Foucaultsche Pendel - Foucault pendulum

Foucaults Pendel im Panthéon , Paris

Das Foucault-Pendel oder Foucault-Pendel ist ein einfaches Gerät, das nach dem französischen Physiker Léon Foucault benannt und als Experiment zur Demonstration der Erdrotation konzipiert wurde . Das Pendel wurde 1851 eingeführt und war das erste Experiment, das einfache und direkte Beweise für die Erdrotation lieferte. Foucaultsche Pendel sind heute beliebte Ausstellungsstücke in Wissenschaftsmuseen und Universitäten.

Original Foucault-Pendel

Ein Druck des Foucaultschen Pendels, 1895

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Foucault Pendulum bei COSI Columbus wirft einen Ball um

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Foucaults Pendel im Panthéon, Paris

Die erste öffentliche Ausstellung eines Foucaultschen Pendels fand im Februar 1851 im Meridian des Pariser Observatoriums statt . Ein paar Wochen später baute Foucault sein berühmtestes Pendel, als er einen 28 Kilogramm (62 lb) messingbeschichteten Blei- Bob mit einem 67 Meter langen (220 ft) Draht von der Kuppel des Panthéon in Paris aufhängte . Die Eigenperiode des Pendels betrug ungefähr Sekunden. Da der Breitengrad seines Standorts = 48°52' N betrug , machte die Ebene der Pendelschwingung in ungefähr ≈ 31,8 Stunden (31 Stunden 50 Minuten) einen vollen Kreis und drehte sich ungefähr 11,3° pro Stunde im Uhrzeigersinn. ${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\approx 16.5}$${\displaystyle \phi\,}$${\displaystyle {\frac {23h56'}{\sin\phi}}}$

Der ursprüngliche Bob, der 1851 im Panthéon verwendet wurde, wurde 1855 an das Conservatoire des Arts et Métiers in Paris verlegt. Zum 50-jährigen Jubiläum 1902 erfolgte eine zweite temporäre Installation.

Während des Wiederaufbaus des Museums in den 1990er Jahren wurde das ursprüngliche Pendel vorübergehend im Panthéon (1995) ausgestellt, später jedoch an das Musée des Arts et Métiers zurückgegeben, bevor es im Jahr 2000 wiedereröffnet wurde Das Musée des Arts et Métiers zerbrach, wodurch der Pendelkörper und der Marmorboden des Museums irreparabel beschädigt wurden. Der originale, mittlerweile beschädigte Pendelkörper wird in einem separaten Etui neben der aktuellen Pendelanzeige ausgestellt.

Unter der Kuppel des Panthéon, Paris, ist seit 1995 eine exakte Kopie des Originalpendels in Betrieb.

Erklärung der Mechanik

Animation eines Foucaultschen Pendels auf der Nordhalbkugel, mit stark übertriebener Rotationsrate und Amplitude der Erde. Die grüne Spur zeigt den Weg des Pendelkörpers über dem Boden (einem rotierenden Referenzrahmen) in einer beliebigen vertikalen Ebene. Die tatsächliche Schaukelebene scheint sich relativ zur Erde zu drehen: Sitzt auf dem Bob wie eine Schaukel, verschwindet die fiktive Coriolis-Kraft: Der Beobachter befindet sich in einer "freien Rotationsreferenz", in der nach der allgemeinen Relativitätstheorie nicht-euklidische gekrümmte Raumzeitmetriken sein müssen Gebraucht. Der Draht sollte so lang wie möglich sein – Längen von 12–30 m (40–100 ft) sind üblich.

Entweder am geografischen Nordpol oder am geografischen Südpol bleibt die Schwingungsebene eines Pendels relativ zu den entfernten Massen des Universums fixiert, während sich die Erde darunter dreht, wobei eine Drehung einen Sterntag dauert . Die Schwingungsebene eines Pendels am Nordpol erfährt also – von oben betrachtet – relativ zur Erde eine volle Drehung im Uhrzeigersinn während eines Tages; ein Pendel am Südpol dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.

Wenn ein Foucaultsches Pendel am Äquator aufgehängt ist , bleibt die Schwingungsebene relativ zur Erde fest. In anderen Breitengraden präzediert die Schwingungsebene relativ zur Erde, aber langsamer als am Pol; die Winkelgeschwindigkeit ω (in Uhrzeigerrichtung gemessenen Grad pro siderischen Tag), ist proportional zu dem Sinus der Breite , φ :

${\displaystyle \omega =360^{\circ}\sin\varphi\ /\mathrm {Tag}}$,

wobei die Breitengrade nördlich und südlich des Äquators als positiv bzw. negativ definiert sind. Ein "Pendeltag" ist die Zeit, die die Ebene eines frei hängenden Foucaultschen Pendels benötigt, um eine scheinbare Drehung um die lokale Vertikale zu vollenden. Dies ist ein Sterntag geteilt durch den Sinus des Breitengrades. Zum Beispiel dreht sich ein Foucault-Pendel auf 30 ° südlicher Breite, von einem erdgebundenen Beobachter von oben betrachtet, in zwei Tagen um 360 ° gegen den Uhrzeigersinn.

Bei ausreichender Drahtlänge kann der beschriebene Kreis so breit sein, dass die tangentiale Verschiebung entlang des Messkreises zwischen zwei Schwingungen mit dem Auge sichtbar ist, was das Foucault-Pendel zu einem spektakulären Experiment macht: Zum Beispiel bewegt sich das ursprüngliche Foucault-Pendel im Panthéon kreisförmig, mit einer Pendelamplitude von 6 m um etwa 5 mm pro Periode.

Ein Foucaultsches Pendel am Nordpol: Das Pendel schwingt in der gleichen Ebene, in der sich die Erde darunter dreht.

Ein Auszug aus der illustrierten Beilage der Zeitschrift Le Petit Parisien vom 2. November 1902 zum 50. Jahrestag des Experiments von Léon Foucault zur Demonstration der Erdrotation.

Ein Foucault-Pendel erfordert Sorgfalt bei der Aufstellung, da eine ungenaue Konstruktion zusätzliche Auslenkung verursachen kann, die die terrestrische Wirkung maskiert. Wie die spätere Nobelpreisträgerin Heike Kamerlingh Onnes beobachtete , die für seine Doktorarbeit (1879) eine umfassendere Theorie des Foucaultschen Pendels entwickelte, kann eine geometrische Unvollkommenheit des Systems oder die Elastizität des Stützdrahts eine Interferenz zwischen zwei horizontalen Schwingungsmoden verursachen, die bewirkte, dass Onnes' Pendel innerhalb einer Stunde von einer linearen zu einer elliptischen Schwingung überging. Der anfängliche Start des Pendels ist ebenfalls kritisch; die traditionelle Methode besteht darin, mit einer Flamme einen Faden zu durchbrennen, der den Bob vorübergehend in seiner Ausgangsposition hält und so ungewollte Seitwärtsbewegungen vermeidet (siehe ein Detail der Einführung zum 50-jährigen Jubiläum im Jahr 1902 ).

Bemerkenswerterweise wurde das Ausschlagen des Pendels bereits 1661 von Vincenzo Viviani , einem Schüler von Galileo , beobachtet, aber es gibt keinen Beweis dafür, dass er den Effekt mit der Erdrotation in Verbindung brachte; er empfand es vielmehr als ein Ärgernis in seinem Arbeitszimmer, das dadurch überwunden werden sollte, den Bob an zwei Seilen statt an einem aufzuhängen.

Der Luftwiderstand dämpft die Schwingung, daher enthalten einige Foucault-Pendel in Museen einen elektromagnetischen oder anderen Antrieb, um den Bob schwingen zu lassen; andere werden regelmäßig neu gestartet, manchmal mit einer Startzeremonie als zusätzliche Attraktion. Neben dem Luftwiderstand (die Verwendung eines schweren symmetrischen Bobs dient der Reduzierung der Reibungskräfte, hauptsächlich des Luftwiderstands durch einen symmetrischen und aerodynamischen Bob) soll das andere technische Hauptproblem bei der Herstellung eines 1-Meter-Foucault-Pendels heutzutage darin bestehen, sicherzustellen, dass es keinen Vorzug gibt Schwungrichtung.

Die Animation beschreibt die Bewegung eines Foucaultschen Pendels auf einem Breitengrad von 30°N. Die Schwingungsebene dreht sich während eines Tages um einen Winkel von -180°, sodass die Ebene nach zwei Tagen wieder in ihre ursprüngliche Ausrichtung zurückkehrt.

Foucault-Gyroskop

Um die Rotation direkt und nicht indirekt über das schwingende Pendel zu demonstrieren, verwendete Foucault in einem Experiment von 1852 ein Gyroskop (ein von Foucault 1852 geprägtes Wort). Der innere Kardan des Foucault-Gyroskops war auf Messerkantenlagern am äußeren Kardan ausbalanciert und der äußere Kardan war an einem feinen, verwindungsfreien Gewinde so aufgehängt, dass der untere Drehpunkt fast kein Gewicht trug. Der Kreisel wurde mit einer Anordnung von Zahnrädern auf 9.000 bis 12.000 Umdrehungen pro Minute gedreht, bevor er in Position gebracht wurde, was ausreichend Zeit war, um den Kreisel auszubalancieren und 10 Minuten zu experimentieren. Das Instrument konnte entweder mit einem Mikroskop mit einer Zehntelgradskala oder mit einem langen Zeiger beobachtet werden. Mindestens drei weitere Kopien eines Foucault-Kreisels wurden in praktischen Reise- und Demonstrationsboxen hergestellt und Kopien überlebten in Großbritannien, Frankreich und den USA. Das Foucault-Gyroskop wurde zu einer Herausforderung und Inspirationsquelle für erfahrene wissenschaftliche Hobbyisten wie DB Adamson .

Präzession als Paralleltransport

Paralleltransport eines Vektors um eine geschlossene Schleife auf der Kugel: Der Winkel, um den er sich verdreht, α , ist proportional zur Fläche innerhalb der Schleife.

In einem nahezu inertialen System, das sich im Tandem mit der Erde bewegt, aber nicht die Rotation der Erde um ihre eigene Achse teilt, zeichnet der Aufhängepunkt des Pendels während eines Sterntages eine Kreisbahn.

Auf dem Breitengrad von Paris, 48 ​​Grad 51 Minuten nördlich, dauert ein vollständiger Präzessionszyklus knapp 32 Stunden, so dass sich die Schwingungsebene nach einem Sterntag, wenn die Erde wieder in der gleichen Ausrichtung wie einen Sterntag zuvor ist, um genau . gedreht hat über 270 Grad. Wenn die Schwungebene zu Beginn Nord-Süd war, ist sie einen Sterntag später Ost-West.

Dies impliziert auch, dass ein Impulsaustausch stattgefunden hat ; die Erde und der Pendelkörper haben Schwung ausgetauscht. Die Erde ist so viel massiver als der Pendelkörper, dass die Impulsänderung der Erde nicht wahrnehmbar ist. Da sich die Schwingebene des Pendels jedoch verschoben hat, muss nach den Erhaltungssätzen ein Austausch stattgefunden haben.

Anstatt die Impulsänderung zu verfolgen, kann die Präzession der Schwingungsebene effizient als ein Fall von Paralleltransport beschrieben werden . Dazu kann durch die Komposition der infinitesimalen Rotationen gezeigt werden, dass die Präzessionsrate proportional zur Projektion der Winkelgeschwindigkeit der Erde auf die Erdnormale ist, was bedeutet, dass die Spur der Schwingungsebene einen Paralleltransport erfährt . Nach 24 Stunden beträgt die Differenz zwischen Anfangs- und Endorientierung der Spur im Erdsystem α = −2π sin φ , was dem Wert des Gauss-Bonnet-Theorems entspricht . α wird auch als Holonomie oder geometrische Phase des Pendels bezeichnet. Bei der Analyse erdgebundener Bewegungen ist der Erdrahmen kein Trägheitsrahmen , sondern rotiert mit einer effektiven Rate von 2π sin φ Radiant pro Tag um die lokale Vertikale . Eine einfache Methode, die den Paralleltransport innerhalb von Kegeln verwendet, die die Erdoberfläche tangieren, kann verwendet werden, um den Rotationswinkel der Schwingebene des Foucaultschen Pendels zu beschreiben.

Aus der Perspektive eines erdgebundenen Koordinatensystems (Messkreis und Betrachter sind erdgebunden, auch wenn die Geländereaktion auf die Corioliskraft vom Betrachter bei seiner Bewegung nicht wahrgenommen wird) unter Verwendung eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit seiner x- Achse nach Osten und seine y- Achse nach Norden zeigt, ist die Präzession des Pendels auf die Corioliskraft zurückzuführen (andere fiktive Kräfte wie Schwerkraft und Zentrifugalkraft haben keine direkte Präzessionskomponente, die Eulersche Kraft ist gering, da die Rotationsgeschwindigkeit der Erde nahezu konstant ist). Betrachten Sie ein planares Pendel mit konstanter Eigenfrequenz ω in der Kleinwinkelnäherung . Auf den Pendelkörper wirken zwei Kräfte: die Rückstellkraft durch die Schwerkraft und den Draht und die Corioliskraft (die Fliehkraft im Gegensatz zur Schwerkraftrückstellkraft kann vernachlässigt werden). Die Corioliskraft am Breitengrad φ ist in der Kleinwinkelnäherung horizontal und ist gegeben durch

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin\varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\ dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{ausgerichtet}}}$

wobei Ω die Rotationsfrequenz der Erde ist, F _{c , x} die Komponente der Corioliskraft in x- Richtung und F _{c , y} die Komponente der Corioliskraft in y- Richtung ist.

Die Rückstellkraft ist in Kleinwinkelnäherung und unter Vernachlässigung der Fliehkraft gegeben durch

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned }}}$

Diagramme der Präzessionsperiode und der Präzession pro Sterntag vs. Breitengrad. Das Vorzeichen ändert sich, wenn sich ein Foucault-Pendel auf der Südhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn und auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn dreht. Das Beispiel zeigt, dass man in Paris an jedem Sterntag 271° präzediert und dabei 31,8 Stunden pro Umdrehung benötigt.

Unter Verwendung der Newtonschen Bewegungsgesetze führt dies zu dem Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt }}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt} }\sin\varphi .\end{ausgerichtet}}}$

Wechseln zu komplexen Koordinaten z = x + iy , lauten die Gleichungen

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin\varphi +\omega ^{2}z=0 \,.}$

Zur Erstbestellung Ω/ω diese Gleichung hat die Lösung

${\displaystyle z=e^{-i\Omega\sin\varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right) \,.}$

Wird die Zeit in Tagen gemessen, dann ist Ω = 2π und das Pendel dreht sich während eines Tages um einen Winkel von −2π sin φ .

Zugehörige physikalische Systeme

Das von Wheatstone beschriebene Gerät.

Viele physikalische Systeme präzedieren in ähnlicher Weise wie ein Foucaultsches Pendel. Bereits im Jahr 1836 der schottische Mathematiker Sang Edward ersonnen und die Präzession eines Kreisels erklärt oben . 1851 beschrieb Charles Wheatstone eine Apparatur, die aus einer Schwingfeder besteht, die auf einer Scheibe montiert ist, so dass sie mit der Scheibe einen festen Winkel φ bildet . Die Feder wird so angeschlagen, dass sie in einer Ebene schwingt. Beim Drehen der Scheibe ändert sich die Schwingungsebene wie bei einem Foucaultschen Pendel am Breitengrad φ .

In ähnlicher Weise ein nicht rotierenden betrachten, perfekt ausbalancierten Fahrradrad auf einer Platte montiert , so daß seine Drehachse einen Winkel φ mit der Scheibe. Wenn die Scheibe eine volle Umdrehung im Uhrzeigersinn durchläuft, kehrt das Fahrradrad nicht in seine ursprüngliche Position zurück, sondern hat eine Nettodrehung von 2π sin φ durchlaufen .

Eine Foucault-ähnliche Präzession wird in einem virtuellen System beobachtet, in dem ein masseloses Teilchen gezwungen ist, auf einer rotierenden Ebene zu bleiben, die in Bezug auf die Rotationsachse geneigt ist.

Der Spin eines relativistischen Teilchens, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, präzediert ähnlich der Schwingebene des Foucaultschen Pendels. Der relativistische Geschwindigkeitsraum in der Minkowski-Raumzeit kann als Kugel S ³ im 4-dimensionalen euklidischen Raum mit imaginärem Radius und imaginärer zeitähnlicher Koordinate behandelt werden. Der parallele Transport von Polarisationsvektoren entlang einer solchen Sphäre führt zur Thomas-Präzession , die der Drehung der Schwingebene des Foucault-Pendels aufgrund des parallelen Transports entlang einer Sphäre S ² im dreidimensionalen euklidischen Raum analog ist.

In der Physik wird die Entwicklung solcher Systeme durch geometrische Phasen bestimmt . Mathematisch werden sie durch Paralleltransport verstanden.

Foucaultsche Pendel auf der ganzen Welt

Es gibt zahlreiche Foucaultsche Pendel an Universitäten, Wissenschaftsmuseen und dergleichen auf der ganzen Welt. Das Hauptquartier der Vereinten Nationen in New York City hat einen. Das Pendel des Oregon Convention Center soll das größte sein, seine Länge beträgt ungefähr 27 m (89 ft), jedoch sind in dem Artikel größere Pendel aufgeführt, wie zum Beispiel das Pendel im Gamow Tower der University of Colorado (39,3 m). . Früher gab es viel längere Pendel, wie das 98 m (322 ft) lange Pendel in der St. Isaaks-Kathedrale in Sankt Petersburg , Russland .

• 

  Foucault-Pendel im Musée des Arts et Métiers

• 

  Foucault-Pendel im Ranchi Science Center

• 

  Foucault-Pendel an der California Academy of Sciences

• 

  Foucault-Pendel im Devonshire Dome , University of Derby

Südpol

Das Experiment wurde auch am Südpol durchgeführt , wo angenommen wurde, dass die Erdrotation an der Amundsen-Scott-Südpolstation in einem sechsstöckigen Treppenhaus einer im Bau befindlichen neuen Station die maximale Wirkung haben würde . Das Pendel hatte eine Länge von 33 m (108 ft) und der Bob wog 25 kg (55 lb). Die Lage war ideal: Keine bewegte Luft konnte das Pendel stören und die niedrige Viskosität der Kaltluft reduzierte den Luftwiderstand. Als Rotationsperiode der Schwingungsebene bestätigten die Forscher etwa 24 Stunden.

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

• Arnold, VI (1989). Mathematische Methoden der klassischen Mechanik . Springer. P. 123 . ISBN 978-0-387-96890-2.
• Marion, Jerry B.; Thornton, Stephen T. (1995). Klassische Dynamik von Teilchen und Systemen (4. Aufl.). Brooks Cole. S.  398–401 . ISBN 978-0-03-097302-4.
• Persson, Anders O. (2005). "Der Coriolis-Effekt: Vier Jahrhunderte Konflikt zwischen gesundem Menschenverstand und Mathematik, Teil I: Eine Geschichte bis 1885" (PDF) . Geschichte der Meteorologie . 2 . Archiviert vom Original (PDF) am 2014-04-11 . Abgerufen 2006-04-27 .

Externe Links

• Wolfe, Joe, „ Eine Ableitung der Präzession des Foucaultschen Pendels “.
• „ Das Foucaultsche Pendel “, Herleitung der Präzession in Polarkoordinaten.
• " The Foucault Pendulum " Von Joe Wolfe, mit Filmausschnitt und Animationen.
• " Foucault's Pendulum " von Jens-Peer Kuska mit Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project : ein Computermodell des Pendels, das die Manipulation von Pendelfrequenz, Erdrotationsfrequenz, Breitengrad und Zeit ermöglicht.
• " Webcam Kirchhoff-Institut für Physik, Universität Heidelberg ".
• California Academy of Sciences, CA Foucault Pendelerklärung, im freundlichen Format
• Foucault-Pendelmodell Exposition mit Tischgerät, das den Foucault-Effekt in Sekunden zeigt.
• Foucault, ML, Physikalische Demonstration der Erdrotation mit Hilfe des Pendels , Franklin Institute, 2000, abgerufen am 31.10.2007. Übersetzung seiner Arbeit über das Foucaultsche Pendel.
• Tobin, Wilhelm. "Das Leben und die Wissenschaft von Léon Foucault" .
• Bowley, Roger (2010). "Foucaultsches Pendel" . Sechzig Symbole . Brady Haran für die Universität Nottingham .
• Foucault-inga Párizsban Foucault-Pendel in Paris – Video des funktionierenden Foucault-Pendels im Panthéon (auf Ungarisch) .
• Pendolo nel Salone das Foucault-Pendel im Palazzo della Ragione in Padua, Italien
• Schach, AS (1895). „Auf Foucaults Pendel“. Bin. J.Mathe . 17 (1): 81–88. doi : 10.2307/2369710 . JSTOR  2369710 .
• MacMillan, William Duncan (1915). „Auf Foucaults Pendel“. Bin. J.Mathe . 37 (1): 95–106. doi : 10.2307/2370259 . JSTOR  2370259 . S2CID  123717776 .
• Somerville, WB (1972). „Die Beschreibung des Foucaultschen Pendels“. QJR Astron. Soz . 13 : 40–62. Bibcode : 1972QJRAS..13...40S .
• Braginsky, Wladimir B.; Polnarew, Aleksander G.; Thorne, Kip S. (1984). "Foucault-Pendel am Südpol: Vorschlag für ein Experiment zum Nachweis des allgemeinen relativistischen Gravitomagnetfeldes der Erde" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 53 (9): 863. Bibcode : 1984PhRvL..53..863B . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.863 .
• Kran, H. Richard (1995). "Foucault-Pendel "Wanduhr " ". Bin. J.Phys . 63 (1): 33–39. Bibcode : 1995AmJPh..63...33C . doi : 10.1119/1.17765 .
• Hart, John B.; Miller, Raymond E. (1987). „Ein einfaches geometrisches Modell zur Visualisierung der Bewegung eines Foucaultschen Pendels“. Bin. J.Phys . 55 (1): 67. Bibcode : 1987AmJPh..55...67H . doi : 10.1119/1.14972 .
• Das, U.; Talukdar, B.; Shamanna, J. (2002). „Indirekte analytische Darstellung des Foucaultschen Pendels“. Tschechoslow. J.Phys . 52 (12): 1321-1327. Bibcode : 2002CzJPh..52.1321D . doi : 10.1023/A:1021819627736 .
• Salva, Horacio R.; Benavides, Rubén E.; Perez, Julio C.; Cuscueta, Diego J. (2010). „Ein Pendelentwurf von Foucault“. Rev. Sci. Instrument . 81 (11): 115102–115102–4. Bibcode : 2010RScI...81k5102S . doi : 10.1063/1.3494611 . PMID  21133496 .
• Daliga, K.; Przyborski, M.; Szulwic, J. (2015). "Foucaults Pendel. Unkompliziertes Werkzeug im Studium der Geodäsie und Kartographie" . EDULEARN15 Proceedings - 7. Internationale Konferenz über Bildung und neue Lerntechnologien, Barcelona, ​​Spanien . ISBN 978-84-606-8243-1.