Flussdiagramm (Mathematik) - Flow graph (mathematics)

Ein Flussdiagramm ist eine Form eines Digraphen , der einem Satz linearer algebraischer oder Differentialgleichungen zugeordnet ist:

"Ein Signalflussgraph ist ein Netzwerk von Knoten (oder Punkten), die durch gerichtete Zweige miteinander verbunden sind und einen Satz linearer algebraischer Gleichungen darstellen. Die Knoten in einem Flussdiagramm werden verwendet, um die Variablen oder Parameter darzustellen, und die Verbindungszweige repräsentieren die Koeffizienten diese Variablen miteinander in Beziehung setzen. Das Flussdiagramm ist mit einer Reihe einfacher Regeln verknüpft, die es ermöglichen, jede mögliche Lösung [in Bezug auf die Gleichungen] zu erhalten. "

Obwohl diese Definition die Begriffe "Signalflussdiagramm" und "Flussdiagramm" synonym verwendet, wird der Begriff "Signalflussdiagramm" am häufigsten verwendet, um das Mason-Signalflussdiagramm zu bezeichnen , wobei Mason der Urheber dieser Terminologie in seiner Arbeit ist in elektrischen Netzen. Ebenso verwenden einige Autoren den Begriff "Flussdiagramm", um sich streng auf das Coates-Flussdiagramm zu beziehen . Laut Henley & Williams:

"Die Nomenklatur ist alles andere als standardisiert, und ... auf absehbare Zeit ist keine Standardisierung zu erwarten."

Eine Bezeichnung "Flussdiagramm", das sowohl das Mason-Diagramm als auch das Coates-Diagramm sowie eine Vielzahl anderer Formen solcher Diagramme enthält, erscheint nützlich und stimmt mit dem Ansatz von Abrahams und Coverley sowie mit dem Ansatz von Henley und Williams überein.

Ein gerichtetes Netzwerk - auch als Flussnetzwerk bezeichnet - ist eine bestimmte Art von Flussdiagramm. Ein Netzwerk ist ein Graph mit reellen Zahlen, die jeder seiner Kanten zugeordnet sind. Wenn der Graph ein Digraph ist, ist das Ergebnis ein gerichtetes Netzwerk . Ein Flußgraph ist allgemeiner als ein gerichtetes Netz, dass die Kanten mit zugeordnet sein können Verstärkungen, Ast Gewinnen oder Lässigkeiten oder sogar Funktionen des Laplace - Operator s , in welchem Fall sie genannt werden Übertragungsfunktionen .

Es gibt eine enge Beziehung zwischen Graphen und Matrizen sowie zwischen Digraphen und Matrizen. "Die algebraische Theorie der Matrizen kann auf die Graphentheorie angewendet werden, um elegant Ergebnisse zu erzielen", und umgekehrt werden graphentheoretische Ansätze, die auf Flussgraphen basieren, zur Lösung linearer algebraischer Gleichungen verwendet.

Ableiten eines Flussdiagramms aus Gleichungen

Ein Beispiel für einen Signalflussgraphen

Flussdiagramm für drei simultane Gleichungen. Die auf jeden Knoten einfallenden Kanten sind nur zur Hervorhebung unterschiedlich gefärbt.

Ein Beispiel eines Flussdiagramms, das mit einigen Startgleichungen verbunden ist, wird vorgestellt.

Der Gleichungssystemsatz sollte konsistent und linear unabhängig sein. Ein Beispiel für eine solche Menge ist:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

Die Konsistenz und Unabhängigkeit der Gleichungen in der Menge wird hergestellt, da die Determinante der Koeffizienten ungleich Null ist, sodass eine Lösung unter Verwendung der Cramer-Regel gefunden werden kann .

Anhand der Beispiele aus dem Unterabschnitt Elemente von Signalflussgraphen konstruieren wir den Graphen. In der Abbildung ist in diesem Fall ein Signalflussgraph dargestellt. Um zu überprüfen, ob der Graph die angegebenen Gleichungen darstellt, gehen Sie zu Knoten x ₁ . Sehen Sie sich die Pfeile an, die zu diesem Knoten eingehen (zur Hervorhebung grün gefärbt), und die damit verbundenen Gewichte. Die Gleichung für x ₁ wird erfüllt, indem sie mit der Summe der Knoten gleichgesetzt wird, die an den eingehenden Pfeilen angebracht sind, multipliziert mit den Gewichten, die an diesen Pfeilen angebracht sind. Ebenso liefern die roten Pfeile und ihre Gewichte die Gleichung für x ₂ und die blauen Pfeile für x ₃ .

Ein anderes Beispiel ist der allgemeine Fall von drei simultanen Gleichungen mit nicht spezifizierten Koeffizienten:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} & c_ {13} \\ c_ {21} & c_ {22} & c_ {23} \\ c_ {31} & c_ {32} & c_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} y_ {1} \\ y_ {2} \\ y_ {3} \ end {bmatrix}}}$

Um das Flussdiagramm einzurichten, werden die Gleichungen neu gefasst, sodass jede eine einzelne Variable identifiziert, indem sie jeder Seite hinzugefügt wird. Beispielsweise:

${\ displaystyle \ left (c_ {11} +1 \ right) x_ {1} + c_ {12} x_ {2} + c_ {13} x_ {3} -y_ {1} = x_ {1} \.}$

Unter Verwendung des Diagramms und Summieren der einfallenden Zweige zu x _{1 wird} diese Gleichung als erfüllt angesehen.

Da alle drei Variablen symmetrisch in diese Neufassung der Gleichungen eingegeben werden, bleibt die Symmetrie im Diagramm erhalten, indem jede Variable an der Ecke eines gleichseitigen Dreiecks platziert wird. Durch Drehen der Zahl um 120 ° werden die Indizes einfach permutiert. Diese Konstruktion kann auf weitere Variablen erweitert werden, indem der Knoten für jede Variable am Scheitelpunkt eines regulären Polygons mit so vielen Scheitelpunkten platziert wird, wie Variablen vorhanden sind.

Um aussagekräftig zu sein, sind die Koeffizienten natürlich auf Werte beschränkt, so dass die Gleichungen unabhängig und konsistent sind.

Siehe auch

• Beschichtungsgraph
• Signalflussdiagramm

Weiterführende Literatur

• Richard A. Brualdi, Dragos Cvetkovic (2008). "Determinanten" . Ein kombinatorischer Ansatz zur Matrixtheorie und ihren Anwendungen . Chapman & Hall / CRC. S. 63 ff . ISBN   9781420082234 . Eine Diskussion der Coates- und Mason-Flussdiagramme.

Verweise