Euklids Obstgarten - Euclid's orchard

Eine Ecke von Euklids Obstgarten, in der Bäume mit der x -Koordinate ihrer Projektion auf die Ebene x + y = 1 gekennzeichnet sind .

In der Mathematik , informell gesprochen, ist Euklids Obstgarten ein Array von eindimensionalen "Bäumen" von Einheitshöhe, die an den Gitterpunkten in einem Quadranten eines quadratischen Gitters gepflanzt werden . Formaler ausgedrückt ist Euklids Obstgarten die Menge von Liniensegmenten von ( i , j , 0) bis ( i , j , 1) , wobei i und j positive ganze Zahlen sind.

Draufsicht auf eine Ecke von Euklids Obstgarten. Bäume, die durch einen durchgezogenen blauen Punkt gekennzeichnet sind, sind vom Ursprung aus sichtbar.

Perspektivische Ansicht von Euklids Obstgarten vom Ursprung. Rote Bäume bezeichnen zwei Reihen von der Hauptdiagonale.

Die Bäume sichtbar von dem Ursprung sind diejenigen an Gitterpunkten ( m , n , 0) , wobei m und n sind coprime , das heißt, wo der Anteilm/nist in reduzierter Form . Der Name Euklids Obstgarten leitet sich vom euklidischen Algorithmus ab .

Wird der Obstgarten relativ zum Ursprung auf die Ebene x + y = 1 projiziert (oder entsprechend perspektivisch vom Ursprung aus gezeichnet ), bilden die Baumkronen einen Graphen der Thomae-Funktion . Der Punkt ( m , n , 1) projiziert auf

${\displaystyle \left({\frac{m}{m+n}},{\frac{n}{m+n}},{\frac{1}{m+n}}\right).}$

Die Lösung des Basler Problems kann verwendet werden, um zu zeigen, dass der Anteil der Punkte im Gitter, die Bäume darauf haben, ungefähr ist und dass der Fehler dieser Näherung im Grenzwert gegen Null geht, wenn er ins Unendliche geht. ${\displaystyle n\mal n}$${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi^{2}}}}$${\displaystyle n}$

Siehe auch

• Undurchsichtiges Waldproblem

Verweise

Externe Links

• Euclid's Orchard, Klasse 9-11 Aktivitäten und Problemblatt , Texas Instruments Inc.
• Projekt Euler-bezogenes Problem