Fréedericksz Übergang - Fréedericksz transition

Der Fréedericksz-Übergang ist ein Phasenübergang in Flüssigkristallen, der entsteht, wenn ein Flüssigkristall in unverzerrtem Zustand mit einem ausreichend starken elektrischen oder magnetischen Feld beaufschlagt wird. Unterhalb einer bestimmten Feldschwelle bleibt der Regisseur unverzerrt. Wenn der Feldwert von diesem Schwellenwert an allmählich erhöht wird, beginnt sich der Direktor zu drehen, bis er mit dem Feld ausgerichtet ist. Auf diese Weise kann der Fréedericksz-Übergang in drei verschiedenen Konfigurationen erfolgen, die als Verdrehungs-, Biege- und Spreizgeometrien bekannt sind. Der Phasenübergang wurde erstmals 1927 von Fréedericksz und Repiewa beobachtet. Bei diesem ersten Experiment war eine der Wände der Zelle konkav, um eine Variation der Dicke entlang der Zelle zu erzeugen. Der Phasenübergang ist nach dem russischen Physiker Wsewolod Frederiks benannt .

Ableitung

Twist-Geometrie

Ein Diagramm, das die Verdrillungsgeometrie zeigt, wobei das elektrische Schwellenfeld ist.${\ displaystyle E_ {t}}$

Wenn ein nematischer Flüssigkristall, der zwischen zwei parallelen Platten eingeschlossen ist, die eine planare Verankerung induzieren, in ein ausreichend hohes konstantes elektrisches Feld gebracht wird, wird der Direktor verzerrt. Wenn der Direktor unter dem Nullfeld entlang der x-Achse ausgerichtet ist, wird der Direktor beim Anlegen eines elektrischen Feldes entlang der y-Achse gegeben durch:

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} = n_ {x} \ mathbf {\ hat {x}} + n_ {y} \ mathbf {\ hat {y}}}$

${\ displaystyle n_ {x} = \ cos {\ theta (z)}}$

${\ displaystyle n_ {y} = \ sin {\ theta (z)}}$

Unter dieser Anordnung wird die verzerrungsfreie Energiedichte :

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {d} = {\ frac {1} {2}} K_ {2} \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right) ^ {2 }}$

Die Gesamtenergie pro Volumeneinheit, die in der Verzerrung und im elektrischen Feld gespeichert ist, ist gegeben durch:

${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} K_ {2} \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {2 }} \ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2} \ sin ^ {2} {\ theta}}$

Die freie Energie pro Flächeneinheit beträgt dann:

${\ displaystyle F_ {A} = \ int _ {0} ^ {d} {\ frac {1} {2}} K_ {2} \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2} \ sin ^ {2} {\ theta} \, dz \,}$

Das Minimieren mit Variationsrechnung ergibt:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partielles U} {\ partielles \ theta}} \ rechts) - {\ frac {d} {dz}} \ left ({\ frac {\ partielles U} {\ partielles \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right)}} \ right) = 0}$

${\ displaystyle K_ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ theta} {dz ^ {2}}} \ right) + \ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2} \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} = 0}$

Wenn Sie dies in Bezug auf und wo der Abstand zwischen den beiden Platten umschreibt, führt dies zu einer Vereinfachung der Gleichung: ${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {z} {d}}}$${\ displaystyle \ xi _ {d} = d ^ {- 1} {\ sqrt {\ frac {K_ {2}} {\ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2}}} }}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle \ xi _ {d} ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ theta} {d \ zeta ^ {2}}} \ right) + \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} = 0}$

Durch Multiplizieren beider Seiten der Differentialgleichung mit dieser Gleichung kann wie folgt weiter vereinfacht werden: ${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} \ xi _ {d} ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ theta} {d \ zeta ^ {2} }} \ right) + {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} = {\ frac {1} {2}} \ xi _ {d} ^ {2} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ left ({\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} \ right) ^ {2} \ right) + {\ frac { 1} {2}} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ sin ^ {2} {\ theta} \ right) = 0}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {2}} \ xi _ {d} ^ {2} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ left ({\ frac {d \ theta) } {d \ zeta}} \ right) ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ sin ^ {2} { \ theta} \ right) \, d \ zeta \, = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} = {\ frac {1} {\ xi _ {d}}} {\ sqrt {\ sin ^ {2} {\ theta _ {m} } - \ sin ^ {2} {\ theta}}}}$

Der Wert ist der Wert von wann . Das Einsetzen und Einfügen in die obige Gleichung und das Integrieren in Bezug auf 0 bis 1 ergibt: ${\ displaystyle \ theta _ {m}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ zeta = 1/2}$${\ displaystyle k = \ sin {\ theta _ {m}}}$${\ displaystyle t = {\ frac {\ sin {\ theta}} {\ sin {\ theta _ {m}}}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2})}} \ , dt \, \ equiv K (k) = {\ frac {1} {2 \ xi _ {d}}}}$

Der Wert K (k) ist das vollständige elliptische Integral der ersten Art . Indem man feststellt, dass man schließlich das elektrische Schwellenfeld erhält . ${\ displaystyle K (0) = {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle E_ {t}}$

${\ displaystyle E_ {t} = {\ frac {\ pi} {d}} {\ sqrt {\ frac {K_ {2}} {\ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e}}}}$

Infolgedessen kann man durch Messen des elektrischen Schwellenfeldes die Frank- Verdrillungskonstante effektiv messen , solange die Anisotropie der elektrischen Suszeptibilität und der Plattentrennung bekannt ist.

Anmerkungen

Verweise

• Collings, Peter J.; Hird, Michael (1997). Einführung in Flüssigkristalle: Chemie und Physik . Taylor & Francis Ltd. ISBN 0-7484-0643-3.
• de Gennes, Pierre-Gilles ; Prost, J. (10. August 1995). Die Physik der Flüssigkristalle (2. Aufl.). Oxford University Press. ISBN 0-19-851785-8.
• Fréedericksz, V.; Repiewa, A. (1927). "Theoretisches und Experimentelles zur Frage nach der Natur der anisotropenhaften". Zeitschrift für Physik . 42 (7): 532–546. Bibcode : 1927ZPhy ... 42..532F . doi : 10.1007 / BF01397711 . S2CID  119861131 .
• Fréedericksz, V.; Zolina, V. (1933). "Kräfte, die die Orientierung einer anisotropen Flüssigkeit verursachen". Trans. Faraday Soc . 29 (140): 919–930. doi : 10.1039 / TF9332900919 .
• Priestley, EB; Wojtowicz, Peter J.; Sheng, Ping (1975). Einführung in Flüssigkristalle . Plenumpresse. ISBN 0-306-30858-4.
• Zöcher, H. (1933). "Die Wirkung eines Magnetfeldes auf den nematischen Zustand". Transaktionen der Faraday Society . 29 (140): 945–957. doi : 10.1039 / TF9332900945 .