Funktionsanalyse - Functional analysis

Eine der möglichen Schwingungsmoden eines idealisierten runden Trommelfells . Diese Moden sind Eigenfunktionen eines linearen Operators auf einem Funktionsraum, eine gängige Konstruktion in der Funktionalanalysis.

Die Funktionalanalysis ist ein Zweig der mathematischen Analysis , dessen Kern das Studium von Vektorräumen bildet, die mit einer Art limitbezogener Struktur ausgestattet sind (zB inneres Produkt , Norm , Topologie usw.) und die auf diesen Räumen definierten linearen Funktionen und diese Strukturen in angemessenem Sinne zu respektieren. Die historischen Wurzeln der Funktionsanalyse liegen in der Untersuchung von Funktionsräumen und der Formulierung von Eigenschaften von Funktionstransformationen wie der Fourier-Transformation als Transformationen, die stetige , unitäre usw. Operatoren zwischen Funktionsräumen definieren. Dieser Gesichtspunkt erwies sich als besonders nützlich für das Studium von Differential- und Integralgleichungen .

Die Verwendung des Wortes funktional als Substantiv geht auf die Variationsrechnung zurück und impliziert eine Funktion, deren Argument eine Funktion ist . Der Begriff wurde erstmals in Hadamards Buch von 1910 zu diesem Thema verwendet. Der allgemeine Begriff eines Funktionals war jedoch bereits 1887 von dem italienischen Mathematiker und Physiker Vito Volterra eingeführt worden . Die Theorie der nichtlinearen Funktionale wurde von Hadamard-Studenten, insbesondere Fréchet und Lévy, weitergeführt . Hadamard gründete auch die moderne Schule der linearen Funktionsanalyse weiterentwickelt von Riesz- und der Gruppe der polnischen Mathematiker um Stefan Banach .

In modernen Einführungstexten in die Funktionsanalyse wird das Thema als das Studium von Vektorräumen verstanden, die mit einer Topologie ausgestattet sind, insbesondere unendlichdimensionalen Räumen . Im Gegensatz dazu befasst sich die lineare Algebra hauptsächlich mit endlichdimensionalen Räumen und verwendet keine Topologie. Ein wichtiger Teil der Funktionalanalyse ist die Erweiterung der Maß- , Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie auf unendlichdimensionale Räume, auch als unendlichdimensionale Analyse bekannt .

Normierte Vektorräume

Die grundlegende und historisch erste Klasse von Räumen, die in der Funktionalanalysis untersucht werden, sind vollständig normierte Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen . Solche Räume werden Banachräume genannt . Ein wichtiges Beispiel ist ein Hilbertraum , bei dem die Norm aus einem inneren Produkt entsteht. Diese Räume sind in vielen Bereichen von grundlegender Bedeutung, einschließlich der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik , des maschinellen Lernens , der partiellen Differentialgleichungen und der Fourier-Analyse .

Allgemeiner gesagt umfasst die Funktionsanalyse das Studium von Fréchet-Räumen und anderen topologischen Vektorräumen, die nicht mit einer Norm ausgestattet sind.

Ein wichtiges Untersuchungsobjekt in der Funktionalanalysis sind die stetigen linearen Operatoren, die auf Banach- und Hilberträumen definiert sind. Diese führen natürlich zur Definition von C*-Algebren und anderen Operatoralgebren .

Hilbert-Räume

Hilberträume lassen sich vollständig klassifizieren: Für jede Kardinalität der Orthonormalbasis gibt es einen eindeutigen Hilbertraum bis auf Isomorphie . Endlich-dimensionale Hilbert-Räume sind in der linearen Algebra vollständig verstanden , und unendlich-dimensionale trennbare Hilbert-Räume sind zu isomorph . Da die Trennbarkeit für Anwendungen wichtig ist, beschäftigt sich die Funktionsanalyse von Hilberträumen daher meist mit diesem Raum. Eines der offenen Probleme in der Funktionalanalysis ist der Beweis, dass jeder beschränkte lineare Operator auf einem Hilbertraum einen echten invarianten Unterraum hat . Viele Spezialfälle dieses invarianten Unterraumproblems wurden bereits bewiesen.

Banach-Räume

Allgemeine Banachräume sind komplizierter als Hilberträume und lassen sich nicht so einfach klassifizieren. Insbesondere fehlt vielen Banachräumen ein Begriff analog zu einer Orthonormalbasis .

Beispiele für Banach-Räume sind -Räume für jede reelle Zahl . Gegeben auch ein Maß auf Menge , dann hat , manchmal auch mit oder bezeichnet , als Vektoren Äquivalenzklassen von messbaren Funktionen, deren Absolutwert die -te Potenz endliches Integral hat; also Funktionen, für die man hat

Ist das Zählmaß , dann kann das Integral durch eine Summe ersetzt werden. Das heißt, wir benötigen

Dann ist es nicht notwendig, sich mit Äquivalenzklassen zu befassen, und der Raum wird mit , einfacher ausgedrückt , wenn die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen bezeichnet wird .

In Banach-Räumen umfasst ein großer Teil der Studie den dualen Raum : den Raum aller stetigen linearen Abbildungen vom Raum in sein zugrunde liegendes Feld, sogenannte Funktionale. Ein Banachraum kann kanonisch mit einem Unterraum seines Biduals identifiziert werden, der das Dual seines Dualraums ist. Die entsprechende Abbildung ist eine Isometrie, aber im Allgemeinen nicht auf. Ein allgemeiner Banachraum und sein Bidual müssen entgegen der endlichdimensionalen Situation nicht einmal isometrisch isomorph sein. Dies wird im Dual-Space-Artikel erklärt.

Außerdem kann der Begriff der Ableitung auf beliebige Funktionen zwischen Banachräumen erweitert werden. Siehe zum Beispiel den Artikel über Fréchet-Derivate .

Lineare Funktionsanalyse

Wichtige und grundlegende Ergebnisse

Es gibt vier Hauptsätze, die manchmal als die vier Säulen der Funktionsanalyse bezeichnet werden. Dies sind das Hahn-Banach-Theorem , das Open-Mapping-Theorem , das Closed-Graph-Theorem und das Uniform-Boundedness-Prinzip, das auch als Banach-Steinhaus-Theorem bekannt ist. Wichtige Ergebnisse der Funktionsanalyse sind:

Einheitliches Beschränktheitsprinzip

Das Prinzip der einheitlichen Beschränktheit oder der Banach-Steinhaus-Satz ist eines der grundlegenden Ergebnisse der Funktionalanalysis. Zusammen mit dem Hahn-Banach-Theorem und dem Open-Mapping-Theorem gilt es als einer der Eckpfeiler des Gebiets. In seiner Grundform behauptet es, dass für eine Familie stetiger linearer Operatoren (und damit beschränkter Operatoren), deren Gebiet ein Banach-Raum ist , punktweise Beschränktheit äquivalent zu gleichförmiger Beschränktheit in Operatornorm ist.

Der Satz wurde erstmals 1927 von Stefan Banach und Hugo Steinhaus veröffentlicht, aber auch unabhängig von Hans Hahn bewiesen .

Theorem (Prinzip der einheitlichen Beschränktheit). Sei X ein Banachraum und Y ein normierter Vektorraum . Angenommen, F ist eine Sammlung stetiger linearer Operatoren von X nach Y . Wenn für alle x in X hat man

dann

Spektralsatz

Es gibt viele Theoreme, die als Spektraltheorem bekannt sind , aber insbesondere einer hat viele Anwendungen in der Funktionalanalyse.

Satz: Sei A ein beschränkter selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum H . Dann gibt es einen Maßraum ( X , Σ, μ) und eine reellwertige im Wesentlichen beschränkte messbare Funktion f auf X und einen unitären Operator U : HL 2 μ ( X ) mit

wobei T der Multiplikationsoperator ist :

und

Dies ist der Beginn des riesigen Forschungsgebiets der Funktionsanalyse, das als Operatortheorie bezeichnet wird ; siehe auch das Spektralmaß .

Es gibt auch einen analogen Spektralsatz für beschränkte Normaloperatoren auf Hilberträumen. Der einzige Unterschied in der Schlussfolgerung besteht darin, dass jetzt komplexwertig sein kann.

Hahn-Banach-Theorem

Der Satz von Hahn-Banach ist ein zentrales Werkzeug der Funktionalanalysis. Es erlaubt die Erweiterung von beschränkten linearen Funktionalen, die auf einem Unterraum eines Vektorraums definiert sind, auf den gesamten Raum, und es zeigt auch, dass auf jedem normierten Vektorraum "genug" stetige lineare Funktionale definiert sind , um das Studium des dualen Raums "interessant" zu machen ".

Satz von Hahn-Banach: Wenn p  : VR eine sublineare Funktion ist und φ  : UR ein lineares Funktional auf einem linearen Unterraum UV ist, der von p auf U dominiert wird ; das ist,

dann existiert eine lineare Erweiterung ψ  : VR von φ auf den ganzen Raum V ; das heißt, es gibt ein lineares Funktional ψ mit

Abbildungstheorem öffnen

Der offene Abbildungssatz , der auch als Banach-Schauder Theorem bekannt (benannt nach Stefan Banach und Juliusz Schauder ), ist ein grundlegendes Ergebnis , das heißt , dass , wenn ein kontinuierlicher linearer Operator zwischen Banachräumen ist surjektiv dann ist es eine offene Karte . Etwas präziser,:

Öffnen Sie das Abbildungstheorem. Wenn X und Y Banachräume sind und A  : XY ein surjektiv stetiger linearer Operator ist, dann ist A eine offene Abbildung (dh wenn U eine offene Menge in X ist , dann ist A ( U ) offen in Y ).

Der Beweis verwendet den Baire-Kategoriensatz , und die Vollständigkeit von X und Y ist für den Satz wesentlich. Die Aussage des Theorems ist nicht mehr wahr, wenn nur einer der Räume als normierter Raum angenommen wird , sondern wahr, wenn X und Y als Fréchet-Räume angenommen werden .

Geschlossener Graphensatz

Der geschlossene Graph Theorem besagt , die folgende: Wenn X a ist topologischer Raum und Y ist ein kompakter Hausdorff - Raum , dann ist die grafische Darstellung einer linearen Karte T von X zu Y geschlossen ist , wenn und nur dann , wenn T ist kontinuierliche .

Andere Themen

Grundlagen mathematischer Überlegungen

Die meisten Räume, die in der Funktionsanalyse betrachtet werden, haben eine unendliche Dimension. Um die Existenz einer Vektorraumbasis für solche Räume zu zeigen, kann das Lemma von Zorn erforderlich sein . In der Funktionsanalyse ist jedoch meist ein etwas anderes Konzept, die Schauder-Basis , relevanter. Viele sehr wichtige Sätze erfordern den Hahn-Banach-Satz , der normalerweise mit dem Auswahlaxiom bewiesen wird , obwohl der streng schwächere Boolesche Primidealsatz ausreicht. Der Baire-Kategoriensatz , der zum Beweis vieler wichtiger Sätze benötigt wird, erfordert auch eine Form des Auswahlaxioms.

Standpunkte

Die Funktionsanalyse in ihrer jetzigen Form umfasst folgende Tendenzen:

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

  • Aliprantis, CD, Border, KC: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , 3. Aufl., Springer 2007, ISBN  978-3-540-32696-0 . Online- Doi : 10.1007/3-540-29587-9 (im Abonnement)
  • Bachman, G., Narici, L.: Functional analysis , Academic Press, 1966. (Nachdruck Dover Publications)
  • Banach S. Theorie der linearen Operationen . Band 38, Nordholländische Mathematische Bibliothek, 1987, ISBN  0-444-70184-2
  • Brezis, H. : Analyse Fonctionnelle , Dunod ISBN  978-2-10-004314-9 oder ISBN  978-2-10-049336-4
  • Conway, JB : A Course in Functional Analysis , 2. Auflage, Springer-Verlag, 1994, ISBN  0-387-97245-5
  • Dunford, N. und Schwartz, JT : Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons und weitere 3 Bände, enthalten Visualisierungsdiagramme
  • Edwards, RE: Funktionale Analyse, Theorie und Anwendungen , Hold, Rinehart und Winston, 1965.
  • Eidelman, Yuli, Vitali Milman und Antonis Tsolomitis: Funktionsanalyse: Eine Einführung , American Mathematical Society, 2004.
  • Friedman, A .: Foundations of Modern Analysis , Dover Publications, Taschenbuchausgabe, 21. Juli 2010
  • Giles, JR: Einführung in die Analyse normierter linearer Räume , Cambridge University Press, 2000
  • Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999.
  • Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Applications of Functional Analysis and Operator Theory , 2. Auflage, Elsevier Science, 2005, ISBN  0-444-51790-1
  • Kantorovitz, S., Einführung in die moderne Analyse , Oxford University Press, 2003, 2. Aufl. 2006.
  • Kolmogorov, AN und Fomin, SV : Elemente der Funktionstheorie und Funktionsanalyse , Dover Publications, 1999
  • Kreyszig, E .: Einführung in die Funktionsanalyse mit Anwendungen , Wiley, 1989.
  • Lax, P .: Funktionsanalyse , Wiley-Interscience, 2002, ISBN  0-471-55604-1
  • Lebedev, LP und Vorovich, II: Funktionsanalyse in der Mechanik , Springer-Verlag, 2002
  • Michel, Anthony N. und Charles J. Herget: Applied Algebra and Functional Analysis , Dover, 1993.
  • Pietsch, Albrecht: History of Banach Spaces and Linear Operators , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN  978-0-8176-4367-6
  • Reed, M. , Simon, B .: "Funktionsanalyse", Academic Press 1980.
  • Riesz, F. und Sz.-Nagy, B.: Functional Analysis , Dover Publications, 1990
  • Rudin, W .: Funktionsanalyse , McGraw-Hill Science, 1991
  • Saxe, Karen: Beginn der Funktionsanalyse , Springer, 2001
  • Schechter, M.: Prinzipien der Funktionsanalyse , AMS, 2. Auflage, 2001
  • Shilov, Georgi E.: Elementare Funktionsanalyse , Dover, 1996.
  • Sobolev, SL : Anwendungen der Funktionsanalyse in der mathematischen Physik , AMS, 1963
  • Vogt, D., Meise, R.: Einführung in die Funktionsanalyse , Oxford University Press, 1997.
  • Yosida, K. : Funktionale Analysis , Springer-Verlag, 6. Auflage, 1980

Externe Links