Satz von Euklid-Euler - Euclid–Euler theorem

Der Satz von Euklid-Euler ist ein Satz der Zahlentheorie , der perfekte Zahlen mit Mersenne-Primzahlen in Beziehung setzt . Sie besagt, dass eine gerade Zahl genau dann perfekt ist, wenn sie die Form 2 p −1 (2 p − 1) hat , wobei 2 p − 1 eine Primzahl ist . Der Satz ist nach den Mathematikern Euklid und Leonhard Euler benannt , die jeweils die „Wenn“- und „Nur wenn“-Aspekte des Satzes bewiesen haben.

Es wurde vermutet, dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Obwohl die Wahrheit dieser Vermutung unbekannt bleibt, entspricht sie nach dem Euklid-Euler-Theorem der Vermutung, dass es unendlich viele gerade perfekte Zahlen gibt. Es ist jedoch auch unbekannt, ob es sogar eine einzelne ungerade perfekte Zahl gibt.

Aussage und Beispiele

Eine perfekte Zahl ist eine natürliche Zahl , die gleich der Summe ihrer echten Teiler ist , also der Zahlen, die kleiner sind als sie und gleichmäßig geteilt wird (mit Rest Null). Zum Beispiel sind die richtigen Teiler von 6 1, 2 und 3, die sich zu 6 summieren, also ist 6 perfekt.

Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl der Form M p = 2 p − 1 , eins kleiner als eine Zweierpotenz . Damit eine Zahl dieser Form eine Primzahl ist, muss p selbst auch eine Primzahl sein, aber nicht alle Primzahlen führen auf diese Weise zu Mersenne-Primzahlen. Zum Beispiel ist 2 3 − 1 = 7 eine Mersenne-Primzahl, aber 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 nicht.

Der Satz von Euklid-Euler besagt, dass eine gerade natürliche Zahl genau dann perfekt ist, wenn sie die Form 2 p −1 M p hat , wobei M p eine Mersenne-Primzahl ist. Die perfekte Zahl 6 kommt auf diese Weise aus p = 2 , da 2 2−1 M 2 = 2 × 3 = 6 , und die Mersenne-Primzahl 7 entspricht in gleicher Weise der perfekten Zahl 28.

Geschichte

Euklid bewies, dass 2 p −1 (2 p − 1) eine gerade perfekte Zahl ist, wenn 2 p − 1 eine Primzahl ist. Dies ist das Endergebnis der Zahlentheorie in Euklids Elementen ; die späteren Bücher der Elements befassen sich stattdessen mit irrationalen Zahlen , der festen Geometrie und dem Goldenen Schnitt . Euklid drückt das Ergebnis aus, indem er feststellt, dass wenn eine endliche geometrische Reihe beginnend bei 1 mit dem Verhältnis 2 eine Primsumme q hat , diese Summe multipliziert mit dem letzten Term t in der Reihe perfekt ist. In diesen Begriffen ausgedrückt, ist die Summe q der endlichen Reihe die Mersenne-Primzahl 2 p − 1 und der letzte Term t der Reihe ist die Zweierpotenz 2 p −1 . Euklid beweist, dass qt perfekt ist, indem er beobachtet, dass die geometrische Reihe mit dem Verhältnis 2 beginnend bei q mit der gleichen Anzahl von Termen proportional zur ursprünglichen Reihe ist; da die ursprüngliche Reihe sich zu q = 2 t − 1 summiert, summiert sich die zweite Reihe zu q (2 t − 1) = 2 qtq , und beide Reihen addieren sich zusammen zu 2 qt , dem Zweifachen der angenommenen perfekten Zahl. Diese beiden Reihen sind jedoch voneinander getrennt und erschöpfen (durch die Primalität von q ) alle Teiler von qt , also hat qt Teiler, die sich zu 2 qt summieren , was zeigt, dass es perfekt ist.

Über ein Jahrtausend nach Euklid, Alhazen c.  1000 CE vermutete, dass jede gerade perfekte Zahl die Form 2 p −1 (2 p − 1) hat, wobei 2 p − 1 eine Primzahl ist, konnte dieses Ergebnis jedoch nicht beweisen. Erst im 18. Jahrhundert, über 2000 Jahre nach Euklid, bewies Leonhard Euler , dass die Formel 2 p −1 (2 p − 1) alle geraden perfekten Zahlen liefert. Somit besteht eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen geraden perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen; jede Mersenne-Primzahl erzeugt eine gerade perfekte Zahl und umgekehrt. Nach Eulers Beweis des Euklid-Euler-Theorems haben andere Mathematiker verschiedene Beweise veröffentlicht, darunter Victor-Amédée Lebesgue , Robert Daniel Carmichael , Leonard Eugene Dickson , John Knopfmacher und Wayne L. McDaniel. Insbesondere Dicksons Beweis wird häufig in Lehrbüchern verwendet.

Dieser Satz wurde in eine Webliste der "Top 100 mathematischen Theoreme" aus dem Jahr 1999 aufgenommen, die später von Freek Wiedijk als Benchmark- Set verwendet wurde, um die Leistungsfähigkeit verschiedener Beweisassistenten zu testen . Ab 2021 war der Beweis des Euklid-Euler-Theorems in 5 der 10 von Wiedijk erfassten Beweisassistenten formalisiert.

Nachweisen

Eulers Beweis ist kurz und hängt von der Tatsache , dass die Summe der Teiler Funktion σ ist multiplikative ; Das heißt, wenn a und b sind jeweils zwei relativ prim ganze Zahlen, dann σ ( AB ) = σ ( a ) σ ( b ) . Damit diese Formel gültig ist, muss die Summe der Teiler einer Zahl die Zahl selbst enthalten, nicht nur die richtigen Teiler. Eine Zahl ist genau dann perfekt, wenn die Summe ihrer Teiler den doppelten Wert hat.

Ausreichend

Eine Richtung des Satzes (der von Euklid bereits bewiesene Teil) folgt unmittelbar aus der multiplikativen Eigenschaft: Jede Mersenne-Primzahl führt zu einer geraden perfekten Zahl. Wenn 2 p - 1 eine Primzahl ist, die Teiler von 2 p -1 sind 1, 2, 4, 8, ..., 2 p -1 . Die Summe dieser Teiler ist eine geometrische Reihe, deren Summe 2 p − 1 ist . Da 2 p − 1 eine Primzahl ist, sind seine einzigen Teiler 1 und er selbst, also ist die Summe seiner Teiler 2 p .

Diese kombinieren,

Daher ist 2 p −1 (2 p − 1) perfekt.

Notwendigkeit

Nehmen Sie in der anderen Richtung an, dass eine gerade perfekte Zahl gegeben ist, und faktorisieren Sie sie teilweise als 2 k x , wobei x ungerade ist. Damit 2 k x perfekt ist, muss die Summe seiner Teiler den doppelten Wert haben:

 

 

 

 

(∗)

Der ungerade Faktor 2 k +1 − 1 auf der rechten Seite von (∗) ist mindestens 3, und er muss x teilen , den einzigen ungeraden Faktor auf der linken Seite, also y = x /(2 k +1 − 1) ist ein echter Teiler von x . Dividiert man beide Seiten von (∗) durch den gemeinsamen Faktor 2 k +1 − 1 und berücksichtigt man die bekannten Teiler x und y von x, erhält man

andere Teiler andere Teiler.

Damit diese Gleichheit wahr ist, kann es keine anderen Teiler geben. Daher y müssen 1 , und x ist eine Primzahl von der Form 2 k +1 - 1 .

Verweise