Genaue Lösungen klassischer Zentralkraftprobleme - Exact solutions of classical central-force problems

In der klassischen zentralen Kraft Problem der klassischen Mechanik , einige potentielle Energie Funktionen erzeugen Bewegungen oder Bahnen , die in Bezug auf die wohlbekannte Funktionen, wie beispielsweise die ausgedrückt werden kann , trigonometrische Funktionen und elliptischen Funktionen . Dieser Artikel beschreibt diese Funktionen und die entsprechenden Lösungen für die Umlaufbahnen. ${\ displaystyle V (r)}$

Allgemeines Problem

Lass . Dann kann die Binet-Gleichung für für nahezu jede zentrale Kraft numerisch gelöst werden . Nur eine Handvoll Kräfte führen jedoch zu Formeln für bekannte Funktionen. Die Lösung für kann als Integral über ausgedrückt werden ${\ displaystyle r = 1 / u}$${\ displaystyle u (\ varphi)}$${\ displaystyle F (1 / u)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {0} + {\ frac {L} {\ sqrt {2m}}} \ int ^ {u} {\ frac {du} {\ sqrt {E _ {\ mathrm {tot} } -V (1 / u) - {\ frac {L ^ {2} u ^ {2}} {2m}}}}}$

Ein zentrales Kraftproblem wird als "integrierbar" bezeichnet, wenn diese Integration anhand bekannter Funktionen gelöst werden kann.

Wenn die Kraft ein Potenzgesetz ist, dh wenn , dann kann sie als Kreisfunktionen und / oder elliptische Funktionen ausgedrückt werden, wenn sie gleich 1, -2, -3 (Kreisfunktionen) und -7, -5, -4, 0 sind , 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 und -7/3 (elliptische Funktionen). ${\ displaystyle F (r) = ar ^ {n}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle n}$

Wenn die Kraft die Summe eines inversen quadratischen Gesetzes und eines linearen Terms ist, dh wenn , wird das Problem auch explizit in Bezug auf elliptische Weierstrass-Funktionen gelöst . ${\ displaystyle F (r) = {\ frac {a} {r ^ {2}}} + cr}$

Verweise

Literaturverzeichnis

• Whittaker ET (1937). Eine Abhandlung über die analytische Dynamik von Partikeln und starren Körpern mit einer Einführung in das Problem der drei Körper (4. Aufl.). New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN   978-0-521-35883-5 .
• Izzo, D. und Biscani, F. (2014). Genaue Lösung für das Problem der konstanten Radialbeschleunigung . Journal of Guidance Control and Dynamic. CS1-Wartung: mehrere Namen: Autorenliste ( Link )