Fraktale Dimension - Fractal dimension
In der Mathematik , genauer gesagt in der fraktalen Geometrie , ist eine fraktale Dimension ein Verhältnis, das einen statistischen Index der Komplexität liefert, der vergleicht, wie sich Details in einem Muster (genau genommen ein fraktales Muster) mit dem Maßstab ändern, in dem es gemessen wird. Es wurde auch als Maß für die raumfüllende Kapazität eines Musters charakterisiert , das angibt, wie sich ein Fraktal anders skaliert als der Raum, in den es eingebettet ist; eine fraktale Dimension muss keine ganze Zahl sein.
Die grundlegende Idee der "gebrochenen" Dimensionen hat eine lange Geschichte in der Mathematik, aber der Begriff selbst wurde von Benoit Mandelbrot auf der Grundlage seiner 1967 erschienenen Arbeit über Selbstähnlichkeit, in der er gebrochene Dimensionen diskutierte, in den Vordergrund gerückt . In dieser Arbeit zitierte Mandelbrot frühere Arbeiten von Lewis Fry Richardson , die die kontraintuitive Vorstellung beschreiben, dass sich die gemessene Länge einer Küstenlinie mit der Länge des verwendeten Messstabs ändert ( siehe Abb. 1 ). In diesem Sinne quantifiziert die fraktale Dimension einer Küstenlinie, wie sich die Anzahl der skalierten Messstäbe, die zum Messen der Küstenlinie erforderlich sind, mit der auf den Stab angewendeten Skala ändert. Es gibt mehrere formale mathematische Definitionen der fraktalen Dimension, die auf diesem Grundkonzept der Veränderung im Detail mit Skalenänderung aufbauen: siehe den Abschnitt Beispiele .
Letztendlich wurde der Begriff fraktale Dimension zu dem Ausdruck, mit dem Mandelbrot selbst am wohlsten war, die Bedeutung des von ihm geschaffenen Wortes fraktal zu fassen . Nach mehreren Iterationen über Jahre hinweg entschied sich Mandelbrot für diese Verwendung der Sprache: "... um fraktale ohne pedantische Definition zu verwenden, um fraktale Dimension als generischen Begriff zu verwenden, der auf alle Varianten anwendbar ist ."
Ein nicht triviales Beispiel ist die fraktale Dimension einer Koch-Schneeflocke . Es hat eine topologische Dimension von 1, aber es ist keineswegs eine korrigierbare Kurve : Die Länge der Kurve zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Koch-Schneeflocke ist unendlich . Kein kleines Stück davon ist linienförmig, sondern besteht aus unendlich vielen Segmenten, die in unterschiedlichen Winkeln verbunden sind. Die fraktale Dimension einer Kurve kann intuitiv erklärt werden, indem man sich eine fraktale Linie als ein Objekt vorstellt, das zu detailliert ist, um eindimensional zu sein, aber zu einfach, um zweidimensional zu sein. Daher könnte seine Dimension am besten nicht durch ihre übliche topologische Dimension von 1 beschrieben werden, sondern durch ihre fraktale Dimension, die oft eine Zahl zwischen eins und zwei ist; bei der Koch-Schneeflocke sind es etwa 1,262.
Einführung
Eine fraktale Dimension ist ein Index zur Charakterisierung fraktaler Muster oder Mengen durch Quantifizierung ihrer Komplexität als Verhältnis der Detailänderung zur Maßstabsänderung. Verschiedene Arten von fraktalen Dimensionen können theoretisch und empirisch gemessen werden ( siehe Abb. 2 ). Fraktale Dimensionen werden verwendet, um ein breites Spektrum von Objekten zu charakterisieren, das von abstrakten bis hin zu praktischen Phänomenen reicht, darunter Turbulenzen, Flussnetze, urbanes Wachstum, menschliche Physiologie, Medizin und Markttrends. Die grundlegende Idee der gebrochenen oder fraktalen Dimensionen hat eine lange Geschichte in der Mathematik, die bis ins 17. Jahrhundert zurückverfolgt werden kann, aber die Begriffe fraktale und fraktale Dimension wurden 1975 von dem Mathematiker Benoit Mandelbrot geprägt.
Fraktale Dimensionen wurden zuerst als Index verwendet, der komplizierte geometrische Formen charakterisiert, bei denen die Details wichtiger schienen als das grobe Bild. Bei Mengen, die gewöhnliche geometrische Formen beschreiben, entspricht die theoretische fraktale Dimension der vertrauten euklidischen oder topologischen Dimension der Menge . Somit ist es 0 für Mengen, die Punkte beschreiben (0-dimensionale Mengen); 1 für Sätze, die Linien beschreiben (eindimensionale Sätze nur mit Länge); 2 für Sätze, die Oberflächen beschreiben (2-dimensionale Sätze mit Länge und Breite); und 3 für Mengen, die Volumina beschreiben (3-dimensionale Mengen mit Länge, Breite und Höhe). Dies ändert sich jedoch für fraktale Sets. Wenn die theoretische fraktale Dimension einer Menge ihre topologische Dimension überschreitet, wird davon ausgegangen, dass die Menge fraktale Geometrie hat.
Im Gegensatz zu topologischen Dimensionen kann der fraktale Index nicht ganzzahlige Werte annehmen , was darauf hinweist, dass eine Menge ihren Raum qualitativ und quantitativ anders ausfüllt als eine gewöhnliche geometrische Menge. Zum Beispiel verhält sich eine Kurve mit einer fraktalen Dimension sehr nahe 1, sagen wir 1,10, ziemlich wie eine gewöhnliche Linie, aber eine Kurve mit einer fraktalen Dimension von 1,9 windet sich fast wie eine Fläche gewunden durch den Raum. In ähnlicher Weise füllt eine Fläche mit einer fraktalen Dimension von 2,1 den Raum sehr ähnlich wie eine gewöhnliche Oberfläche, aber eine mit einer fraktalen Dimension von 2,9 faltet sich und füllt den Raum fast wie ein Volumen. Dieser allgemeine Zusammenhang ist in den beiden Bildern fraktaler Kurven in Abb. 2 und Abb. 3 zu erkennen – die 32-Segment-Kontur in Abb. 2, gewunden und raumfüllend, hat eine fraktale Dimension von 1,67, verglichen mit der deutlich weniger komplexen Koch-Kurve in Abb. 3, die eine fraktale Dimension von 1,26 hat.
Die Beziehung einer zunehmenden fraktalen Dimension zur Raumfüllung könnte so verstanden werden, dass fraktale Dimensionen die Dichte messen, aber dem ist nicht so; die beiden sind nicht streng korreliert. Stattdessen misst eine fraktale Dimension Komplexität, ein Konzept, das sich auf bestimmte Schlüsselmerkmale von Fraktalen bezieht: Selbstähnlichkeit und Detail oder Unregelmäßigkeit . Diese Merkmale sind in den beiden Beispielen fraktaler Kurven offensichtlich. Beides sind Kurven mit der topologischen Dimension 1, so dass man hoffen könnte, ihre Länge und Ableitung auf die gleiche Weise wie bei gewöhnlichen Kurven messen zu können. Aber wir können keines dieser Dinge tun, weil fraktale Kurven eine Komplexität in Form von Selbstähnlichkeit und Details aufweisen, die gewöhnlichen Kurven fehlen. Die Selbstähnlichkeit liegt in der unendlichen Skalierung und das Detail in den definierenden Elementen jeder Menge. Die Länge zwischen zwei beliebigen Punkten auf diesen Kurven ist unendlich, egal wie nah die beiden Punkte beieinander liegen, was bedeutet, dass es unmöglich ist, die Länge einer solchen Kurve durch Aufteilen der Kurve in viele kleine Segmente anzunähern. Jedes kleinere Stück besteht aus unendlich vielen skalierten Segmenten, die genau wie die erste Iteration aussehen. Dies sind nicht korrigierbare Kurven , d. h. sie können nicht gemessen werden, indem sie in viele Segmente unterteilt werden, die sich ihren jeweiligen Längen annähern. Sie können nicht sinnvoll charakterisiert werden, indem man ihre Längen und Ableitungen findet. Ihre fraktalen Dimensionen lassen sich jedoch bestimmen, was zeigt, dass beide den Raum mehr ausfüllen als gewöhnliche Linien, aber weniger als Flächen, und lassen sich diesbezüglich vergleichen.
Die beiden oben beschriebenen fraktalen Kurven zeigen eine Art von Selbstähnlichkeit, die mit einer sich wiederholenden Detaileinheit, die leicht visualisiert werden kann, exakt ist. Diese Art von Struktur kann auf andere Räume ausgedehnt werden (zB hat ein Fraktal , das die Koch-Kurve in den 3-d-Raum verlängert, einen theoretischen D=2,5849). Allerdings ist solch eine sauber abzählbare Komplexität nur ein Beispiel für die Selbstähnlichkeit und die Details, die in Fraktalen vorhanden sind. Das Beispiel der Küstenlinie von Großbritannien zum Beispiel zeigt die Selbstähnlichkeit eines ungefähren Musters mit ungefährer Skalierung. Insgesamt zeigen Fraktale verschiedene Arten und Grade von Selbstähnlichkeit und Details, die möglicherweise nicht leicht visualisiert werden können. Dazu gehören als Beispiele seltsame Attraktoren, für die die Details im Wesentlichen beschrieben wurden, sich stapelnde glatte Teile, das Julia-Set , das als komplexe Wirbel um Wirbel zu sehen ist, und Herzfrequenzen, die Muster von sich wiederholenden groben Spitzen sind und zeitlich skaliert. Fraktale Komplexität lässt sich ohne komplexe analytische Methoden möglicherweise nicht immer in leicht zu erfassende Detail- und Maßstabseinheiten auflösen, aber sie ist immer noch durch fraktale Dimensionen quantifizierbar.
Geschichte
Die Begriffe fraktale Dimension und Fraktal wurden 1975 von Mandelbrot geprägt, etwa ein Jahrzehnt nachdem er seine Arbeit über die Selbstähnlichkeit an der britischen Küste veröffentlicht hatte. Verschiedene historische Autoritäten schreiben ihm zu, dass er auch Jahrhunderte komplizierter theoretischer Mathematik und Ingenieurarbeit synthetisiert und auf neue Weise angewendet hat, um komplexe Geometrien zu studieren, die sich einer Beschreibung in üblichen linearen Begriffen entzogen. Die frühesten Wurzeln dessen, was Mandelbrot als fraktale Dimension synthetisierte, wurden eindeutig auf Schriften über nicht differenzierbare, unendlich selbstähnliche Funktionen zurückgeführt, die für die mathematische Definition von Fraktalen wichtig sind, um die Zeit, als die Infinitesimalrechnung Mitte des 16. Jahrhunderts entdeckt wurde. Es gab eine Flaute in den veröffentlichten Arbeiten über solche Funktionen für eine Zeit danach, dann einer Erneuerung in den späten 1800er Jahren mit der Veröffentlichung von mathematischen Funktionen und Sätzen beginnen , die heute genannt kanonische Fraktale (wie die gleichnamigen Werke sind von Koch , Sierpiński , und Julia ), wurden aber zum Zeitpunkt ihrer Formulierung oft als antithetische mathematische "Monster" angesehen. Diese Arbeiten wurden von dem vielleicht wichtigsten Punkt in der Entwicklung des Konzepts einer fraktalen Dimension durch die Arbeit von Hausdorff in den frühen 1900er Jahren begleitet, der eine "fraktionelle" Dimension definierte , die nach ihm benannt wurde und häufig bei der Definition herangezogen wird moderne Fraktale .
Weitere Informationen finden Sie unter Fraktalverlauf.
Rolle der Skalierung
Das Konzept einer fraktalen Dimension beruht auf unkonventionellen Ansichten von Skalierung und Dimension. Wie Abb. 4 zeigt, schreiben traditionelle Vorstellungen von Geometrie vor, dass Formen vorhersagbar gemäß intuitiven und vertrauten Vorstellungen über den Raum, in dem sie enthalten sind, skalieren, so dass zum Beispiel das Messen einer Linie zuerst mit einem Messstab und dann mit einem weiteren 1/3 ihrer Größe , ergibt für das zweite Stäbchen eine Gesamtlänge von dreimal so vielen Stäbchen wie beim ersten. Dies gilt auch in 2 Dimensionen. Misst man die Fläche eines Quadrats und misst dann noch einmal mit einer Box der Seitenlänge 1/3 der Größe des Originals, findet man 9 mal so viele Quadrate wie beim ersten Maß. Mathematisch lassen sich solche bekannten Skalierungsbeziehungen durch die allgemeine Skalierungsregel in Gleichung 1 definieren, wobei die Variable für die Anzahl der Sticks, für den Skalierungsfaktor und für die fraktale Dimension steht:
-
( 1 )
Diese Skalierungsregel verkörpert konventionelle Regeln über Geometrie und Bemaßung – für Linien quantifiziert sie das, weil wann wie im obigen Beispiel, und für Quadrate, weil wann
Die gleiche Regel gilt für fraktale Geometrie, jedoch weniger intuitiv. Um es genauer auszuarbeiten, eine Fraktallinie, die zunächst mit einer Länge gemessen wird, wenn sie mit einem neuen Stab gemessen wird, der um 1/3 des alten skaliert wird, ist möglicherweise nicht die erwartete 3-, sondern 4-mal so viele skalierte Stäbchen lang. In diesem Fall können Sie den Zeitpunkt und den Wert von durch Umordnen von Gleichung 1 ermitteln:
-
( 2 )
Das heißt, für ein Fraktal, das durch beschrieben wird, wenn eine nicht ganzzahlige Dimension, die darauf hindeutet, dass das Fraktal eine Dimension hat, die nicht gleich dem Raum ist, in dem es sich befindet. Die in diesem Beispiel verwendete Skalierung ist dieselbe Skalierung der Koch-Kurve und der Schneeflocke . Bemerkenswert ist, dass die gezeigten Bilder keine echten Fraktale sind, da die Skalierung, die durch den Wert von beschrieben wird, aus dem einfachen Grund nicht unendlich fortgesetzt werden kann, weil die Bilder nur bis zu ihrer kleinsten Komponente, einem Pixel, existieren. Das theoretische Muster, das die digitalen Bilder darstellen, hat jedoch keine diskreten pixelartigen Stücke, sondern besteht aus einer unendlichen Anzahl von unendlich skalierten Segmenten, die unter verschiedenen Winkeln verbunden sind, und hat tatsächlich eine fraktale Dimension von 1,2619.
D ist kein eindeutiger Deskriptor
Wie bei Dimensionen, die für Linien, Quadrate und Würfel bestimmt sind, sind fraktale Dimensionen allgemeine Deskriptoren, die Muster nicht eindeutig definieren. Der oben diskutierte Wert von D für das Koch-Fraktal quantifiziert beispielsweise die inhärente Skalierung des Musters, beschreibt aber weder eindeutig noch liefert er genügend Informationen, um es zu rekonstruieren. Es könnten viele fraktale Strukturen oder Muster konstruiert werden, die die gleiche Skalierungsbeziehung aufweisen, sich jedoch dramatisch von der Koch-Kurve unterscheiden, wie in 6 dargestellt .
Beispiele dafür, wie fraktale Muster konstruiert werden können, finden Sie unter Fractal , Sierpinski-Dreieck , Mandelbrot-Menge , Diffusion limited Aggregation , L-System .
Fraktale Oberflächenstrukturen
Das Konzept der Fraktalität wird zunehmend im Bereich der Oberflächenwissenschaften angewendet und schlägt eine Brücke zwischen Oberflächeneigenschaften und funktionalen Eigenschaften. Zahlreiche Oberflächendeskriptoren werden verwendet, um die Struktur von nominell flachen Oberflächen zu interpretieren, die oft selbstaffine Merkmale über mehrere Längenskalen aufweisen. Die mittlere Oberflächenrauheit , gewöhnlich als R A bezeichnet , ist der am häufigsten verwendete Oberflächendeskriptor, jedoch werden zahlreiche andere Deskriptoren, einschließlich der mittleren Steigung, des quadratischen Mittels der quadratischen Rauheit ( RMS ) und andere regelmäßig verwendet. Es hat sich jedoch herausgestellt, dass viele physikalische Oberflächenphänomene mit Bezug auf solche Deskriptoren nicht ohne weiteres interpretiert werden können, daher wird die fraktale Dimension zunehmend verwendet, um Korrelationen zwischen der Oberflächenstruktur in Bezug auf Skalierungsverhalten und Leistung herzustellen. Die fraktalen Dimensionen von Oberflächen wurden genutzt, um Phänomene in den Bereichen Kontaktmechanik , Reibungsverhalten , elektrischer Übergangswiderstand und transparente leitfähige Oxide zu erklären und besser zu verstehen .
Beispiele
Das in diesem Artikel beschriebene Konzept der fraktalen Dimension ist eine grundlegende Ansicht eines komplizierten Konstrukts. Die hier besprochenen Beispiele wurden aus Gründen der Übersichtlichkeit gewählt, und die Skalierungseinheit und die Verhältnisse waren im Voraus bekannt. In der Praxis können fraktale Dimensionen jedoch unter Verwendung von Techniken bestimmt werden, die die Skalierung und Details aus Grenzwerten annähern , die aus Regressionslinien über log vs. log- Plots von Größe vs. Einige formale mathematische Definitionen verschiedener Arten von fraktalen Dimensionen sind unten aufgeführt. Obwohl für einige klassische Fraktale alle diese Dimensionen zusammenfallen, sind sie im Allgemeinen nicht äquivalent:
- Box-Counting-Dimension : D wird als Exponent eines Potenzgesetzes geschätzt .
- Informationsdimension : D berücksichtigt, wie die durchschnittliche Information, die benötigt wird, um eine besetzte Box zu identifizieren, mit der Boxgröße skaliert; ist eine Wahrscheinlichkeit.
- Korrelationsdimension : D basiert auf der Anzahl von Punkten, die verwendet werden, um eine Darstellung eines Fraktales zu erzeugen, und g ε , der Anzahl von Paaren von Punkten, die näher als beieinander liegen.
- Verallgemeinerte oder Rényi-Dimensionen: Die Box-Zähl-, Informations- und Korrelationsdimensionen können als Spezialfälle eines kontinuierlichen Spektrums verallgemeinerter Dimensionen der Ordnung α betrachtet werden, definiert durch:
- Lyapunov-Dimension
- Multifraktale Dimensionen: Ein Sonderfall von Rényi-Dimensionen, bei denen das Skalierungsverhalten in verschiedenen Teilen des Musters variiert.
- Unsicherheitsexponent
- Hausdorff-Dimension : Für jede Teilmenge eines metrischen Raums und ist der d- dimensionale Hausdorff-Inhalt von S definiert durch
- Die Hausdorff-Dimension von S ist definiert durch
Schätzung anhand realer Daten
Viele Phänomene der realen Welt weisen begrenzte oder statistische fraktale Eigenschaften und fraktale Dimensionen auf, die aus abgetasteten Daten unter Verwendung von computergestützten fraktalen Analysetechniken geschätzt wurden . In der Praxis werden Messungen der fraktalen Dimension von verschiedenen methodischen Problemen beeinflusst und sind empfindlich gegenüber numerischem oder experimentellem Rauschen und Einschränkungen der Datenmenge. Nichtsdestotrotz wächst das Gebiet schnell, da geschätzte fraktale Dimensionen für statistisch selbstähnliche Phänomene viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen haben können, einschließlich Astronomie, Akustik, Geologie und Geowissenschaften, diagnostische Bildgebung, Ökologie, elektrochemische Prozesse, Bildanalyse, Biologie und Medizin, Neurowissenschaften, Netzwerkanalyse , Physiologie, Physik und Riemann-Zeta-Nullen. Es wurde auch gezeigt, dass Schätzungen der fraktalen Dimension mit der Lempel-Ziv-Komplexität in realen Datensätzen aus Psychoakustik und Neurowissenschaften korrelieren .
Eine Alternative zu einer direkten Messung ist ein mathematisches Modell, das der Bildung eines realen fraktalen Objekts ähnelt. In diesem Fall kann eine Validierung auch durchgeführt werden, indem andere als durch das Modell implizierte fraktale Eigenschaften mit gemessenen Daten verglichen werden. In der kolloidalen Physik entstehen Systeme, die aus Teilchen mit unterschiedlichen fraktalen Dimensionen bestehen. Um diese Systeme zu beschreiben, ist es zweckmäßig, von einer Verteilung fraktaler Dimensionen und schließlich von einer zeitlichen Entwicklung der letzteren zu sprechen : ein Prozess, der von einem komplexen Zusammenspiel zwischen Aggregation und Koaleszenz angetrieben wird .
Fraktale Dimensionen von Netzwerken und räumlichen Netzwerken
Es hat sich herausgestellt, dass viele Netzwerke der realen Welt selbstähnlich sind und durch eine fraktale Dimension charakterisiert werden können. Darüber hinaus können in den Raum eingebettete Netzwerkmodelle eine kontinuierliche fraktale Dimension aufweisen, die von der Verteilung der Fernverbindungen abhängt.
Siehe auch
- Liste der Fraktale nach Hausdorff-Dimension – Wikipedia-Listenartikel
- Lakunarität – Begriff in Geometrie und Fraktalanalyse
- Fraktales Derivat – Verallgemeinerung des Derivats zu Fraktalen
Anmerkungen
Verweise
Weiterlesen
- Mandelbrot, Benoit B. ; Hudson, Richard L. (2010). Das (Fehl-)Verhalten von Märkten: Eine fraktale Sicht auf Risiko, Ruin und Belohnung . Profil Bücher. ISBN 978-1-84765-155-6.
Externe Links
- TruSofts Benoit , ein Softwareprodukt zur Fraktalanalyse, berechnet fraktale Dimensionen und Hurst-Exponenten.
- Ein Java-Applet zur Berechnung fraktaler Dimensionen
- Einführung in die Fraktalanalyse
- Bowley, Roger (2009). "Fraktale Dimension" . Sechzig Symbole . Brady Haran für die University of Nottingham .
- „ Fraktale sind typischerweise nicht selbstähnlich“ . 3Blau1Braun .