Eulersche Gleichungen (Dynamik starrer Körper) - Euler's equations (rigid body dynamics)

Teil einer Serie über
Klassische Mechanik
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Zweites Bewegungsgesetz
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In der klassischen Mechanik sind Eulers Rotationsgleichungen eine vektorielle quasilineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, die die Rotation eines starren Körpers beschreibt , wobei ein rotierendes Referenzsystem verwendet wird, dessen Achsen am Körper befestigt und parallel zu den Hauptträgheitsachsen des Körpers verlaufen . Ihre allgemeine Form ist:

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega}}}+{\boldsymbol {\omega}}\times \left(\mathbf{I} {\boldsymbol {\omega}}\right) =\mathbf{M}.}$

wobei M die aufgebrachten Drehmomente sind , I die Trägheitsmatrix ist und ω die Winkelgeschwindigkeit um die Hauptachsen ist.

In dreidimensionalen orthogonalen Hauptkoordinaten werden sie zu:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}I_{1}{\dot {\omega}}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega_{2}\omega_{3}& =M_{1}\\I_{2}{\dot {\omega}}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=M_ {2}\\I_{3}{\dot {\omega}}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega_{1}\omega_{2}&=M_{3 }\end{ausgerichtet}}}$

wobei M _k die Komponenten der aufgebrachten Drehmomente sind, I _k die Hauptträgheitsmomente sind und ω _k die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit um die Hauptachsen sind.

Motivation und Ableitung

Ausgehend vom zweiten Newtonschen Gesetz ist in einem Trägheitsbezugssystem (indiziert "in") die zeitliche Ableitung des Drehimpulses L gleich dem aufgebrachten Drehmoment

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt }}\left(\mathbf{I}_{\text{in}}{\boldsymbol {\omega}}\right)=\mathbf{M}_{\text{in}}}$

wo ich _in dem Trägheitsmoment Tensor im Inertialsystem berechnet. Obwohl dieses Gesetz allgemein gültig ist, ist es nicht immer hilfreich, um die Bewegung eines allgemein rotierenden starren Körpers aufzulösen, da sich sowohl I _in als auch ω während der Bewegung ändern können.

Daher wechseln wir zu einem im rotierenden Körper fixierten Koordinatensystem, das so gewählt wird, dass seine Achsen mit den Hauptachsen des Trägheitsmomenttensors fluchten . In diesem Rahmen ist zumindest der Trägheitstensor konstant (und diagonal), was die Berechnungen vereinfacht. Wie im Trägheitsmoment beschrieben , lässt sich der Drehimpuls L schreiben

${\displaystyle \mathbf {L} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2 }+L_{3}\mathbf {e} _{3}=I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e } _{2}+I_{3}\omega_{3}\mathbf{e}_{3}}$

wobei M _k , I _k und ω _k wie oben sind.

In einem rotierenden Bezugssystem muss die Zeitableitung durch ersetzt werden (siehe Zeitableitung in rotierendem Bezugssystem )

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {L} =\ mathbf {M} }$

wobei das tiefgestellte "rot" anzeigt, dass es im rotierenden Bezugssystem aufgenommen wurde. Die Ausdrücke für das Drehmoment im rotierenden und im Inertialsystem stehen in Beziehung zu

${\displaystyle \mathbf{M}_{\text{in}}=\mathbf{Q} \mathbf{M},}$

wobei Q der Rotationstensor (nicht Rotationsmatrix ) ist, ein orthogonaler Tensor bezogen auf den Winkelgeschwindigkeitsvektor um

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}\times {\boldsymbol {v}}={\dot {\mathbf {Q}}}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {v}}}$

für einen beliebigen Vektor v .

Im Allgemeinen setzt man L = I and ein und nimmt die Zeitableitungen mit der Erkenntnis, dass der Trägheitstensor und damit auch die Hauptmomente nicht von der Zeit abhängen. Dies führt zur allgemeinen Vektorform der Eulerschen Gleichungen

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega}}}+{\boldsymbol {\omega}}\times \left(\mathbf{I} {\boldsymbol {\omega}}\right) =\mathbf{M}.}$

Wenn Hauptachsendrehung

${\displaystyle L_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ I_{k}\omega _{k}}$

ersetzt wird, und dann unter Verwendung des Kreuzprodukts und der Tatsache, dass sich die Hauptmomente mit der Zeit nicht ändern, kommen wir zu den Euler-Gleichungen in Komponenten am Anfang des Artikels.

Drehmomentfreie Lösungen

Für die RHSs gleich Null gibt es nicht-triviale Lösungen: momentenfreie Präzession . Beachten Sie, dass, da I konstant ist (weil der Trägheitstensor eine 3×3- Diagonalmatrix ist (siehe den vorherigen Abschnitt), weil wir im intrinsischen System arbeiten oder weil das Drehmoment die Drehung um dieselbe Achse antreibt, so dass I nicht ist ändern) dann dürfen wir schreiben ${\displaystyle\mathbf{\hat{n}}}$

${\displaystyle \mathbf {M} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mathbf {I} {\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {\hat {n}} = \mathbf{I}\alpha\,\mathbf{\hat{n}}}$

wo

α wird als Winkelbeschleunigung (oder Rotationsbeschleunigung ) um die Rotationsachse bezeichnet .${\displaystyle\mathbf{\hat{n}}}$

Wenn I jedoch im externen Bezugssystem nicht konstant ist (dh der Körper bewegt sich und sein Trägheitstensor nicht konstant diagonal ist), können wir I nicht außerhalb der Ableitung nehmen . In diesem Fall haben wir eine momentenfreie Präzession , so dass sich I ( t ) und ω ( t ) gemeinsam ändern, sodass ihre Ableitung Null ist. Diese Bewegung kann durch Poinsots Konstruktion visualisiert werden .

Verallgemeinerungen

Es ist auch möglich, diese Gleichungen zu verwenden, wenn die Achsen, in denen

${\displaystyle \left({\frac{d\mathbf{L}}{dt}}\right)_{\mathrm {relative}}}$

beschrieben sind, sind nicht mit dem Körper verbunden. Dann sollte ω durch die Drehung der Achsen anstelle der Drehung des Körpers ersetzt werden. Es ist jedoch weiterhin erforderlich, dass die gewählten Achsen immer noch Hauptträgheitsachsen sind. Diese Form der Euler-Gleichungen ist nützlich für rotationssymmetrische Objekte, bei denen einige der Hauptrotationsachsen frei gewählt werden können.

Siehe auch

• Eulerwinkel
• Dzhanibekov-Effekt
• Trägheitsmoment
• Poinsots Konstruktion
• Starrer Rotor

Verweise

• CA Truesdell, III (1991) Ein erster Kurs in rationaler Kontinuumsmechanik. vol. 1: Allgemeine Konzepte , 2. Aufl., Academic Press. ISBN  0-12-701300-8 . Sekten. I.8-10.
• CA Truesdell, III und RA Toupin (1960) The Classical Field Theories , in S. Flügge (Hrsg.) Encyclopedia of Physics. vol. III/1: Grundlagen der klassischen Mechanik und Feldtheorie , Springer-Verlag. Sekten. 166–168, 196–197 und 294.
• Landau LD und Lifshitz EM (1976) Mechanik , 3. Hrsg., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (Hardcover) und ISBN  0-08-029141-4 (Softcover).
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics , 2. Aufl., Addison-Wesley. ISBN  0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mechanik , 3. Hrsg., Addison-Wesley. ISBN  0-201-07392-7