Euler-Charakteristik - Euler characteristic
In der Mathematik und insbesondere in der algebraischen Topologie und polyedrischen Kombinatorik ist die Euler-Kennlinie (oder Euler-Zahl oder Euler-Poincaré-Kennlinie ) eine topologische Invariante , eine Zahl, die die Form oder Struktur eines topologischen Raums unabhängig von ihrer Beschaffenheit beschreibt gebogen. Es wird allgemein mit ( griechischer Kleinbuchstabe chi ) bezeichnet.
Die Euler-Charakteristik wurde ursprünglich für Polyeder definiert und verwendet, um verschiedene Theoreme über sie zu beweisen, einschließlich der Klassifizierung der platonischen Körper . Es wurde 1537 in einem unveröffentlichten Manuskript von Francesco Maurolico für platonische Körper angegeben . Leonhard Euler , nach dem der Begriff benannt ist, führte ihn allgemeiner für konvexe Polyeder ein, konnte jedoch nicht rigoros beweisen, dass er eine Invariante ist. In der modernen Mathematik entsteht die Euler-Charakteristik aus der Homologie und abstrakter aus der homologischen Algebra .
Polyeder
Die Euler-Charakteristik wurde klassisch für die Oberflächen von Polyedern definiert, nach der Formel
wobei V , E und F jeweils die Anzahl der Ecken (Ecken), Kanten und Flächen in dem gegebenen Polyeder sind. Die Oberfläche jedes konvexen Polyeders hat Euler-Charakteristik
Diese Gleichung, die 1758 von Leonhard Euler aufgestellt wurde, ist als Eulersche Polyederformel bekannt . Sie entspricht der Euler-Charakteristik der Kugel (dh χ = 2) und gilt sinngemäß auch für Kugelpolyeder . Eine Illustration der Formel für alle platonischen Polyeder ist unten angegeben.
Name | Bild | Scheitelpunkte V |
Kanten E |
Gesichter F |
Euler-Kennlinie: V − E + F |
---|---|---|---|---|---|
Tetraeder | 4 | 6 | 4 | 2 | |
Hexaeder oder Würfel | 8 | 12 | 6 | 2 | |
Oktaeder | 6 | 12 | 8 | 2 | |
Dodekaeder | 20 | 30 | 12 | 2 | |
Ikosaeder | 12 | 30 | 20 | 2 |
Die Oberflächen nichtkonvexer Polyeder können verschiedene Euler-Eigenschaften aufweisen:
Name | Bild | Scheitelpunkte V |
Kanten E |
Gesichter F |
Euler-Kennlinie: V − E + F |
---|---|---|---|---|---|
Tetrahemihexaeder | 6 | 12 | 7 | 1 | |
Oktahemoktaeder | 12 | 24 | 12 | 0 | |
Kubohemioktaeder | 12 | 24 | 10 | -2 | |
Kleines sternförmiges Dodekaeder | 12 | 30 | 12 | -6 | |
Großes sternförmiges Dodekaeder | 20 | 30 | 12 | 2 |
Für reguläre Polyeder, Arthur Cayley abgeleitet eine modifizierte Form der Eulerschen Formel , um die Verwendung von Dichte D , Vertex Figur Dichte d v und Gesichtsdichte :
Diese Version gilt sowohl für konvexe Polyeder (wo die Dichten alle 1 sind) als auch für nichtkonvexe Kepler-Poinsot-Polyeder .
Projektive Polyeder haben alle die Euler-Charakteristik 1, wie die reelle projektive Ebene , während die Oberflächen von toroidalen Polyedern alle die Euler-Charakteristik 0 haben, wie der Torus .
Ebenendiagramme
Die Euler-Charakteristik kann für verbundene ebene Graphen durch dieselbe Formel wie für polyedrische Flächen definiert werden, wobei F die Anzahl der Flächen im Graphen einschließlich der Außenfläche ist.
Die Euler-Charakteristik eines jeden ebenen zusammenhängenden Graphen G ist 2. Dies lässt sich leicht durch Induktion über die durch G bestimmte Anzahl von Seiten beweisen, ausgehend von einem Baum als Basisfall. Für Bäume und . Wenn G C Komponenten hat (nicht verbundene Graphen), zeigt das gleiche Argument durch Induktion über F, dass . Eine der wenigen Graphentheorie-Arbeiten von Cauchy beweist auch dieses Ergebnis.
Durch stereographische Projektion wird die Ebene auf die 2-Sphäre abgebildet , so dass ein zusammenhängender Graph auf eine polygonale Zerlegung der Sphäre abgebildet wird, die die Euler-Charakteristik 2 hat. Dieser Standpunkt ist in Cauchys Beweis der unten angegebenen Euler-Formel implizit enthalten.
Beweis der Eulerschen Formel
Es gibt viele Beweise für die Eulersche Formel. Eines wurde von Cauchy im Jahr 1811 wie folgt gegeben. Sie gilt für jedes konvexe Polyeder und allgemeiner für jedes Polyeder, dessen Rand topologisch einer Kugel und dessen Flächen topologisch einer Scheibe entsprechen.
Entfernen Sie eine Seite der polyedrischen Oberfläche. Indem Sie die Kanten der fehlenden Fläche voneinander wegziehen, verformen Sie den Rest in einen ebenen Graphen von Punkten und Kurven, so dass der Umfang der fehlenden Fläche außen platziert wird und den erhaltenen Graphen umgibt, wie durch die ersten der drei Graphen für den Spezialfall des Würfels. (Die Annahme, dass die polyedrische Fläche zu Beginn homöomorph zur Kugel ist, macht dies möglich.) Nach dieser Verformung sind die regelmäßigen Flächen im Allgemeinen nicht mehr regelmäßig. Die Anzahl der Ecken und Kanten ist gleich geblieben, aber die Anzahl der Flächen wurde um 1 reduziert. Daher reduziert sich der Beweis der Eulerschen Formel für das Polyeder auf den Beweis von V − E + F =1 für dieses deformierte, planare Objekt.
Wenn es eine Fläche mit mehr als drei Seiten gibt, zeichnen Sie eine Diagonale, d. h. eine Kurve durch die Fläche, die zwei noch nicht verbundene Scheitelpunkte verbindet. Dies fügt eine Kante und eine Fläche hinzu und ändert nicht die Anzahl der Scheitelpunkte, also ändert es nicht die Menge V − E + F . (Die Annahme, dass alle Flächen Scheiben sind, wird hier benötigt, um mit dem Jordan-Kurvensatz zu zeigen, dass diese Operation die Anzahl der Flächen um eins erhöht.) Fügen Sie auf diese Weise weiter Kanten hinzu, bis alle Flächen dreieckig sind.
Wenden Sie wiederholt eine der beiden folgenden Transformationen an, wobei Sie die Invariante beibehalten, dass die äußere Grenze immer ein einfacher Kreis ist :
- Entfernen Sie ein Dreieck mit nur einer Kante neben der Außenseite, wie im zweiten Diagramm dargestellt. Dadurch wird die Anzahl der Kanten und Flächen jeweils um eins verringert und die Anzahl der Scheitelpunkte nicht geändert, sodass V − E + F beibehalten wird .
- Entfernen Sie ein Dreieck mit zwei Kanten, die von der Außenseite des Netzwerks geteilt werden, wie im dritten Diagramm dargestellt. Jedes Entfernen eines Dreiecks entfernt einen Scheitelpunkt, zwei Kanten und eine Fläche, sodass V − E + F erhalten bleibt .
Diese Transformationen reduzieren schließlich den planaren Graphen auf ein einzelnes Dreieck. (Ohne die Simple-Cycle-Invariante könnte das Entfernen eines Dreiecks die verbleibenden Dreiecke trennen und den Rest des Arguments ungültig machen. Eine gültige Entfernungsreihenfolge ist ein elementares Beispiel für einen Beschuss .)
An dieser Stelle hat das einsame Dreieck V = 3, E = 3 und F = 1, so dass V − E + F = 1. Da jeder der beiden obigen Transformationsschritte diese Größe beibehalten hat, haben wir gezeigt V − E + F = 1 für das deformierte, ebene Objekt, was V − E + F = 2 für das Polyeder zeigt. Damit ist das Theorem bewiesen.
Für weitere Beweise siehe Zwanzig Beweise der Eulerschen Formel von David Eppstein . Mehrere Beweise, einschließlich ihrer Mängel und Einschränkungen, werden als Beispiele in Beweise und Widerlegungen von Imre Lakatos verwendet .
Topologische Definition
Die oben diskutierten polyedrischen Oberflächen sind in der modernen Sprache zweidimensionale endliche CW-Komplexe . (Wenn nur Dreiecksflächen verwendet werden, handelt es sich um zweidimensionale endliche simpliziale Komplexe .) Im Allgemeinen kann für jeden endlichen CW-Komplex die Euler-Charakteristik als die alternierende Summe definiert werden
wobei k n die Anzahl der Zellen der Dimension n im Komplex bezeichnet.
In ähnlicher Weise ist für einen simplizialen Komplex die Euler-Charakteristik gleich der alternierenden Summe
wobei k n die Anzahl der n- Simplexe im Komplex bezeichnet.
Betti Nummernalternative
Mehr noch allgemein für jeden topologischen Raum , können wir das definieren n - te Bettizahl b n als Rang der n - ten singulären Homologie - Gruppe. Die Euler-Kennlinie kann dann als Wechselsumme definiert werden
Diese Menge ist wohldefiniert, wenn die Betti-Zahlen alle endlich sind und wenn sie über einen bestimmten Index n 0 hinaus Null sind . Für simpliziale Komplexe ist dies nicht dieselbe Definition wie im vorherigen Absatz, aber eine Homologierechnung zeigt, dass die beiden Definitionen denselben Wert für ergeben .
Eigenschaften
Die Euler-Charakteristik verhält sich in Bezug auf viele grundlegende Operationen auf topologischen Räumen wie folgt gut.
Homotopieinvarianz
Homologie ist eine topologische Invariante, und außerdem eine Homotopie-Invariante : Zwei topologische Räume, die homotopieäquivalent sind, haben isomorphe Homologiegruppen. Daraus folgt, dass die Euler-Charakteristik auch eine Homotopie-Invariante ist.
Zum Beispiel hat jeder kontrahierbare Raum (d. h. eine Homotopie, die einem Punkt entspricht) triviale Homologie, was bedeutet, dass die 0. Betti-Zahl 1 ist und die anderen 0. Daher ist seine Euler-Charakteristik 1. Dieser Fall umfasst den euklidischen Raum jeder Dimension , sowie die feste Einheitskugel in jedem euklidischen Raum – das eindimensionale Intervall, die zweidimensionale Scheibe, die dreidimensionale Kugel usw.
In einem anderen Beispiel ist jedes konvexe Polyeder homöomorph zur dreidimensionalen Kugel , also ist seine Oberfläche homöomorph (daher homotopieäquivalent) zur zweidimensionalen Kugel , die die Euler-Charakteristik 2 hat. Dies erklärt, warum konvexe Polyeder die Euler-Charakteristik 2 haben.
Inklusions-Ausschluss-Prinzip
Wenn M und N zwei beliebige topologische Räume sind, dann ist die Euler-Charakteristik ihrer disjunkten Vereinigung die Summe ihrer Euler-Charakteristiken, da Homologie unter disjunkter Vereinigung additiv ist:
Allgemeiner gesagt, wenn M und N Unterräume eines größeren Raums X sind , dann sind es auch ihre Vereinigung und ihr Durchschnitt. In einigen Fällen gehorcht das Euler-Merkmal einer Version des Einschluss-Ausschluss-Prinzips :
Dies gilt in folgenden Fällen:
- wenn M und N ein exzisives Paar sind . Insbesondere, wenn die Innenräume von M und N innerhalb der Union noch die Union bedecken.
- wenn X ein lokal kompakter Raum ist und man Euler-Charakteristiken mit kompakten Trägern verwendet , sind keine Annahmen über M oder N erforderlich.
- wenn X ein geschichteter Raum ist, dessen Schichten alle geradedimensional sind, gilt das Einschluss-Ausschluss-Prinzip, wenn M und N Schichtenvereinigungen sind. Dies gilt insbesondere dann, wenn M und N Untervarietäten einer komplexen algebraischen Varietät sind .
Im Allgemeinen ist das Einschluss-Ausschluss-Prinzip falsch. Ein Gegenbeispiel ergibt sich dadurch, dass man X als reelle Gerade , M eine Teilmenge bestehend aus einem Punkt und N das Komplement von M annimmt .
Verbundene Summe
Für zwei zusammenhängende geschlossene n-Mannigfaltigkeiten erhält man über die zusammenhängende Summenoperation eine neue zusammenhängende Mannigfaltigkeit . Die Euler-Charakteristik hängt mit der Formel zusammen
Produkteigenschaft
Auch die Euler-Charakteristik eines Produktraums M × N ist
Diese Additions- und Multiplikationseigenschaften genießen auch die Kardinalität von Mengen . Auf diese Weise kann die Euler-Charakteristik als eine Verallgemeinerung der Kardinalität angesehen werden; siehe [1] .
Räume abdecken
In ähnlicher Weise für einen k -sheeted abdeckt Raum hat man
Allgemeiner kann für einen verzweigten Überdeckungsraum die Euler-Kennlinie der Überdeckung mit einem Korrekturfaktor für die Verzweigungspunkte berechnet werden, was die Riemann-Hurwitz-Formel ergibt .
Fasereigenschaft
Die Produkteigenschaft gilt viel allgemeiner für Fasern mit bestimmten Bedingungen.
Handelt es sich um eine Fibration mit Faser F, mit der Basis B bahnverbunden und die Fibration ist über einem Körper K orientierbar, dann erfüllt die Euler-Charakteristik mit Koeffizienten im Körper K die Produkteigenschaft:
Dies schließt Produkträume und Deckräume als Sonderfälle ein und kann durch die Serre-Spektralsequenz zur Homologie einer Fibration nachgewiesen werden.
Bei Faserbündeln kann dies auch im Sinne einer Transferkarte verstanden werden – beachten Sie, dass dies ein Lifting ist und "in den falschen Weg" geht – deren Zusammensetzung mit der Projektionskarte eine Multiplikation mit der Euler-Klasse der Faser ist:
Beispiele
Oberflächen
Die Euler-Kennlinie kann für allgemeine Oberflächen leicht berechnet werden, indem eine Polygonisierung der Oberfläche gefunden wird (dh eine Beschreibung als CW-Komplex ) und die obigen Definitionen verwendet werden.
Name | Bild | χ |
---|---|---|
Intervall | 1 | |
Kreis | 0 | |
Scheibe | 1 | |
Kugel | 2 | |
Torus (Produkt aus zwei Kreisen) |
0 | |
Doppeltorus | -2 | |
Dreifachtorus | -4 | |
Echte projektive Ebene |
1 | |
Möbiusband | 0 | |
Kleinflasche | 0 | |
Zwei Kugeln (nicht verbunden) (Disjunkte Vereinigung zweier Kugeln) |
2 + 2 = 4 | |
Drei Kugeln (nicht verbunden) (Disjunkte Vereinigung von drei Kugeln) |
2 + 2 + 2 = 6 | |
Kugeln (nicht verbunden) (Disjunkte Vereinigung von n Kugeln) |
. . . | 2 + ... + 2 = 2n |
Fußball
Es ist üblich, Fußbälle durch Zusammennähen von fünfeckigen und sechseckigen Teilen zu konstruieren , wobei sich drei Teile an jedem Scheitelpunkt treffen (siehe zum Beispiel den Adidas Telstar ). Wenn P Fünfecke und H Sechsecke verwendet werden, dann gibt es F = P + H Flächen, V = (5 P + 6 H ) / 3 Ecken und E = (5 P + 6 H ) / 2 Kanten. Die Euler-Charakteristik ist also
Da die Kugel die Euler-Charakteristik 2 hat, folgt P = 12. Das heißt, ein so konstruierter Fußball hat immer 12 Fünfecke. Im Prinzip ist die Anzahl der Sechsecke unbegrenzt. Dieses Ergebnis ist auf Fullerene und Goldberg-Polyeder anwendbar .
Beliebige Abmessungen
Regelmäßiges 4-Polytop |
V ( k 0 ) |
E ( k 1 ) |
F ( K 2 ) |
C ( k 3 ) |
= V − E + F − C |
---|---|---|---|---|---|
5-Zellen | 5 | 10 | 10 | 5 | 0 |
8-Zellen | 16 | 32 | 24 | 8 | 0 |
16-Zellen | 8 | 24 | 32 | 16 | 0 |
24-Zellen | 24 | 96 | 96 | 24 | 0 |
120-Zellen | 600 | 1200 | 720 | 120 | 0 |
600-Zellen | 120 | 720 | 1200 | 600 | 0 |
Die n- dimensionale Kugel hat singuläre Homologiegruppen gleich
hat daher die Betti-Zahl 1 in den Dimensionen 0 und n , und alle anderen Betti-Zahlen sind 0. Seine Euler-Charakteristik ist dann 1 + (−1) n — also entweder 0 oder 2.
Der n- dimensionale reale projektive Raum ist der Quotient der n- Sphäre durch die antipodische Abbildung . Daraus folgt, dass ihre Euler-Charakteristik genau halb so groß ist wie die der entsprechenden Kugel – entweder 0 oder 1.
Der n- dimensionale Torus ist der Produktraum von n Kreisen. Seine Euler-Charakteristik ist 0, nach der Produkteigenschaft. Allgemeiner gesagt hat jede kompakte parallelisierbare Mannigfaltigkeit , einschließlich jeder kompakten Lie-Gruppe , die Euler-Charakteristik 0.
Die Euler-Charakteristik jeder geschlossenen ungeraddimensionalen Mannigfaltigkeit ist ebenfalls 0. Der Fall für orientierbare Beispiele ist eine Folgerung der Poincaré-Dualität . Diese Eigenschaft gilt allgemeiner für jeden kompakten geschichteten Raum, dessen Schichten alle eine ungerade Dimension haben. Es gilt auch für geschlossene ungeraddimensionale nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten über die zwei-zu-eins- orientierbare Doppelhülle .
Beziehungen zu anderen Invarianten
Die Euler-Charakteristik einer geschlossenen orientierbaren Fläche lässt sich aus ihrem Genus g (der Anzahl der Tori in einer zusammenhängenden Summenzerlegung der Fläche; intuitiv die Anzahl der "Griffe") berechnen als
Die Euler-Charakteristik einer geschlossenen nicht-orientierbaren Fläche kann aus ihrer nicht-orientierbaren Gattung k (der Anzahl der reellen projektiven Ebenen in einer zusammenhängenden Summenzerlegung der Fläche) berechnet werden als
Bei geschlossenen glatten Mannigfaltigkeiten stimmt die Euler-Charakteristik mit der Euler-Zahl überein , dh der Euler-Klasse ihres Tangentialbündels, bewertet auf der Fundamentalklasse einer Mannigfaltigkeit. Die Euler-Klasse wiederum bezieht sich auf alle anderen charakteristischen Klassen von Vektorbündeln .
Für geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten kann die Euler-Charakteristik auch durch Integration der Krümmung ermittelt werden; siehe den Gauss-Bonnet-Satz für den zweidimensionalen Fall und den verallgemeinerten Gauss-Bonnet-Satz für den allgemeinen Fall.
Ein diskretes Analogon des Gauß-Bonnet-Theorems ist Descartes' Theorem, dass der "totale Defekt" eines Polyeders , gemessen in Vollkreisen, die Euler-Charakteristik des Polyeders ist; siehe Defekt (Geometrie) .
Hadwiger Theorem der Euler - Charakteristik als die charakterisiert einzigartigen ( bis Skalarmultiplikation ) translationsinvariant, endlich Zusatzstoff , nicht-notwendigerweise-nicht - negative Sollfunktion auf definierten endlichen Vereinigungen von kompakten konvexen Sätzen in R n , die „homogen vom Grad 0“.
Verallgemeinerungen
Für jeden kombinatorischen Zellkomplex definiert man die Euler-Charakteristik als die Anzahl der 0-Zellen minus der Anzahl der 1-Zellen plus der Anzahl der 2-Zellen usw., wenn diese alternierende Summe endlich ist. Insbesondere ist die Euler-Charakteristik einer endlichen Menge einfach ihre Kardinalität, und die Euler-Charakteristik eines Graphen ist die Anzahl der Ecken minus der Anzahl der Kanten.
Allgemeiner kann man die Euler-Charakteristik jedes Kettenkomplexes als die alternierende Summe der Ränge der Homologiegruppen des Kettenkomplexes definieren, unter der Annahme, dass alle diese Ränge endlich sind.
Eine Version der Euler-Charakteristik, die in der algebraischen Geometrie verwendet wird, ist wie folgt. Für jede kohärente Garbe auf einem echten Schema X definiert man ihre Euler-Charakteristik als
wo ist die Dimension der i- ten Garbe-Kohomologiegruppe von . In diesem Fall sind die Dimensionen nach dem Endlichkeitssatz von Grothendieck alle endlich . Dies ist ein Beispiel für die Euler-Charakteristik eines Kettenkomplexes, bei dem der Kettenkomplex eine endliche Auflösung durch azyklische Garben ist.
Eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts der Euler-Charakteristik auf Mannigfaltigkeiten kommt von Orbifolds (siehe Euler-Charakteristik einer Orbifold ). Während jede Mannigfaltigkeit eine ganzzahlige Euler-Charakteristik besitzt, kann eine Orbifold eine gebrochene Euler-Charakteristik haben. Zum Beispiel hat die Tropfenorbifold die Euler-Charakteristik 1 + 1/ p , wobei p eine Primzahl ist, die dem Kegelwinkel 2 π / p entspricht .
Das Konzept von Euler, das für die reduzierte Homologie eines beschränkten endlichen Poset charakteristisch ist, ist eine weitere Verallgemeinerung, die in der Kombinatorik wichtig ist . Ein Poset ist "begrenzt", wenn es kleinste und größte Elemente hat; nennen sie 0 und 1. Die Euler-Charakteristik eines solchen Posets ist definiert als die ganze Zahl μ (0,1), wobei μ die Möbius-Funktion in der Inzidenzalgebra dieses Posets ist .
Dies kann weiter verallgemeinert werden, indem eine Q- bewertete Euler-Eigenschaft für bestimmte endliche Kategorien definiert wird , ein Begriff, der mit den oben erwähnten Euler-Eigenschaften von Graphen, Orbifolds und Posets kompatibel ist. In dieser Einstellung ist die Euler-Charakteristik einer endlichen Gruppe oder eines Monoids G 1/| G |, und die Euler-Charakteristik eines endlichen Gruppoids ist die Summe von 1/| G i |, wobei wir für jede Zusammenhangskomponente des Gruppoids eine repräsentative Gruppe G i ausgewählt haben .
Siehe auch
- Euler-Kalkül
- Euler-Klasse
- Liste der nach Leonhard Euler benannten Themen
- Liste einheitlicher Polyeder
Verweise
Anmerkungen
Literaturverzeichnis
- Richeson, David S. ; Eulers Gem: Die Polyederformel und die Geburt der Topologie . Princeton University Press 2008.
Weiterlesen
- Flegg, H. Graham; Von der Geometrie zur Topologie , Dover 2001, p. 40.