Übung (Mathematik) - Exercise (mathematics)

Eine mathematische Übung ist eine routinemäßige Anwendung von Algebra oder anderer Mathematik auf eine bestimmte Herausforderung. Mathematiklehrer weisen mathematische Übungen zu, um die Fähigkeiten ihrer Schüler zu entwickeln. Frühe Übungen befassen sich mit Addition , Subtraktion , Multiplikation und Division von ganzen Zahlen . Umfangreiche Übungsaufgaben in der Schule erweitern solche Arithmetik auf rationale Zahlen . Verschiedene Ansätze zur Geometrie basieren auf Übungen auf Beziehungen von Winkeln , Segmenten und Dreiecken . Das Thema Trigonometrie bezieht viele seiner Übungen aus den trigonometrischen Identitäten . Im College hängen die Mathematikaufgaben oft von Funktionen einer reellen Variablen oder von der Anwendung von Theoremen ab . Die Standardübungen der Infinitesimalrechnung beinhalten das Finden von Ableitungen und Integralen bestimmter Funktionen.

In der Regel bereiten die Ausbilder die Schüler mit ausgearbeiteten Beispielen vor : Die Übung wird erklärt, dann wird eine Musterantwort bereitgestellt. Oft werden mehrere ausgearbeitete Beispiele demonstriert, bevor die Studierenden bereit sind, eigenständige Übungen zu machen. Einige Texte, wie die in Schaums Gliederungen , konzentrieren sich eher auf praktizierte Beispiele als auf die theoretische Behandlung eines mathematischen Themas.

Überblick

Laut Lev Vygotsky liegen geeignete Übungen in einer Zone, in der die Schüler die Aufgabe unter Anleitung erledigen können

In der Grundschule beginnen die Schüler mit einstelligen Rechenaufgaben. Später beinhalten die meisten Übungen mindestens zwei Ziffern. Eine übliche Übung in der elementaren Algebra erfordert die Faktorisierung von Polynomen . Eine andere Übung besteht darin, das Quadrat in einem quadratischen Polynom zu vervollständigen . Eine künstlich erzeugte Wortaufgabe ist ein Übungsgenre, das darauf abzielt, die Mathematik relevant zu halten. Stephen Leacock beschrieb diesen Typ:

Der Student der Arithmetik, der die ersten vier Regeln seiner Kunst beherrscht und erfolgreich mit Summen und Brüchen strebt, sieht sich mit einer ununterbrochenen Fülle von Fragen konfrontiert, die als Probleme bezeichnet werden. Dies sind Kurzgeschichten über Abenteuer und Fleiß, bei denen das Ende weggelassen wird und die zwar eine starke Familienähnlichkeit verraten, aber nicht ohne ein gewisses Element der Romantik sind.

Eine Unterscheidung zwischen einer Übung und einem mathematischen Problem wurde von Alan H. Schoenfeld gemacht:

Die Studierenden müssen den jeweiligen Stoff beherrschen, dafür sind Übungen geeignet. Aber wenn nur auswendige Übungen die einzigen Probleme sind, die Schüler in ihrem Unterricht sehen, tun wir den Schülern einen großen Bärendienst.

Er plädierte dafür, Herausforderungen zu stellen:

Mit "echten Problemen" meine ich mathematische Aufgaben, die eine ehrliche Herausforderung für den Schüler darstellen und die der Schüler bearbeiten muss, um eine Lösung zu erhalten.

Ein ähnliches Gefühl äußerte Marvin Bittinger, als er die zweite Auflage seines Lehrbuchs vorbereitete:

Als Reaktion auf Kommentare von Benutzern haben die Autoren Übungen hinzugefügt, die vom Schüler etwas anderes als das Verständnis der unmittelbaren Ziele der vorliegenden Lektion erfordern, aber nicht unbedingt eine große Herausforderung darstellen.

Die Zone der proximalen Entwicklung für jeden Schüler oder jede Schülerkohorte legt die Übungen auf einen Schwierigkeitsgrad, der sie herausfordert, aber nicht frustriert.

Einige Kommentare im Vorwort eines Analysis-Lehrbuchs zeigen den zentralen Platz von Übungen im Buch:

Die Übungen umfassen etwa ein Viertel des Textes – unserer Meinung nach der wichtigste Teil des Textes. ... Ergänzende Übungen am Ende jedes Kapitels erweitern die anderen Übungssets und bieten kumulative Übungen, die Fertigkeiten aus früheren Kapiteln erfordern.

Dieser Text enthält "Funktionen und Graphen in Anwendungen" (Kapitel 0.6), die vierzehn Seiten Vorbereitung für Textaufgaben sind.

Autoren eines Buches über endliche Körper haben ihre Übungen frei gewählt:

Um die Attraktivität dieses Buches als Lehrbuch zu erhöhen , haben wir an geeigneten Stellen im Text erarbeitete Beispiele und Aufgabenlisten für die Kapitel 1 – 9 eingefügt. Diese Aufgaben reichen von Routineaufgaben bis hin zu alternativen Beweisen von Schlüsselsätzen , aber auch Material, das über den Inhalt des Textes hinausgeht.

JC Maxwell erklärte, wie Übungen den Zugang zur Sprache der Mathematik erleichtern :

Als Mathematiker führen wir bestimmte mentale Operationen an den Symbolen der Zahl oder der Quantität durch, und indem wir Schritt für Schritt von einfacheren zu komplexeren Operationen übergehen, sind wir in der Lage, dasselbe in vielen verschiedenen Formen auszudrücken. Die Äquivalenz dieser verschiedenen Formen, obwohl eine notwendige Konsequenz selbstverständlicher Axiome, ist unserer Meinung nach nicht immer selbstverständlich; aber der Mathematiker, der durch langes Üben mit vielen dieser Formen vertraut geworden ist und die Prozesse, die von einem zum anderen führen, erfahren hat, kann oft einen verwirrenden Ausdruck in einen anderen verwandeln, der seine Bedeutung in einer verständlicheren Sprache erklärt.

Die einzelnen Dozenten verschiedener Hochschulen nutzen Übungen im Rahmen ihres Mathematikkurses. Bei der Untersuchung von Problemlösungen an Universitäten stellte Schönfeld fest:

Oberstufenangebote für die Hauptfächer Mathematik, in denen die Studierenden überwiegend Problemsammlungen bearbeiteten, die von ihren jeweiligen Dozenten zusammengestellt wurden. In solchen Kursen lag der Schwerpunkt auf Learning by Doing, ohne den Versuch, bestimmte Heuristiken zu vermitteln: Die Studenten arbeiteten viele Probleme, weil (nach dem impliziten Unterrichtsmodell solcher Kurse) man so gut in Mathematik wird.

Solche Übungssammlungen können Eigentum des Dozenten und seiner Institution sein. Betrachten Sie als Beispiel für den Wert von Übungssätzen die Leistung von Toru Kumon und seiner Kumon-Methode . In seinem Programm geht ein Schüler nicht vor, bevor er jede Übungsstufe beherrscht. An der Russian School of Mathematics beginnen die Schüler bereits in der ersten Klasse mit mehrstufigen Aufgaben und lernen, auf früheren Ergebnissen aufzubauen, um zur Lösung zu gelangen.

In den 1960er Jahren wurden Sammlungen mathematischer Übungen aus dem Russischen übersetzt und von WH Freeman and Company veröffentlicht : The USSR Olympiad Problem Book (1962), Problems in Higher Algebra (1965) und Problems in Differential Equations (1963).

Geschichte

In China, aus alten Zeiten Zählen Stäbe wurden verwendet zur Darstellung von Zahlen und Rechnen mit geführten Stange Kalkül und später die suanpan . Das Buch über Zahlen und Rechnen und die neun Kapitel über die mathematische Kunst enthalten Übungen, die Beispiele der linearen Algebra sind .

Um 980 schrieb Al-Sijzi seine Ways of Making Easy the Derivation of Geometrical Figures , die 1996 von Jan Hogendijk übersetzt und veröffentlicht wurde .

Eine arabische Sprachsammlung von Übungen wurde als Compendio de Algebra de Abenbéder ins Spanische übersetzt und in Nature besprochen .

In Europa vor 1900 rahmte die Wissenschaft der grafischen Perspektive geometrische Übungen ein. Zum Beispiel schrieb Brook Taylor 1719 in New Principles of Linear Perspective

[Der Leser] wird viel mehr Freude daran haben, zu beobachten, wie umfangreich diese Grundsätze sind, indem er sie auf besondere Fälle anwendet, die er selbst erfinden wird, während er sich in dieser Kunst ausübt...

Taylor fuhr fort

...denn der wahre und beste Weg, eine Kunst zu erlernen, besteht darin, nicht viele Beispiele zu sehen, die von einer anderen Person gemacht wurden; sondern sich selbst zuerst der Prinzipien zu eigen zu machen und sie dann vertraut zu machen, indem man sich selbst in der Praxis übt.

Der Einsatz von Schreibtafeln in Schulen bot ein frühes Format für Übungen. Das Wachstum der Übungsprogramme folgte der Einführung von schriftlichen Prüfungen und dem Lernen auf der Grundlage von Stift und Papier.

Felix Klein bezeichnete die Vorbereitung auf die Aufnahmeprüfung der École Polytechnique als

...ein Kurs "mathematiques especiales". Dies ist eine außerordentlich starke Konzentration der mathematischen Ausbildung – bis zu 16 Stunden pro Woche –, in der die elementare analytische Geometrie und Mechanik und neuerdings auch die Infinitesimalrechnung gründlich studiert und durch viele Übungen zu einem sicher beherrschten Werkzeug gemacht werden.

Sylvestre Lacroix war ein begnadeter Lehrer und Ausleger. Sein Buch über beschreibende Geometrie verwendet Abschnitte mit der Bezeichnung "Probleme", um das Verständnis des Lesers zu üben. Im Jahr 1816 verfasste er Essays über den Unterricht im Allgemeinen und über den Mathematikunterricht im Besonderen, in denen er die Notwendigkeit betonte, zu üben und zu testen:

Der Prüfer, der kurzfristig verpflichtet ist, seine Fragen so zu multiplizieren, dass er die von ihm gestellten Fächer zum größten Teil des Unterrichtsstoffes abdeckt, kann nicht weniger gründlich sein, denn wenn er, kurz gesagt, Bewerbungen beiseite legt, wird den Schülern auf diese Weise nichts bringen.

Andrew Warwick hat auf die historische Frage der Übungen aufmerksam gemacht:

Die Aufnahme von anschaulichen Übungen und Problemen am Ende von Kapiteln in Lehrbüchern der mathematischen Physik ist heute so alltäglich, dass sie nicht außergewöhnlich erscheint, aber es ist wichtig zu wissen, dass dieses pädagogische Instrument relativ jungen Ursprungs ist und in einem spezifischen historischen Kontext eingeführt wurde.

In seiner Berichterstattung über die an der Cambridge University eingeführten mathematischen Tripos- Prüfungen stellt er fest:

Ein solches kumulatives, wettbewerbsorientiertes Lernen wurde auch von Privatlehrern mit Einzelunterricht, speziell vorbereiteten Manuskripten und benoteten Beispielen und Problemen effektiver erreicht als von Hochschullehrern, die große Klassen im mittelmäßigen Tempo unterrichteten.

Er erklärt das Verhältnis von Prüfung und Übung, schreibt er

...in den 1830er Jahren waren es eher die Probleme auf den Prüfungsarbeiten als die Übungen in den Lehrbüchern, die den Standard definierten, nach dem ehrgeizige Studenten strebten...[Cambridge-Studenten] erwarteten nicht nur, sich durch die bloße Skizze eines Beispiels zurechtzufinden , wurden aber gelehrt, solche Übungen als sinnvolle Vorbereitung auf schwierige Prüfungsaufgaben zu betrachten.

Um zu erklären, wie die Reform Wurzeln geschlagen hat, schrieb Warwick:

In Cambridge glaubte man weithin, dass der beste Weg, Mathematik, einschließlich der neuen analytischen Methoden, durch praktische Beispiele und Probleme zu unterrichten, und Mitte der 1830er Jahre erhielten einige der ersten Generation junger College-Stipendiaten eine höhere Analyse auf diese Weise begannen sowohl eigene Forschungen zu betreiben als auch Tripos-Prüfer zu werden.

Warwick berichtet, dass Franz Ernst Neumann in Deutschland ungefähr zur gleichen Zeit „ein gemeinsames System von benoteten Übungen entwickelte, das den Schülern eine Hierarchie wesentlicher mathematischer Fähigkeiten und Techniken vorstellte und ... begann, seine eigenen Aufgabensätze zu konstruieren, durch die seine Schüler lernen ihr Handwerk." In Russland reformierte Stephen Timoshenko den Unterricht rund um die Übungen. 1913 lehrte er Materialstärke an der Petersburger Staatlichen Universität für Kommunikationsmittel . Wie er 1968 schrieb,

[Praktische] Übungen wurden am Institut nicht gegeben und bei Prüfungen wurden den Studierenden nur theoretische Fragen aus dem übernommenen Lehrbuch gestellt. Ich musste diese Art von Unterricht so schnell wie möglich beenden. Die Studierenden verstanden die Situation klar, erkannten die Notwendigkeit einer besseren Einarbeitung in das Thema und hatten keine Einwände gegen die starke Zunahme ihrer Arbeitsbelastung. Die Hauptschwierigkeit lag bei den Lehrern – genauer gesagt bei den Prüfern, die es gewohnt waren, ihre Prüfungen nach dem Buch zu gründen. Praktische Probleme in die Prüfungen zu stellen, erschwerte ihre Arbeit. Sie waren in die Jahre gekommen... die einzige Hoffnung bestand darin, jüngere Leute zum Unterrichten zu bringen.

Siehe auch

Verweise

Externe Links