich viele Lösungen. Tatsächlich fand er auch eine polynomielle Parametrisierung 7. Grades.

Der Kreissatz von Descartes

Für den Fall des Kreissatzes von Descartes, in dem alle Variablen Quadrate sind,

Euler zeigte, dass dies drei gleichzeitigen pythagoräischen Tripeln entspricht,

Es gibt auch unendlich viele Lösungen, und für den Sonderfall, wenn , dann vereinfacht sich die Gleichung zu

mit kleinen Lösungen als und können als binäre quadratische Formen gelöst werden .

Fast gleichschenklige pythagoräische Tripel

Keine pythagoräischen Tripel sind gleichschenklig , weil das Verhältnis der Hypotenuse zu jeder anderen Seite 2 ist , aber 2 kann nicht als das Verhältnis von 2 ganzen Zahlen ausgedrückt werden .

Es gibt jedoch rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten, bei denen sich die Längen der Nicht-Hypotenuse-Seiten um eins unterscheiden, wie z.

und unendlich viele andere. Sie können vollständig parametriert werden als,

wobei { x, y } die Lösungen der Pell-Gleichung sind .

Wenn a , b , c die Seiten dieser Art von primitivem pythagoreischem Tripel (PPT) sind, dann ist die Lösung der Pell-Gleichung durch die rekursive Formel gegeben

mit und
mit und
mit und .

Diese Sequenz von PPTs bildet den zentralen Stamm (Stamm) des verwurzelten ternären Baums von PPTs.

Wenn sich die längere Nicht-Hypotenuse-Seite und die Hypotenuse um eins unterscheiden, z

dann wird die komplette Lösung für die PPT a , b , c ist

und

wobei integer der erzeugende Parameter ist.

Es zeigt, dass alle ungeraden Zahlen (größer als 1) in dieser Art von fast gleichschenkligen PPT vorkommen. Diese Sequenz von PPTs bildet den rechten äußeren Stamm des verwurzelten ternären Baums von PPTs.

Eine weitere Eigenschaft dieser Art von fast gleichschenkligen PPT ist, dass die Seiten so miteinander verbunden sind, dass

für eine ganze Zahl . Oder mit anderen Worten ist teilbar durch wie in

.

Fibonacci-Zahlen in pythagoräischen Tripeln

Beginnend mit 5 ist jede zweite Fibonacci-Zahl die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten, oder anders ausgedrückt, die größte Zahl in einem pythagoräischen Tripel, erhalten aus der Formel

Die aus dieser Formel erhaltene Folge von pythagoräischen Dreiecken hat Seitenlängen
(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

Die mittlere Seite jedes dieser Dreiecke ist die Summe der drei Seiten des vorhergehenden Dreiecks.

Verallgemeinerungen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Konzept der pythagoräischen Tripel zu verallgemeinern.

Pythagoräisches n- Tupel

Unter Verwendung der einfachen algebraischen Identität ,

für beliebige x 0 , x 1 ist es leicht zu beweisen, dass das Quadrat der Summe von n Quadraten selbst die Summe von n Quadraten ist, indem man x 0  =  x 2 2  +  x 3 2  + ... +  x n 2 und dann die bedingungen verteilen. Man kann sehen, dass pythagoreische Tripel und Quadrupel nur die besonderen Fälle x 0  =  x 2 2 bzw. x 0  =  x 2 2  +  x 3 2 sind, und so weiter für andere n , mit Quinteln gegeben durch

Da die Summe F ( k , m ) von k aufeinanderfolgenden Quadraten beginnend mit m 2 durch die Formel

man kann Werte ( k , m ) finden, so dass F ( k , m ) ein Quadrat ist, wie zum Beispiel einer von Hirschhorn, wo die Anzahl der Terme selbst ein Quadrat ist,

und v ≥ 5 ist eine beliebige ganze Zahl, die nicht durch 2 oder 3 teilbar ist. Für den kleinsten Fall v = 5, also k = 25, ergibt sich das bekannte Kanonenkugel-Stacking-Problem von Lucas ,

eine Tatsache, die mit dem Blutegel-Gitter verbunden ist .

Wenn in einem pythagoräischen n- Tupel ( n ≥ 4) alle Addenden außer einem aufeinander folgen, kann man außerdem die Gleichung

Da sich die zweite Potenz von p aufhebt, ist dies nur linear und leicht zu lösen, als ob k , m so gewählt werden sollte, dass p eine ganze Zahl ist, wobei ein kleines Beispiel k = 5, m = 1 ergibt,

Somit ist eine Art und Weise des Erzeugens pythagoreischen n -Tupel durch Verwendung ist, für verschiedene x ,

wobei q = n –2 und wobei

Pythagoräisches Vierfach

Ein Satz von vier positiven ganzen Zahlen a , b , c und d , so daß ein 2 + b 2 + c 2 = d 2 ist ein sogenanntes pythagoreischen vervierfachen . Das einfachste Beispiel ist (1, 2, 2, 3), da 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . Das nächste einfachste (primitive) Beispiel ist (2, 3, 6, 7), da 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .

Alle Quadrupel sind gegeben durch die Formel

Fermats letzter Satz

Eine Verallgemeinerung des Konzepts der pythagoräischen Tripel ist die Suche nach Tripeln von positiven ganzen Zahlen a , b und c , so dass a n + b n = c n , für einige n strikt größer als 2. Pierre de Fermat behauptete 1637, dass no ein solches Tripel existiert, eine Behauptung, die als Fermats letzter Satz bekannt wurde, weil es länger dauerte als jede andere Vermutung von Fermat, um bewiesen oder widerlegt zu werden. Der erste Beweis wurde 1994 von Andrew Wiles erbracht.

n − 1 oder n n- te Potenzen summieren sich zu einer n- ten Potenz

Eine andere Verallgemeinerung ist die Suche nach Folgen von n  + 1 positiven ganzen Zahlen, bei denen die n- te Potenz des letzten die Summe der n- ten Potenzen der vorherigen Terme ist. Die kleinsten Folgen für bekannte Werte von n sind:

  • n = 3: {3, 4, 5; 6}.
  • n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
  • n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
  • n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
  • n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Für den Fall n = 3, in dem Fermat kubisch genannt wird , existiert eine allgemeine Formel, die alle Lösungen angibt.

Eine etwas andere Verallgemeinerung erlaubt, dass die Summe der ( k  + 1) n- ten Potenzen gleich der Summe der ( n  −  k ) n- ten Potenzen ist. Zum Beispiel:

  • ( n = 3): 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 , berühmt geworden durch Hardys Erinnerung an ein Gespräch mit Ramanujan, dass die Zahl 1729 die kleinste Zahl ist, die auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Würfel ausgedrückt werden kann .

Es kann auch n  − 1 positive ganze Zahlen geben, deren n - te Potenz eine n- te Potenz ergibt (allerdings nach Fermats letztem Satz nicht für n  = 3); dies sind Gegenbeispiele zu Eulers Potenzsummenvermutung . Die kleinsten bekannten Gegenbeispiele sind

  • n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
  • n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Heronische Dreieckstripel

Ein heronisches Dreieck wird allgemein als eines mit ganzzahligen Seiten definiert, dessen Fläche ebenfalls eine ganze Zahl ist, und wir werden Heronische Dreiecke mit verschiedenen ganzzahligen Seiten betrachten. Die Seitenlängen eines solchen Dreiecks bilden ein Heronisches Tripel ( a, b, c ), vorausgesetzt a < b < c . Jedes pythagoreische Tripel ist ein heronisches Tripel, da mindestens einer der Schenkel a , b gerade in einem pythagoreischen Tripel sein muss, also ist die Fläche ab /2 eine ganze Zahl. Allerdings ist nicht jedes heronische Tripel ein pythagoräisches Tripel, wie das Beispiel (4, 13, 15) mit Fläche 24 zeigt.

Wenn ( a , b , c ) ein Heronsches Tripel ist, ist es auch ( ma , mb , mc ), wobei m eine beliebige positive ganze Zahl ist; seine Fläche ist die ganze Zahl, die m 2 mal die ganzzahlige Fläche des ( a , b , c ) Dreiecks ist. Das Heronische Tripel ( a , b , c ) ist primitiv, vorausgesetzt, a , b , c sind mengenweise teilerfremd . (Bei primitiven pythagoräischen Tripeln gilt auch die stärkere Aussage, dass sie paarweise teilerfremd sind, aber bei primitiven heronischen Dreiecken gilt die stärkere Aussage nicht immer, wie bei (7, 15, 20) .) Hier sind einige der einfachsten primitiven Heronische Tripel, die keine pythagoräischen Tripel sind:

(4, 13, 15) mit Fläche 24
(3, 25, 26) mit Fläche 36
(7, 15, 20) mit Fläche 42
(6, 25, 29) mit Fläche 60
(11, 13, 20) mit Fläche 66
(13, 14, 15) mit Fläche 84
(13, 20, 21) mit Fläche 126

Nach der Formel von Heron ist die zusätzliche Bedingung für ein Tripel von positiven ganzen Zahlen ( a , b , c ) mit a < b < c , um Heronsch zu sein, dass

( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2( a 4 + b 4 + c 4 )

oder gleichwertig

2( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )

sei ein durch 16 teilbares Quadrat ungleich Null.

Anwendung auf Kryptographie

Primitive pythagoreische Tripel wurden in der Kryptographie als Zufallsfolgen und zur Schlüsselgenerierung verwendet.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links