Euklidische Beziehung - Euclidean relation
In der Mathematik sind euklidische Beziehungen eine Klasse von binären Beziehungen , die " Axiom 1 " in Euklids Elementen formalisieren : "Größen, die gleich sind, sind einander gleich."
Definition
Eine binäre Relation R auf einem Satz X ist euklidische (manchmal als rechtes euklidische wenn es erfüllt die folgenden): für jeden a , b , c in X , wenn a auf zusammenhängt b und c , dann b wird im Zusammenhang c . So schreiben Sie dies in Prädikatenlogik :
Dually, eine Beziehung R auf X ist links euklidischen wenn für jedes a , b , c in X , wenn b zu zusammenhängt a und c zu zusammenhängt a , dann b wird auf verwandte c :
Eigenschaften
- Aufgrund der Kommutativität von ∧ im Vorgänger der Definition impliziert aRb ∧ aRc sogar bRc ∧ cRb, wenn R richtig euklidisch ist. In ähnlicher Weise bRa ∧ CRA impliziert BRC ∧ CRB wenn R euklidischen gelassen wird .
- Die Eigenschaft, euklidisch zu sein, unterscheidet sich von der Transitivität . Zum Beispiel ist ≤ transitiv, aber nicht richtig euklidisch, während xRy, definiert durch 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2, nicht transitiv ist, sondern richtig euklidisch für natürliche Zahlen.
- Bei symmetrischen Beziehungen fallen Transitivität, rechte Euklidizität und linke Euklidizität zusammen. Eine nicht symmetrische Beziehung kann jedoch sowohl transitiv als auch rechtseuklidisch sein, beispielsweise xRy, definiert durch y = 0.
- Eine Beziehung, die sowohl richtig euklidisch als auch reflexiv ist, ist ebenfalls symmetrisch und daher eine Äquivalenzbeziehung . Ebenso ist jede linke euklidische und reflexive Beziehung eine Äquivalenz.
- Der Bereich einer rechten euklidischen Beziehung ist immer eine Teilmenge ihrer Domäne . Die Beschränkung einer rechten euklidischen Beziehung auf ihre Reichweite ist immer reflexiv und daher eine Äquivalenz. In ähnlicher Weise ist die Domäne einer linken euklidischen Beziehung eine Teilmenge ihres Bereichs, und die Beschränkung einer linken euklidischen Beziehung auf ihre Domäne ist eine Äquivalenz.
- Eine Beziehung R ist sowohl links als auch rechts euklidisch, wenn und nur wenn die Domäne und der Bereichssatz von R übereinstimmen, und R ist eine Äquivalenzrelation für diesen Satz.
- Eine rechte euklidische Beziehung ist immer quasitransitiv , ebenso eine linke euklidische Beziehung.
- Eine verbundene rechte euklidische Beziehung ist immer transitiv; und so ist eine zusammenhängende linke euklidische Beziehung.
- Wenn X mindestens 3 Elemente hat, kann eine verbundene rechte euklidische Beziehung R auf X nicht antisymmetrisch sein , und eine verbundene linke euklidische Beziehung auf X kann auch nicht antisymmetrisch sein . Auf der 2-Element-Menge X = {0, 1} ist z. B. die durch y = 1 definierte Beziehung xRy verbunden, rechts euklidisch und antisymmetrisch, und xRy, definiert durch x = 1, ist verbunden, links euklidisch und antisymmetrisch.
- Eine Beziehung R auf einer Menge X ist genau dann richtig euklidisch, wenn die Restriktion R ' : = R | ran ( R ) ist eine Äquivalenz und für jedes x in X \ ran ( R ) sind alle Elemente, auf die x unter R bezogen ist, unter R ' äquivalent . In ähnlicher Weise bleibt R auf X genau dann euklidisch, wenn R ' : = R | dom ( R ) ist eine Äquivalenz und für jedes x in X \ dom ( R ) sind alle Elemente, die unter R mit x zusammenhängen, unter R ' äquivalent .
- Eine linke euklidische Beziehung ist nur dann eindeutig , wenn sie antisymmetrisch ist . In ähnlicher Weise ist eine rechte euklidische Beziehung genau dann eindeutig, wenn sie antisymmetrisch ist.
- Eine linke euklidische und eine linke eindeutige Beziehung sind vakuumtransitiv, ebenso wie eine rechte euklidische und eine rechte eindeutige Beziehung.
- Eine linke euklidische Beziehung bleibt quasi reflexiv . Für links-eindeutige Beziehungen gilt auch das Gegenteil. Doppelt ist jede rechte euklidische Beziehung richtig quasi-reflexiv, und jede richtige einzigartige und richtige quasi-reflexive Beziehung ist richtig euklidisch.