Eulers Identität - Euler's identity

Teil einer Artikelserie zum Thema
mathematische Konstante e
Eigenschaften
Natürlicher Logarithmus Exponentialfunktion
Anwendungen
Zinseszins Eulers Identität Eulersche Formel Halbwertszeiten exponentielles Wachstum und Verfall
Definition von e
Beweis, dass e irrational ist Darstellungen von e Lindemann-Weierstrass-Theorem
Personen
John Napier Leonhard Euler
verwandte Themen
Schanuels Vermutung
v T e

In der Mathematik ist die Identität von Euler (auch bekannt als Euler-Gleichung ) die Gleichheit

${\displaystyle e^{i\pi}+1=0}$

wo

e ist die Eulersche Zahl , die Basis der natürlichen Logarithmen ,

i ist die imaginäre Einheit , die per Definition i ² = −1 erfüllt , und

π ist pi , das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser .

Eulers Identität ist nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt . Sie ist ein Sonderfall der Eulerschen Formel, wenn sie für x = π ausgewertet wird . Eulers Identität gilt als ein Beispiel mathematischer Schönheit, da sie eine tiefe Verbindung zwischen den grundlegendsten Zahlen der Mathematik zeigt. Darüber hinaus wird es direkt in einem gebrauchten Beweis , dass π ist transzendentalen , die die Unmöglichkeit , impliziert die Quadratur des Kreises . ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Mathematische Schönheit

Eulers Identität wird oft als Beispiel für eine tiefe mathematische Schönheit angeführt . Drei der grundlegenden arithmetischen Operationen auftreten genau einmal jeder: Addition , Multiplikation und Potenzierung . Die Identität verknüpft auch fünf grundlegende mathematische Konstanten :

• Die Zahl 0 , die additive Identität .
• Die Zahl 1 , die multiplikative Identität .
• Die Zahl π ( π = 3,1415...), die Grundkreiskonstante .
• Die Zahl e ( e = 2,718...), auch bekannt als Eulersche Zahl, die in der mathematischen Analysis weit verbreitet ist .
• Die Zahl i , die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen .

Darüber hinaus wird die Gleichung in Form eines gleich Null gesetzten Ausdrucks angegeben, was in mehreren Bereichen der Mathematik gängige Praxis ist.

Der Mathematikprofessor an der Stanford University, Keith Devlin, sagte: "Wie ein Shakespeare- Sonett , das die Essenz der Liebe einfängt, oder ein Gemälde, das die Schönheit der menschlichen Form hervorhebt, die weit mehr als nur oberflächlich ist, reicht Eulers Gleichung bis in die Tiefe Tiefen der Existenz". Und Paul Nahin , ein emeritierter Professor an der University of New Hampshire , der ein Buch geschrieben hat, das sich der Eulerschen Formel und ihren Anwendungen in der Fourier-Analyse widmet , beschreibt Eulers Identität als "von exquisiter Schönheit".

Die Mathematikautorin Constance Reid meinte, Eulers Identität sei "die berühmteste Formel der gesamten Mathematik". Und Benjamin Peirce , aus dem 19. Jahrhundert amerikanischer Philosoph , Mathematiker und Professor an der Harvard University , nachdem er während einer Vorlesung Eulersche Identität zu beweisen, erklärte , dass die Identität „absolut paradox ist, wir es nicht verstehen können, und wir wissen nicht , was es bedeutet , , aber wir haben es bewiesen, und deshalb wissen wir, dass es die Wahrheit sein muss". Richard Feynman nannte sie „unser Juwel“ und „die bemerkenswerteste Formel der Mathematik“.

Eine Leserumfrage, die 1990 von The Mathematical Intelligencer durchgeführt wurde, nannte Eulers Identität als den "schönsten Satz der Mathematik". In einer anderen Leserumfrage, die 2004 von Physics World durchgeführt wurde, wurde Eulers Identität mit den Maxwell-Gleichungen (des Elektromagnetismus ) als "größte Gleichung aller Zeiten" verbunden.

Eine Untersuchung der Gehirne von sechzehn Mathematikern ergab, dass das "emotionale Gehirn" (insbesondere der mediale orbitofrontale Kortex , der für schöne Musik, Poesie, Bilder usw.

Mindestens drei Bücher in populärer Mathematik wurden über Eulers Identität veröffentlicht:

• Dr. Eulers fabelhafte Formel: Heilt viele mathematische Übel , von Paul Nahin (2011)
• A Most Elegant Equation: Eulers Formel und die Schönheit der Mathematik , von David Stipp (2017)
• Eulers bahnbrechende Gleichung: Der schönste Satz der Mathematik von Robin Wilson (2018).

Erklärungen

Imaginäre Exponenten

In dieser Animation nimmt N verschiedene steigende Werte von 1 bis 100 an. Die Berechnung von (1 + ich/n) ^N wird als kombinierter Effekt von N wiederholten Multiplikationen in der komplexen Ebene angezeigt , wobei der Endpunkt der tatsächliche Wert von (1 +ich/n) ^N . Es ist ersichtlich, dass mit zunehmendem N (1 +ich/n) ^N nähert sich einem Grenzwert von −1.

Grundsätzlich behauptet die Identität von Euler, dass sie gleich −1 ist. Der Ausdruck ist ein Sonderfall des Ausdrucks , wobei z eine beliebige komplexe Zahl ist. Im Allgemeinen wird für komplexes z definiert, indem eine der Definitionen der Exponentialfunktion von reellen Exponenten auf komplexe Exponenten erweitert wird. Eine gängige Definition ist beispielsweise: ${\displaystyle e^{i\pi}}$${\displaystyle e^{i\pi}}$${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle e^{z}=\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$

Die Identität von Euler besagt daher, dass der Grenzwert von gleich −1 ist , wenn n gegen Unendlich geht . Diese Grenze wird in der Animation rechts veranschaulicht. ${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$

Eulersche Formel für einen allgemeinen Winkel

Eulers Identität ist ein Sonderfall der Euler-Formel , das besagt , dass für jede reelle Zahl x ,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

wobei die Eingaben der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus im Bogenmaß angegeben sind .

Insbesondere wenn x = π ,

${\displaystyle e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi.}$

Schon seit

${\displaystyle \cos\pi =-1}$

und

${\displaystyle\sin\pi=0,}$

es folgt dem

${\displaystyle e^{i\pi}=-1+0i,}$

was die Euler-Identität ergibt:

${\displaystyle e^{i\pi}+1=0.}$

Geometrische Interpretation

Jede komplexe Zahl kann durch den Punkt auf der komplexen Ebene dargestellt werden . Dieser Punkt kann auch in Polarkoordinaten als dargestellt werden , wobei r der Absolutwert von z (Entfernung vom Ursprung) und das Argument von z (Winkel gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x- Achse) ist. Nach den Definitionen von Sinus und Cosinus hat dieser Punkt die kartesischen Koordinaten von , was impliziert, dass . Nach der Eulerschen Formel ist dies äquivalent zu sagen . ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (r,\theta)}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle (r\cos\theta,r\sin\theta)}$${\displaystyle z=r(\cos\theta +i\sin\theta)}$${\displaystyle z=re^{i\theta}}$

Eulers Identität sagt das aus . Da ist für r = 1 und kann dies als Tatsache über die Zahl interpretiert werden , -1 auf der komplexen Ebene: sein Abstand vom Ursprung gleich 1 ist , und dessen Winkel von der positiven x - Achse ist Radian. ${\displaystyle -1=e^{i\pi}}$${\displaystyle e^{i\pi}}$${\displaystyle re^{i\theta}}$${\displaystyle \theta =\pi}$${\displaystyle \pi}$

Wenn eine beliebige komplexe Zahl z mit multipliziert wird , hat dies außerdem den Effekt, dass z gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel von auf der komplexen Ebene gedreht wird. Da die Multiplikation mit −1 einen Punkt über den Ursprung reflektiert, kann die Eulersche Identität so interpretiert werden, dass das Drehen eines beliebigen Punkts im Bogenmaß um den Ursprung den gleichen Effekt hat wie das Spiegeln des Punktes über den Ursprung. In ähnlicher Weise ergibt die Einstellung gleich die zugehörige Gleichung, die so interpretiert werden kann, dass das Drehen eines jeden Punktes um eine Drehung um den Ursprung ihn an seine ursprüngliche Position zurückbringt. ${\displaystyle e^{i\theta}}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle 2\pi}$${\displaystyle e^{2\pi i}=1,}$

Verallgemeinerungen

Die Identität von Euler ist auch ein Spezialfall der allgemeineren Identität, bei der sich die n- ten Einheitswurzeln für n > 1 zu 0 addieren:

${\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

Die Identität von Euler ist der Fall, wenn n = 2 ist .

Auf einem anderen Gebiet der Mathematik kann man mit Hilfe der Quaternionen- Exponentiation zeigen, dass eine ähnliche Identität auch für Quaternionen gilt. Seien { i , j , k } die Basiselemente; dann,

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi}+1=0.}$

Im Allgemeinen gegebener realen a ₁ , ein ₂ , und a ₃ , so dass ein ₁ ² + a ₂ ² + a ₃ ² = 1 , dann,

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi}+1=0.}$

Für Oktaven mit Echt a _n , so dass ein ₁ ² + a ₂ ² + ... + a ₇ ² = 1 , und mit den Basiselementen octonion { i ₁ , i ₂ , ..., i ₇ } ,

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi}+1=0.}$

Geschichte

Während Eulers Identität ein direktes Ergebnis der Eulerschen Gleichung ist , die 1748 in seinem monumentalen Werk der mathematischen Analyse, Introductio in analysin infinitorum , veröffentlicht wurde, ist es fraglich, ob das besondere Konzept der Verknüpfung von fünf fundamentalen Konstanten in kompakter Form Euler selbst zugeschrieben werden kann. wie er es vielleicht nie ausgedrückt hat.

Robin Wilson sagt folgendes.

Wir haben gesehen, wie es [Eulers Identität] leicht aus den Ergebnissen von Johann Bernoulli und Roger Cotes abgeleitet werden kann, aber keiner von ihnen scheint dies getan zu haben. Auch Euler scheint es nicht explizit niedergeschrieben zu haben – und schon taucht es in keiner seiner Veröffentlichungen auf – obwohl er sicher erkannt haben muss, dass es unmittelbar aus seiner Identität [dh der Eulerschen Formel ] folgt , e ^ix = cos x + ich sündige x . Außerdem scheint unbekannt zu sein, wer das Ergebnis zuerst explizit angegeben hat….

Siehe auch

• Die Formel von De Moivre
• Exponentialfunktion
• Gelfonds Konstante

Anmerkungen

Verweise

Quellen

• Conway, John H. und Guy, Richard K. (1996), Das Buch der Zahlen , Springer ISBN  978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (10. Mai 2004), " Die größten Gleichungen aller Zeiten ", Physics World [Anmeldung erforderlich]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All , Mathematical Association of America ISBN  978-0-88385-328-3
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera Mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus , Leipzig: BG Teubneri
• Kasner, E. und Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination , Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e : Die Geschichte einer Zahl , Princeton University Press ISBN  0-691-05854-7
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Eulers fabelhafte Formel: Heilt viele mathematische Krankheiten , Princeton University Press ISBN  978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics , Penguin Books ISBN  0-14-014574-5
• Reid, Constance (verschiedene Ausgaben), From Zero to Infinity , Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007), Eulers Greatest Hits , Mathematical Association of America ISBN  978-0-88385-563-8
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Eulers Formel und die Schönheit der Mathematik , Grundbücher
• Wells, David (1990). "Sind das die schönsten?". Der Mathematische Intelligenz . 12 (3): 37–41. doi : 10.1007/BF03024015 . S2CID  121503263 .
• Wilson, Robin (2018), Eulers Pioniergleichung: Der schönste Satz der Mathematik , Oxford University Press
• Zeki, S. ; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014), "Die Erfahrung mathematischer Schönheit und ihre neuralen Korrelate", Frontiers in Human Neuroscience , 8 : 68, doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC  3923150 , PMID  24592230

Externe Links

• Intuitives Verständnis der Eulerschen Formel