4-Verteiler - 4-manifold

In der Mathematik ist eine 4-Mannigfaltigkeit eine 4-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit . Eine glatte 4-Mannigfaltigkeit ist eine 4-Mannigfaltigkeit mit einer glatten Struktur . In der vierten Dimension sind topologische und glatte Mannigfaltigkeiten im deutlichen Gegensatz zu niedrigeren Dimensionen ziemlich unterschiedlich. Es gibt einige topologische 4-Mannigfaltigkeiten, die keine glatte Struktur zulassen, und selbst wenn es eine glatte Struktur gibt, muss sie nicht eindeutig sein (dh es gibt glatte 4-Mannigfaltigkeiten, die homöomorph, aber nicht diffeomorph sind ).

4-Verteiler sind wichtig in der Physik , weil in der Allgemeinen Relativitätstheorie , Raum - Zeit als modellierte pseudo-Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit.

Topologische 4-Mannigfaltigkeiten

Der Homotopietyp eines einfach verbundenen kompakten 4-Verteilers hängt nur von der Schnittform der mitteldimensionalen Homologie ab. Ein berühmter Satz von Michael Freedman  ( 1982 ) impliziert, dass der Homöomorphismustyp der Mannigfaltigkeit nur von dieser Schnittform und von einer Invariante abhängt, die als Kirby-Siebenmann-Invariante bezeichnet wird , und dass darüber hinaus jede Kombination aus unimodularer Form und Kirby-Siebenmann-Invariante entstehen kann , außer dass, wenn die Form gerade ist, die Kirby-Siebenmann-Invariante die Signatur / 8 (Mod 2) sein muss.

Beispiele:

  • Im Sonderfall der Form 0 impliziert dies die 4-dimensionale topologische Poincaré-Vermutung .
  • Wenn die Form das E8-Gitter ist , ergibt dies eine Mannigfaltigkeit namens E8-Mannigfaltigkeit , eine Mannigfaltigkeit, die keinem simplizialen Komplex homöomorph ist .
  • Wenn die Form ist , gibt es zwei Mannigfaltigkeiten in Abhängigkeit von der Kirby-Siebenmann-Invariante: eine ist ein 2-dimensionaler komplexer projektiver Raum und die andere ist ein falscher projektiver Raum mit dem gleichen Homotopietyp, aber nicht homöomorph (und ohne glatte Struktur). .
  • Wenn der Rang der Form größer als etwa 28 ist, steigt die Anzahl der positiven bestimmten unimodularen Formen mit dem Rang extrem schnell an, so dass es eine große Anzahl entsprechender einfach verbundener topologischer 4-Mannigfaltigkeiten gibt (von denen die meisten fast zu sein scheinen) kein Interesse).

Freedmans Klassifikation kann auf einige Fälle ausgedehnt werden, in denen die Fundamentalgruppe nicht zu kompliziert ist; Wenn dies der Fall ist , gibt es eine ähnliche Klassifizierung wie oben unter Verwendung hermitischer Formen über dem Gruppenring von . Wenn die Fundamentalgruppe zu groß ist (z. B. eine freie Gruppe auf 2 Generatoren), dann scheinen die Techniken von Freedman zu versagen, und über solche Mannigfaltigkeiten ist nur sehr wenig bekannt.

Für jede endlich präsentierte Gruppe ist es einfach, einen (glatten) kompakten 4-Verteiler mit dieser als Grundgruppe zu konstruieren. Da es keinen Algorithmus gibt, mit dem festgestellt werden kann, ob zwei endlich dargestellte Gruppen isomorph sind (auch wenn bekannt ist, dass eine trivial ist), gibt es keinen Algorithmus, mit dem festgestellt werden kann, ob zwei 4-Mannigfaltigkeiten dieselbe Grundgruppe haben. Dies ist ein Grund, warum viele Arbeiten zu 4-Mannigfaltigkeiten nur den einfach zusammenhängenden Fall betrachten: Der allgemeine Fall vieler Probleme ist bereits als hartnäckig bekannt.

Glatte 4-Verteiler

Für Mannigfaltigkeiten der Dimension höchstens 6 kann jede stückweise lineare (PL) Struktur auf eine im Wesentlichen einzigartige Weise geglättet werden, so dass insbesondere die Theorie der 4-dimensionalen PL-Mannigfaltigkeiten der Theorie der 4-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeiten sehr ähnlich ist.

Ein großes offenes Problem in der Theorie der glatten 4-Mannigfaltigkeiten besteht darin, die einfach zusammenhängenden kompakten zu klassifizieren. Da die topologischen bekannt sind, zerfällt diese in zwei Teile:

  1. Welche topologischen Mannigfaltigkeiten sind glättbar?
  2. Klassifizieren Sie die verschiedenen glatten Strukturen auf einer glättbaren Mannigfaltigkeit.

Es gibt eine fast vollständige Antwort auf das erste Problem, bei dem einfach verbundene kompakte 4-Verteiler glatte Strukturen aufweisen. Erstens muss die Kirby-Siebenmann-Klasse verschwinden.

  • Wenn die Schnittform eindeutig ist, gibt Donaldsons Theorem ( Donaldson 1983 ) eine vollständige Antwort: Es gibt genau dann eine glatte Struktur, wenn die Form diagonalisierbar ist.
  • Wenn die Form unbestimmt und ungerade ist, liegt eine glatte Struktur vor.
  • Wenn die Form unbestimmt ist und wir sogar annehmen können, dass sie nicht positive Signatur hat, indem wir gegebenenfalls die Orientierung ändern, dann ist sie isomorph zu einer Summe von m Kopien von II 1,1 und 2 n Kopien von E 8 (− 1) für einige m und n . Wenn m ≥ 3 n ist (so dass die Dimension mindestens das 11/8-fache der | Signatur | beträgt), gibt es eine glatte Struktur, die durch eine zusammenhängende Summe von n K3-Oberflächen und m  - 3 n Kopien von S 2 × S gegeben ist 2 . Wenn m ≤ 2 n (also die Dimension höchstens das 10/8- fache der |Signatur| beträgt), dann hat Furuta bewiesen, dass keine glatte Struktur existiert ( Furuta 2001 ). Dies hinterlässt eine kleine Lücke zwischen 10/8 und 11/8, bei der die Antwort meist unbekannt ist. (Der kleinste oben nicht behandelte Fall hat n = 2 und m = 5, aber auch dies wurde ausgeschlossen, daher ist das kleinste Gitter, für das die Antwort derzeit nicht bekannt ist, das Gitter II 7,55 vom Rang 62 mit n = 3 und m = 7. Siehe die jüngsten (Stand 2019) Fortschritte in diesem Bereich.) Die "11/8-Vermutung" besagt, dass keine glatten Strukturen existieren, wenn die Dimension weniger als das 11/8-fache der | Signatur | beträgt.

Im Gegensatz dazu ist nur sehr wenig über die zweite Frage der Klassifizierung der glatten Strukturen auf einem glättbaren 4-Verteiler bekannt. Tatsächlich gibt es keine einzige glättbare 4-Mannigfaltigkeit, bei der die Antwort bekannt ist. Donaldson zeigte, dass es einige einfach zusammenhängende kompakte 4-Mannigfaltigkeiten wie die Dolgachev-Flächen mit einer abzählbar unendlichen Anzahl verschiedener glatter Strukturen gibt. Es gibt unzählige verschiedene glatte Strukturen auf R 4 ; siehe exotische R 4 . Fintushel und Stern zeigten, wie man mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten eine große Anzahl verschiedener glatter Strukturen (indiziert durch beliebige ganzzahlige Polynome) auf vielen verschiedenen Mannigfaltigkeiten konstruieren kann, um zu zeigen, dass die glatten Strukturen unterschiedlich sind. Ihre Ergebnisse legen nahe, dass jede Klassifizierung von einfach verbundenen glatten 4-Verteilern sehr kompliziert sein wird. Es gibt derzeit keine plausiblen Vermutungen, wie diese Einteilung aussehen könnte. (Einige frühe Vermutungen, dass alle einfach verbundenen glatten 4-Mannigfaltigkeiten Summen algebraischer Oberflächen oder symplektische Mannigfaltigkeiten sein könnten , möglicherweise mit umgekehrten Orientierungen, wurden widerlegt.)

Spezielle Phänomene in 4-Dimensionen

Es gibt mehrere grundlegende Sätze über Mannigfaltigkeiten, die mit niedrigdimensionalen Methoden in Dimensionen höchstens 3 und mit ganz anderen hochdimensionalen Methoden in Dimensionen mindestens 5 bewiesen werden können, die aber in Dimension 4 falsch sind. Hier einige Beispiele:

  • In anderen Dimensionen als 4 verhindert die Kirby-Siebenmann-Invariante die Existenz einer PL-Struktur; mit anderen Worten hat eine kompakte topologische Mannigfaltigkeit genau dann eine PL-Struktur, wenn ihre Kirby-Siebenmann-Invariante in H 4 ( M , Z /2 Z ) verschwindet. In Dimension 3 und darunter lässt jede topologische Mannigfaltigkeit eine im Wesentlichen einzigartige PL-Struktur zu. In Dimension 4 gibt es viele Beispiele mit verschwindender Kirby-Siebenmann-Invariante, aber ohne PL-Struktur.
  • In jeder anderen Dimension als 4 hat eine kompakte topologische Mannigfaltigkeit nur eine endliche Anzahl von im wesentlichen unterschiedlichen PL oder glatten Strukturen. In Dimension 4 können kompakte Verteiler eine unendlich große Anzahl nicht diffeomorpher glatter Strukturen aufweisen.
  • Vier ist die einzige Dimension n, für die R n eine exotische glatte Struktur haben kann. R 4 hat unzählige exotische glatte Strukturen; siehe exotische R 4 .
  • Die Lösung der glatten Poincaré-Vermutung ist in allen Dimensionen außer 4 bekannt (sie ist normalerweise in Dimensionen mindestens 7 falsch; siehe exotische Kugel ). Die Poincaré-Vermutung für PL-Mannigfaltigkeiten wurde für alle Dimensionen außer 4 bewiesen, aber es ist nicht bekannt, ob sie in 4 Dimensionen wahr ist (sie entspricht der glatten Poincaré-Vermutung in 4 Dimensionen).
  • Der Satz des glatten h-Cobordismus gilt für Cobordismen, vorausgesetzt, dass weder der Cobordismus noch seine Grenze die Dimension 4 haben. Er kann scheitern, wenn die Grenze des Cobordismus die Dimension 4 hat (wie von Donaldson gezeigt ). Wenn der Kobordismus Dimension 4 hat, ist es unbekannt, ob der Satz des h-Kobordismus gilt.
  • Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ungleich 4 hat eine Handlebody-Zerlegung. Verteiler der Dimension 4 haben genau dann eine Handlebody-Zerlegung, wenn sie glättbar sind.
  • Es gibt kompakte 4-dimensionale topologische Mannigfaltigkeiten, die zu keinem einfachen Komplex homöomorph sind. In Dimension mindestens 5 war die Existenz topologischer Mannigfaltigkeiten, die nicht zu einem simplizialen Komplex homöomorph sind, ein offenes Problem. Ciprian Manolescu zeigte, dass es in jeder Dimension Mannigfaltigkeiten größer oder gleich 5 gibt, die nicht zu einem simplizialen Komplex homöomorph sind.

Scheitern des Whitney-Tricks in Dimension 4

Laut Frank Quinn " schneiden sich zwei n- dimensionale Untervielfaltigkeiten einer Mannigfaltigkeit der Dimension 2 n normalerweise an isolierten Punkten. Der " Whitney-Trick " verwendet eine Isotopie über eine eingebettete 2-Scheibe, um diese Schnittpunkte zu vereinfachen. Grob gesagt Dies reduziert das Studium von n- dimensionalen Einbettungen auf Einbettungen von 2-Disks. Dies ist jedoch keine Reduktion, wenn die Einbettung 4 beträgt: Die 2 Disks selbst sind mitteldimensional, sodass der Versuch, sie einzubetten, auf genau die Probleme stößt, die sie annehmen Dies ist das Phänomen, das Dimension 4 von anderen unterscheidet."

Siehe auch

Verweise