Grundlegende Gruppe - Fundamental group

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie ist die Fundamentalgruppe eines topologischen Raums die Gruppe der Äquivalenzklassen unter Homotopie der im Raum enthaltenen Schleifen . Es zeichnet Informationen über die Grundform oder Löcher des topologischen Raums auf . Die Fundamentalgruppe ist die erste und einfachste Homotopiegruppe . Die Fundamentalgruppe ist eine Homotopieinvariante – topologische Räume, die homotopieäquivalent sind (oder der stärkere Fall von homöomorph ) haben isomorph fundamentale Gruppen.

Intuition

Beginnen Sie mit einem Raum (z. B. einer Fläche) und einem Punkt darin und allen Schleifen, die an diesem Punkt beginnen und enden – Pfade, die an diesem Punkt beginnen, wandern und schließlich zum Ausgangspunkt zurückkehren. Zwei Schleifen können auf offensichtliche Weise kombiniert werden: Fahren Sie entlang der ersten Schleife, dann entlang der zweiten. Zwei Schlaufen gelten als gleichwertig, wenn eine in die andere verformt werden kann, ohne zu brechen. Die Menge all dieser Schleifen mit dieser Kombinationsmethode und dieser Äquivalenz zwischen ihnen ist die fundamentale Gruppe für diesen speziellen Raum.

Geschichte

Henri Poincaré definierte die Fundamentalgruppe 1895 in seinem Aufsatz „ Analysis situs “. Das Konzept entstand in der Theorie der Riemannschen Oberflächen , in den Arbeiten von Bernhard Riemann , Poincaré und Felix Klein . Es beschreibt die Monodromie Eigenschaften komplexwertige Funktionen sowie eine vollständige topologische Bereitstellen Klassifizierung von geschlossenen Flächen .

Definition

In diesem Artikel ist X ein topologischer Raum. Ein typisches Beispiel ist eine Oberfläche wie die rechts abgebildete. Außerdem ist ein Punkt in X der Basispunkt . (Wie weiter unten erklärt wird, ist ihre Rolle eher hilfsweise.) Die Idee der Definition der Homotopiegruppe besteht darin, zu messen, wie viele (grob gesprochen) Kurven auf X ineinander verformt werden können. Die genaue Definition hängt vom Begriff der Homotopie von Schleifen ab, der zuerst erläutert wird. ${\displaystyle x_{0}}$

Homotopie von Schleifen

Bei einem gegebenen topologischen Raum X ist eine Schleife basierend auf${\displaystyle x_{0}}$ auf eine stetige Funktion (auch bekannt als stetige Abbildung ) definiert.

${\displaystyle \gamma\colon [0,1]\to X}$

so dass der Startpunkt und der Endpunkt beide gleich sind . ${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle\gamma (1)}$${\displaystyle x_{0}}$

Eine Homotopie ist eine kontinuierliche Interpolation zwischen zwei Schleifen. Genauer gesagt ist eine Homotopie zwischen zwei Schleifen (basierend auf demselben Punkt ) eine kontinuierliche Abbildung ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

so dass

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$für alle dies ist der Startpunkt der Homotopie für alle t (was oft als Zeitparameter angesehen wird).${\displaystyle t\in [0,1],}$${\displaystyle x_{0}}$
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$für alle das heißt, ähnlich bleibt der Endpunkt für alle t .${\displaystyle t\in [0,1],}$${\displaystyle x_{0}}$
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),h(r,1)=\gamma '(r)}$für alle .${\displaystyle r\in [0,1]}$

Wenn eine solche homotopy h vorhanden ist , und wird gesagt, dass homotope . Die Relation " ist homotop zu " ist eine Äquivalenzrelation, so dass die Menge der Äquivalenzklassen betrachtet werden kann: ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle \gamma'}$${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle \gamma'}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{alle Schleifen}}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{ Homotopie}}}$.

Diese Menge (mit der unten beschriebenen Gruppenstruktur) wird als Fundamentalgruppe des topologischen Raums X am Basispunkt bezeichnet . Der Zweck der Betrachtung der Äquivalenzklassen von Schleifen bis zur Homotopie im Gegensatz zur Menge aller Schleifen (dem sogenannten Schleifenraum von X ) besteht darin, dass letztere, obwohl sie für verschiedene Zwecke nützlich sind, ein ziemlich großes und unhandliches Objekt ist . Im Gegensatz dazu ist der obige Quotient in vielen Fällen überschaubarer und berechenbarer. ${\displaystyle x_{0}}$

Gruppenstruktur

Nach der obigen Definition ist nur eine Menge. Sie wird zu einer Gruppe (und verdient daher den Namen fundamentale Gruppe ) unter Verwendung der Verkettung von Schleifen. Genauer gesagt, bei zwei Schleifen wird ihr Produkt als Schleife definiert ${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \gamma_{0},\gamma_{1}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\gamma_{0}\cdot \gamma_{1}\colon [0,1]&\to X\\(\gamma_{0}\cdot\gamma_{1 })(t)&={\begin{Fälle}\gamma_{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1 )&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{Fälle}}\end{ausgerichtet}}}$

Somit folgt die Schleife zuerst der Schleife mit "doppelter Geschwindigkeit" und dann folgt mit "zweifacher Geschwindigkeit". ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$

Das Produkt zweier Homotopieklassen von Schleifen und wird dann als definiert . Es kann gezeigt werden, dass dieses Produkt nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt und daher eine wohldefinierte Operation am Set ermöglicht . Dieser Vorgang wird zu einer Gruppe. Sein neutrales Element ist die konstante Schleife, die für alle Zeiten t bleibt . Die Umkehrung einer Schleife (Homotopieklasse von a) ist dieselbe Schleife, wird jedoch in die entgegengesetzte Richtung durchlaufen. Formeller, ${\displaystyle [\gamma_{0}]}$${\displaystyle [\gamma_{1}]}$${\displaystyle [\gamma_{0}\cdot\gamma_{1}]}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \gamma^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$.

Bei drei basierten Schleifen ist das Produkt ${\displaystyle \gamma_{0},\gamma_{1},\gamma_{2},}$

${\displaystyle (\gamma_{0}\cdot\gamma_{1})\cdot\gamma_{2}}$

ist die Verkettung dieser Schleifen, durchfahren und dann mit vierfacher Geschwindigkeit und dann mit doppelter Geschwindigkeit. Im Vergleich, ${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$

${\displaystyle \gamma_{0}\cdot (\gamma_{1}\cdot\gamma_{2})}$

fährt die gleichen Bahnen (in der gleichen Reihenfolge), aber mit doppelter Geschwindigkeit und mit vierfacher Geschwindigkeit. Aufgrund der unterschiedlichen Geschwindigkeiten sind die beiden Pfade also nicht identisch. Die Assoziativität Axiom ${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma_{1},\gamma_{2}}$

${\displaystyle [\gamma_{0}]\cdot \left([\gamma_{1}]\cdot [\gamma_{2}]\right)=\left([\gamma_{0}]\ cdot [\gamma_{1}]\right)\cdot [\gamma_{2}]}$

hängt daher entscheidend davon ab, dass Wege bis zur Homotopie betrachtet werden. Tatsächlich sind die beiden obigen Zusammensetzungen homotop, zum Beispiel zu der Schleife, die alle drei Schleifen mit dreifacher Geschwindigkeit durchquert . Die Menge der basierten Schleifen bis zur Homotopie, ausgestattet mit der obigen Operation, wird daher zu einer Gruppe. ${\displaystyle \gamma_{0},\gamma_{1},\gamma_{2}}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$

Abhängigkeit vom Basispunkt

Obwohl die grundlegende Gruppe im allgemeinen von der Wahl der Fußpunkt abhängt, stellt sich heraus , dass, bis Isomorphismus (tatsächlich sogar bis zu inneren Isomorphismus), macht diese Wahl keine Rolle, solange der Raum X ist wegzusammenhängend . Für pfadbezogene Räume schreiben daher viele Autoren anstelle von . ${\displaystyle \pi_{1}(X)}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$

Konkrete Beispiele

In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Beispiele für grundlegende Gruppen aufgeführt. Zunächst gibt es im euklidischen Raum ( ) oder jeder konvexen Teilmenge von nur eine Homotopieklasse von Schleifen, und die Fundamentalgruppe ist daher die triviale Gruppe mit einem Element. Allgemeiner gesagt hat jede Sterndomäne und noch allgemeiner jeder kontrahierbare Raum eine triviale Fundamentalgruppe. Somit unterscheidet die Fundamentalgruppe nicht zwischen solchen Räumen. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{n},}$

Die 2-Sphäre

Ein pfadbezogener Raum, dessen Fundamentalgruppe trivial ist, heißt einfach zusammenhängend . Zum Beispiel die rechts abgebildete 2-Sphäre und auch alle höherdimensionalen Sphären sind einfach miteinander verbunden. Die Figur veranschaulicht eine Homotopie, die eine bestimmte Schleife zu der konstanten Schleife zusammenzieht. Diese Idee kann auf alle Schleifen angepasst werden, so dass es einen Punkt gibt, der nicht im Bild von ist Da es jedoch Schleifen gibt, die ( zum Beispiel aus der Peano-Kurve konstruiert ) erfordert ein vollständiger Beweis eine sorgfältigere Analyse mit Werkzeugen von algebraische Topologie, wie das Seifert-van-Kampen-Theorem oder das zelluläre Approximationstheorem . ${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2} =1\rechts\}}$${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$${\displaystyle\gamma.}$${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$

Der Kreis

Der Kreis (auch bekannt als 1-Kugel)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

ist nicht einfach verbunden. Stattdessen besteht jede Homotopieklasse aus allen Schleifen, die sich eine bestimmte Anzahl von Malen um den Kreis winden (die je nach Windungsrichtung positiv oder negativ sein können). Das Produkt einer Schleife, die sich um m- mal windet, und einer anderen, die sich um n- mal windet, ist eine Schleife, die sich um einige Male windet . Daher ist die Fundamentalgruppe des Kreises isomorph zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen . Diese Tatsache kann genutzt werden, um den Brouwer-Fixpunktsatz und den Borsuk-Ulam-Satz in Dimension 2 zu beweisen . ${\displaystyle m+n}$${\displaystyle (\mathbb{Z},+),}$

Die Acht

Die Grundgruppe der Acht ist die freie Gruppe auf zwei Buchstaben. Die Idee, dies zu beweisen, ist wie folgt: Wählen Sie den Basispunkt als den Punkt, an dem sich die beiden Kreise treffen (im Bild rechts schwarz gepunktet), jede Schleife kann wie folgt zerlegt werden: ${\displaystyle\gamma}$

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

wobei a und b die beiden Schleifen sind, die sich wie abgebildet um jede Hälfte der Figur winden, und die Exponenten ganze Zahlen sind. Im Gegensatz zur Fundamentalgruppe ist die Acht nicht abelsch : die beiden Kompositionsweisen von a und b sind nicht homotop zueinander: ${\displaystyle n_{1},\dots,n_{k},m_{1},\dots,m_{k}}$${\displaystyle \pi_{1}\left(S^{1}\right),}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

Allgemeiner gesagt ist die grundlegende Gruppe eines Straußes von r Kreisen die freie Gruppe von r Buchstaben.

Die Fundamentalgruppe einer Keilsumme zweier wegverbundener Räume X und Y lässt sich als freies Produkt der einzelnen Fundamentalgruppen berechnen :

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

Dies verallgemeinert die obigen Beobachtungen, da die Acht die Keilsumme zweier Kreise ist.

Die Fundamentalgruppe der in n Punkten punktierten Ebene ist auch die freie Gruppe mit n Generatoren. Der i- te Generator ist die Klasse der Schleife, die um den i- ten Einstich herumläuft, ohne andere Einstiche zu umgehen.

Grafiken

Die Fundamentalgruppe kann auch für diskrete Strukturen definiert werden. Betrachten Sie insbesondere einen zusammenhängenden Graphen G = ( V , E ) mit einer bestimmten Ecke v ₀ in V . Die Schleifen in G sind die Zyklen, die bei v ₀ beginnen und enden . Sei T ein aufspannender Baum von G . Jede einfache Schleife in G enthält genau eine Kante in E \ T ; jede Schleife in G ist eine Verkettung solcher einfacher Schleifen. Daher ist die Fundamentalgruppe eines Graphen eine freie Gruppe , in der die Anzahl der Generatoren genau der Anzahl der Kanten in E \ T entspricht . Diese Zahl ist gleich | E | − | V | + 1 .

Angenommen, G hat 16 Scheitelpunkte, die in 4 Reihen zu je 4 Scheitelpunkten angeordnet sind, wobei Kanten horizontal oder vertikal benachbarte Scheitelpunkte verbinden. Dann hat G insgesamt 24 Kanten und die Anzahl der Kanten in jedem aufspannenden Baum ist 16 − 1 = 15 , also ist die Fundamentalgruppe von G die freie Gruppe mit 9 Generatoren. Beachten Sie, dass G 9 "Löcher" hat, ähnlich einem Strauß aus 9 Kreisen, der dieselbe Grundgruppe hat.

Knotengruppen

Knotengruppen sind per Definition die Fundamentalgruppe des Komplements eines Knotens K eingebettet in.Zum Beispiel ist die Knotengruppe des Kleeblattknotens bekannt als die Flechtgruppe, die ein weiteres Beispiel für eine nichtabelsche Fundamentalgruppe darstellt. Die Wirtinger-Präsentation beschreibt Knotengruppen explizit als Generatoren und Relationen anhand eines Diagramms des Knotens. Daher werden Knotengruppen in der Knotentheorie verwendet , um zwischen Knoten zu unterscheiden: Wenn K' nicht isomorph zu einer anderen Knotengruppeeines anderen Knotens K' ist , dannkann K nicht umgewandelt werden inSomit kann der Kleeblattknoten nicht kontinuierlich in den Kreis umgewandelt werden ( auch als Unknoten bekannt ), da letztere eine Knotengruppe hat. Es gibt jedoch auch Knoten, die sich nicht ineinander verformen lassen, sondern isomorphe Knotengruppen aufweisen. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}.}$ ${\displaystyle B_{3},}$${\displaystyle \pi_{1}\left(\mathbb{R}^{3}\setminus K\right)}$${\displaystyle \pi_{1}\left(\mathbb{R}^{3}\setminus K'\right)}$${\displaystyle K'.}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$

Orientierte Oberflächen

Die Fundamentalgruppe einer orientierbaren Fläche der Gattung n kann in Bezug auf Generatoren und Beziehungen berechnet werden als

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_ {1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Dies schließt den Torus ein , der bei der Gattung 1 der Fall ist, deren Fundamentalgruppe ist

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right \rangle\cong\mathbb{Z}^{2}.}$

Topologische Gruppen

Die Fundamentalgruppe einer topologischen Gruppe X (in Bezug auf den Basispunkt als neutrales Element) ist immer kommutativ. Insbesondere ist die Fundamentalgruppe einer Lie-Gruppe kommutativ. In der Tat ist die Gruppenstruktur auf X ausstattet mit einer anderen Gruppe - Struktur: zwei Schleifen gegeben und in X , eine weitere Schleife kann durch Verwendung der Gruppenmultiplikation in definierten X : ${\displaystyle \pi_{1}(X)}$${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle \gamma'}$${\displaystyle\gamma\star\gamma'}$

${\displaystyle \left(\gamma\star\gamma'\right)(x)=\gamma(x)\cdot\gamma'(x).}$

Diese binäre Operation an der Menge aller Schleifen ist a priori unabhängig von der oben beschriebenen. Das Eckmann-Hilton-Argument zeigt jedoch, dass es tatsächlich mit der obigen Verkettung von Schleifen übereinstimmt und außerdem, dass die resultierende Gruppenstruktur abelsch ist. ${\displaystyle \star}$

Eine Betrachtung des Beweises zeigt, dass allgemeiner für jeden H-Raum X abelsch ist , dh die Multiplikation muss weder eine Inverse haben, noch muss sie assoziativ sein. Zum Beispiel, das zeigt , dass die Grundgruppe einer Schleifenraum eines anderen topologischen Raum Y , ist abelian. Verwandte Ideen führen zu Heinz Hopfs Berechnung der Kohomologie einer Lie-Gruppe . ${\displaystyle \pi_{1}(X)}$ ${\displaystyle X=\Omega (Y),}$

Funktionalität

Wenn eine kontinuierliche Karte, und mit dann jeder Schleife in X mit Fußpunkt kann zusammengesetzt sein , f eine Schleife in erhalten Y mit Fußpunkt Dieser Operation ist kompatibel mit der Homotopieäquivalenz Beziehung und mit der Zusammensetzung von Schleifen. Der resultierende Gruppenhomomorphismus , induzierter Homomorphismus genannt , wird geschrieben als oder, häufiger, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y_{0}\in Y}$${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y_{0}.}$${\displaystyle \pi (f)}$

${\displaystyle f_{*}\colon \pi_{1}(X,x_{0})\to \pi_{1}(Y,y_{0}).}$

Diese Abbildung von kontinuierlichen Abbildungen auf Gruppenhomomorphismen ist mit der Zusammensetzung von Abbildungen und Identitätsmorphismen kompatibel. Im Sprachgebrauch der Kategorientheorie ist die Bildung, einem topologischen Raum seine Fundamentalgruppe zuzuordnen, daher ein Funktor

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _ {1}(X,x_{0})\end{ausgerichtet}}}$

von der Kategorie der topologischen Räume zusammen mit einem Basispunkt zur Kategorie der Gruppen . Es stellt sich heraus, dass dieser Funktor keine Abbildungen unterscheidet, die relativ zum Basispunkt homotop sind : falls f , g  : X → Y stetige Abbildungen sind mit f ( x ₀ ) = g ( x ₀ ) = y ₀ , und f und g relativ zu { x ₀ } homotop sind , dann gilt f _∗ = g _∗ . Folglich haben zwei homotopieäquivalente wegzusammenhängende Räume isomorphe Fundamentalgruppen:

${\displaystyle X\simeq Y\Rightarrow \pi_{1}(X,x_{0})\cong \pi_{1}(Y,y_{0}).}$

Zum Beispiel die Aufnahme des Kreises in die punktierte Ebene

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb{R}^{2}\setminus \{0\}}$

ist eine Homotopieäquivalenz und liefert daher einen Isomorphismus ihrer Fundamentalgruppen.

Der fundamentale Gruppenfunktor führt Produkte zu Produkten und Kuppelprodukte zu Kuppelprodukten. Das heißt, wenn X und Y pfadzusammenhängend sind, dann

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1 }(Y,y_{0}).}$

Abstrakte Ergebnisse

Wie oben erwähnt, ist die Berechnung der Fundamentalgruppe selbst relativ einfacher topologischer Räume nicht ganz trivial, sondern erfordert einige Methoden der algebraischen Topologie.

Beziehung zur ersten Homologiegruppe

Die Abbelianisierung der Fundamentalgruppe kann mit der ersten Homologiegruppe des Raumes identifiziert werden.

Ein Spezialfall des Satzes von Hurewicz besagt , dass die erste singuläre Homologiegruppe umgangssprachlich die engste Annäherung an die Fundamentalgruppe mittels einer abelschen Gruppe ist. Genauer gesagt ergibt die Abbildung der Homotopieklasse jeder Schleife auf die Homologieklasse der Schleife einen Gruppenhomomorphismus${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle \pi_{1}(X)\to H_{1}(X)}$

von der Fundamentalgruppe eines topologischen Raums X zu seiner ersten singulären Homologiegruppe Dieser Homomorphismus ist im Allgemeinen kein Isomorphismus, da die Fundamentalgruppe nicht abelsch sein kann, aber die Homologiegruppe ist per Definition immer abelsch. Dieser Unterschied ist jedoch der einzige: Wenn X wegzusammenhängend ist, ist dieser Homomorphismus surjektiv und sein Kern ist die Kommutatoruntergruppe der Fundamentalgruppe, also isomorph zur Abelianisierung der Fundamentalgruppe. ${\displaystyle H_{1}(X).}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

Kleben topologischer Räume

Verallgemeinernd die obige Aussage, für eine Familie von pfadbezogenen Räumen ist die Fundamentalgruppe das freie Produkt der Fundamentalgruppen der Diese Tatsache ist ein Spezialfall des Seifert-van-Kampen-Theorems , der es erlaubt, Fundamentalgruppen von allgemeiner zu berechnen Leerzeichen, die aus anderen Leerzeichen zusammengeklebt werden. Zum Beispiel kann die 2-Kugel erhalten werden, indem zwei Kopien von leicht überlappenden Halbkugeln entlang einer Umgebung des Äquators geklebt werden . In diesem Fall ist das Theorem trivial, da die beiden Halbkugeln kontrahierbar sind und daher eine triviale Fundamentalgruppe haben. Mit diesem Theorem können auch die Fundamentalgruppen von Flächen, wie oben erwähnt, berechnet werden. ${\displaystyle X_{i},}$${\textstyle \pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}X_{i}\right)}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi_{1}\left(S^{2}\right)}$

Im Sprachgebrauch der Kategorientheorie kann das Theorem prägnant formuliert werden, indem man sagt, dass der fundamentale Gruppenfunktor Pushouts (in der Kategorie der topologischen Räume) entlang von Einschlüssen zu Pushouts (in der Kategorie der Gruppen) führt.

Beläge

Gegeben einen topologischen Raum B , eine stetige Abbildung

${\displaystyle f:E\nach B}$

heißt überdeckend oder E heißt überdeckender Raum von B, wenn jeder Punkt b in B eine offene Umgebung U besitzt, so dass zwischen dem Urbild von U und einer disjunkten Vereinigung von Kopien von U (indiziert durch eine Menge I ) ein Homöomorphismus besteht. ,

${\displaystyle \varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}$

so ist das die Standard-Projektionskarte${\displaystyle \pi \circ \varphi}$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$

Universelle Abdeckung

Eine Überdeckung heißt universelle Überdeckung, wenn E zusätzlich zur vorhergehenden Bedingung einfach zusammenhängend ist. Es ist in dem Sinne universell, dass alle anderen Überdeckungen durch geeignetes Identifizieren von Punkten in E konstruiert werden können . Eine universelle Abdeckung kennen

${\displaystyle p:{\widetilde{X}}\to X}$

eines topologischen Raums X ist beim Verständnis seiner Fundamentalgruppe auf verschiedene Weise hilfreich: erstens identifiziert er sich mit der Gruppe der Decktransformationen , dh der Gruppe der Homöomorphismen , die mit der Abbildung zu X kommutieren , dh, Eine andere Beziehung zur Fundamentalgruppe ist, dass kann mit der Faser identifiziert werden Zum Beispiel die Karte ${\displaystyle \pi_{1}(X)}$ ${\displaystyle \varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle p\circ \varphi =p.}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle p^{-1}(x).}$

${\displaystyle p:\mathbb{R}\to S^{1},t\mapsto \exp(2\pi it)}$

(oder äquivalent ) ist eine universelle Abdeckung. Die Decktransformationen sind die Karten für Dies entspricht der Identifizierung insbesondere dies beweist die obige Behauptung${\displaystyle \pi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} /\mathbb{Z},\t\mapsto[t]}$${\displaystyle t\mapsto t+n}$${\displaystyle n\in\mathbb{Z} .}$${\displaystyle p^{-1}(1)=\mathbb{Z},}$${\displaystyle \pi_{1}\left(S^{1}\right)\cong\mathbb{Z} .}$

Jeder pfadverbundene, lokal pfadverbundene und lokal einfach verbundene topologische Raum X besitzt eine universelle Überdeckung. Eine abstrakte Konstruktion geht analog zur Fundamentalgruppe vor, indem man Paare ( x , γ) nimmt, wobei x ein Punkt in X und γ eine Homotopieklasse von Wegen von x ₀ nach x ist . Der Übergang von einem topologischen Raum zu seiner universellen Hülle kann zum Verständnis der Geometrie von X verwendet werden . Zum Beispiel zeigt der Uniformisierungssatz , dass jede einfach zusammenhängende Riemann-Fläche (isomorph zu) entweder oder die obere Halbebene ist . Allgemeine Riemann-Flächen entstehen dann als Quotienten von Gruppenwirkungen auf diesen drei Flächen. ${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle\mathbb{C},}$

Der Quotient einer Wirkung einer ( diskreten ) Gruppe G auf einen einfach zusammenhängenden Raum Y hat Fundamentalgruppe

${\displaystyle \pi_{1}(Y/G)\cong G.}$

Als Beispiel ergibt sich der reelle n- dimensionale reale projektive Raum als Quotient der n- dimensionalen Sphäre durch die antipodische Wirkung der nach As sendenden Gruppe ist einfach für n ≥ 2 verbunden, es ist in diesen Fällen eine universelle Abdeckung von , was für n ≥ 2 impliziert . ${\displaystyle\mathbb{R}\mathrm{P}^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb{Z}/2}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle -x.}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle\mathbb{R}\mathrm{P}^{n}}$${\displaystyle \pi_{1}\left(\mathbb{R}\mathrm{P}^{n}\right)\cong\mathbb{Z}/2}$

Lügengruppen

Sei G eine zusammenhängende, einfach zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe , zB die spezielle unitäre Gruppe SU( n ), und sei Γ eine endliche Untergruppe von G . Dann hat der homogene Raum X  =  G /Γ die Fundamentalgruppe Γ, die durch Rechtsmultiplikation auf den universellen überdeckenden Raum G einwirkt . Unter den vielen Varianten dieser Konstruktion ist eine der wichtigsten durch lokalsymmetrische Räume X  = Γ\ G / K gegeben , wobei

• G ist eine nicht-kompakte einfach zusammenhängende, zusammenhängende Lie-Gruppe (oft halbeinfach ),
• K ist eine maximale kompakte Untergruppe von G
• Γ ist eine diskret abzählbare torsionsfreie Untergruppe von G .

In diesem Fall ist die Fundamentalgruppe Γ und der universelle überdeckende Raum G / K ist tatsächlich kontrahierbar (durch die Cartan-Zerlegung für Lie-Gruppen ).

Als Beispiel nehmen wir G  = SL(2, R ), K  = SO(2) und Γ eine beliebige torsionsfreie Kongruenzuntergruppe der modularen Gruppe SL(2, Z ).

Aus der expliziten Erkenntnis folgt auch, dass der universelle Überdeckungsraum einer pfadbezogenen topologischen Gruppe H wieder eine pfadbezogene topologische Gruppe G ist . Außerdem ist die überdeckende Abbildung ein stetiger offener Homomorphismus von G auf H mit Kernel Γ, einer abgeschlossenen diskreten Normalteiler von G :

${\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}$

Da G eine zusammenhängende Gruppe mit stetiger Wirkung durch Konjugation auf eine diskrete Gruppe Γ ist, muss sie trivial wirken, sodass Γ eine Untergruppe des Zentrums von G sein muss . Insbesondere ist π ₁ ( H ) = Γ eine abelsche Gruppe ; dies kann auch ohne Abdeckflächen leicht direkt eingesehen werden. Die Gruppe G heißt die universelle Überdeckungsgruppe von  H .

Wie die universelle Überdeckungsgruppe nahelegt, besteht eine Analogie zwischen der Fundamentalgruppe einer topologischen Gruppe und dem Zentrum einer Gruppe; dies wird bei Lattice of Covering Groups ausgearbeitet .

Fasern

Fibrationen bieten ein sehr leistungsfähiges Mittel zur Berechnung von Homotopiegruppen. A fibration f der sogenannten Gesamtraum , und der Basisraum B hat, insbesondere die Eigenschaftdass alle ihre Fasernsind homotopieäquivalent und deshalb nicht unter VerwendungFundamentalgruppen unterschieden werden kann (und höhere Homotopiegruppen), vorausgesetztdass B - Pfad ist -in Verbindung gebracht. Daher kann der Raum E als " verdrilltes Produkt" des Basisraums B und der Faser angesehen werden Die große Bedeutung der Fibrationen für die Berechnung von Homotopiegruppen beruht auf einer langen exakten Folge${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$

${\displaystyle\dots\to\pi_{2}(B)\to\pi_{1}(F)\to\pi_{1}(E)\to\pi_{1}(B)\ nach \pi_{0}(F)\nach \pi_{0}(E)}$

vorausgesetzt, B ist pfadbezogen. Der Begriff ist die zweite Homotopiegruppe von B , die in direkter Analogie zur Definition von als die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von bis B definiert ist${\displaystyle \pi_{2}(B)}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi_{1}.}$

Falls E zufällig und einfach zusammenhängend ist, reduziert sich diese Folge auf einen Isomorphismus

${\displaystyle \pi_{1}(B)\cong\pi_{0}(F)}$

was die obige Tatsache über die universelle Umhüllung verallgemeinert (was auf den Fall hinausläuft, in dem die Faser F auch diskret ist). Wenn stattdessen F zusammenhängend und einfach zusammenhängend ist, reduziert es sich auf einen Isomorphismus

${\displaystyle \pi_{1}(E)\cong\pi_{1}(B).}$

Darüber hinaus kann die Sequenz links mit den höheren Homotopiegruppen der drei Räume fortgesetzt werden, was einen Zugang zur Berechnung solcher Gruppen auf die gleiche Weise ermöglicht. ${\displaystyle \pi_{n}}$

Klassische Lügengruppen

Solche Faserfolgen können verwendet werden, um fundamentale Gruppen kompakter klassischer Lie-Gruppen induktiv zu berechnen, wie die spezielle unitäre Gruppe mit Diese Gruppe wirkt transitiv auf die Einheitskugel im Inneren Der Stabilisator eines Punktes in der Kugel ist isomorph zu Dann kann gezeigt werden, dass dies ergibt eine Fasersequenz ${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$${\displaystyle n\geq 2.}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb{C}^{n}=\mathbb{R}^{2n}.}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$

${\displaystyle \mathrm{SU} (n-1)\to \mathrm{SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

Da die Kugel eine Dimension von mindestens 3 hat, impliziert ${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle S^{2n-1}}$

${\displaystyle \pi_{1}\left(S^{2n-1}\right)\cong \pi_{2}\left(S^{2n-1}\right)=1.}$

Die lange exakte Folge zeigt dann einen Isomorphismus

${\displaystyle \pi_{1}(\textrm{SU} (n))\cong\pi_{1}(\textrm{SU} (n-1)).}$

Da ein einzelner Punkt, also trivial ist, zeigt dies, dass für alle einfach zusammenhängend ist${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$${\displaystyle \pi_{1}(\mathrm {SU} (1))}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle n.}$

Die Fundamentalgruppe der nichtkompakten Lie-Gruppen kann auf den kompakten Fall reduziert werden, da eine solche Gruppe zu ihrer maximalen kompakten Untergruppe homotop ist. Diese Methoden liefern folgende Ergebnisse:

Kompakte klassische Lügengruppe G	Nicht-kompakte Lügengruppe	${\displaystyle \pi _{1}}$
spezielle einheitliche Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm{SL} (n,\mathbb{C})}$	1
einheitliche Gruppe ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle \mathrm{GL} (n,\mathbb{C}),\mathrm{Sp} (n,\mathbb{R})}$	${\displaystyle \mathbb{Z}}$
spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle\mathrm{SO} (n,\mathbb{C})}$	${\displaystyle \mathbb{Z}/2}$für und für${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle n=2}$
kompakte symplektische Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle\mathrm{Sp} (n,\mathbb{C})}$	1

Eine zweite Methode zur Berechnung von Fundamentalgruppen gilt für alle zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppen und verwendet die Maschinerie des maximalen Torus und des zugehörigen Wurzelsystems . Insbesondere lassen ein maximaler Torus in einer angeschlossenen kompakten Lie - Gruppe sein und lassen die von Liealgebra seine The Exponentialabbildung${\displaystyle T}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle {\mathfrak{t}}}$${\displaystyle T.}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {t}}\to T}$

ist eine Fibration und daher identifiziert sich ihr Kern mit The map ${\displaystyle \Gamma\subset {\mathfrak{t}}}$${\displaystyle \pi_{1}(T).}$

${\displaystyle \pi_{1}(T)\to \pi_{1}(K)}$

kann als surjektiv gezeigt werden, wobei der Kernel durch die Menge I der ganzzahligen Linearkombination von Kowurzeln gegeben ist . Dies führt zur Berechnung

${\displaystyle \pi_{1}(K)\cong\Gamma /I.}$

Diese Methode zeigt zum Beispiel, dass jede verbundene kompakte Lie-Gruppe, für die das zugehörige Wurzelsystem vom Typ${\displaystyle G_{2}}$ ist, einfach verbunden wird. Somit gibt es (bis auf Isomorphie) nur eine zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra vom Typ ; diese Gruppe ist einfach verbunden und hat ein triviales Zentrum. ${\displaystyle G_{2}}$

Kantenpfadgruppe eines simplizialen Komplexes

Wenn der topologische Raum zu einem simplizialen Komplex homöomorph ist , kann seine Fundamentalgruppe explizit durch Generatoren und Beziehungen beschrieben werden .

Wenn X ein zusammenhängender simplizialer Komplex ist , wird ein Kantenpfad in X als eine Kette von Knoten definiert, die durch Kanten in X verbunden sind . Zwei kantenPfade sollen sein Rand-Äquivalent , wenn man von der anderen erhalten werden kann , indem nacheinander zwischen einer Kante Schalten und die beiden gegenüberliegenden Kanten eines Dreiecks in X . Wenn v ein fester Knoten in X ist , ist eine Kantenschleife bei v ein Kantenpfad, der bei v beginnt und endet . Die Kantenpfadgruppe E ( X ,  v ) ist definiert als der Satz von Kantenäquivalenzklassen von Kantenschleifen bei v , wobei Produkt und Inverse durch Verkettung und Umkehrung von Kantenschleifen definiert sind.

Die Kantenpfadgruppe ist natürlich isomorph zu π ₁ (| X |,  v ), der Fundamentalgruppe der geometrischen Realisierung | X | von X . Da es nur vom 2-Skelett X ² von X abhängt (also den Ecken, Kanten und Dreiecken von X ), sind die Gruppen π ₁ (| X |, v ) und π ₁ (| X ² |,  v ) sind isomorph.

Die Kantenpfadgruppe kann explizit durch Generatoren und Relationen beschrieben werden . Ist T ein maximal aufspannender Baum im 1-Skelett von X , dann ist E ( X ,  v ) kanonisch isomorph zur Gruppe mit Generatoren (die orientierten Kantenpfade von X kommen nicht in T vor ) und Relationen (die Kantenäquivalenzen entspricht Dreiecken in X ). Ein ähnliches Ergebnis gilt, wenn T durch einen beliebigen einfach zusammenhängenden – insbesondere kontrahierbaren – Unterkomplex von X ersetzt wird . Dies bietet oft eine praktische Methode zur Berechnung von Fundamentalgruppen und kann verwendet werden, um zu zeigen, dass jede endlich dargestellte Gruppe als Fundamentalgruppe eines endlichen simplizialen Komplexes entsteht. Es ist auch eine der klassischen Methoden, die für topologische Oberflächen verwendet werden , die nach ihren Fundamentalgruppen klassifiziert werden.

Der universelle Überdeckungsraum eines endlichen zusammenhängenden simplizialen Komplexes X kann auch direkt mit Hilfe von Kantenpfaden als simplizialer Komplex beschrieben werden. Seine Ecken sind Paare ( w ,γ), wobei w eine Ecke von X und γ eine Kantenäquivalenzklasse von Pfaden von v nach w ist . Die k- simplices, die ( w ,γ) enthalten, entsprechen natürlich den k- simplices, die w enthalten . Jede neue Ecke u des k- Simplex ergibt eine Kante wu und damit durch Verkettung einen neuen Pfad γ _u von v nach u . Die Punkte ( w ,γ) und ( u , γ _u ) sind die Eckpunkte des "transportierten" Simplex im universellen Überdeckungsraum. Die Kantenpfadgruppe wirkt natürlich durch Verkettung unter Beibehaltung der simplizialen Struktur, und der Quotientenraum ist gerade X .

Es ist bekannt, dass dieses Verfahren auch verwendet werden kann, um die Fundamentalgruppe eines beliebigen topologischen Raums zu berechnen. Dies war zweifellos Eduard Čech und Jean Leray bekannt und tauchte ausdrücklich als Bemerkung in einem Aufsatz von André Weil auf ; verschiedene andere Autoren wie Lorenzo Calabi, Wu Wen-tsün und Nodar Berikashvili haben ebenfalls Beweise veröffentlicht. Im einfachsten Fall eines kompakten Raumes X mit endlicher offener Überdeckung, in dem alle nichtleeren endlichen Schnitte offener Mengen in der Überdeckung kontrahierbar sind, lässt sich die Fundamentalgruppe mit der Kantenpfadgruppe des simplizialen Komplexes entsprechend dem . identifizieren Nerv der Hülle .

Realisierbarkeit

• Jede Gruppe kann als Fundamentalgruppe eines zusammenhängenden CW-Komplexes der Dimension 2 (oder höher) realisiert werden. Wie oben erwähnt, können jedoch nur freie Gruppen als fundamentale Gruppen von 1-dimensionalen CW-Komplexen (d. h. Graphen) auftreten.
• Jede endlich dargestellte Gruppe kann als Fundamentalgruppe einer kompakten , zusammenhängenden, glatten Mannigfaltigkeit der Dimension 4 (oder höher) realisiert werden. Es gibt jedoch starke Einschränkungen, welche Gruppen als fundamentale Gruppen niederdimensionaler Mannigfaltigkeiten auftreten. Zum Beispiel kann keine freie abelsche Gruppe vom Rang 4 oder höher als Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit der Dimension 3 oder weniger realisiert werden. Es kann bewiesen werden, dass jede Gruppe genau dann als Fundamentalgruppe eines kompakten Hausdorff-Raums realisiert werden kann, wenn es keinen messbaren Kardinal gibt .

Verwandte konzepte

Höhere Homotopiegruppen

Grob gesagt erkennt die Fundamentalgruppe die 1-dimensionale Lochstruktur eines Raumes, nicht aber Löcher in höheren Dimensionen wie bei der 2-Sphäre. Solche "höherdimensionalen Löcher" können unter Verwendung der höheren Homotopiegruppen nachgewiesen werden , die definiert sind, um aus Homotopieklassen von (basispunkterhaltenden) Karten von bis X zu bestehen . Zum Beispiel kann der Hurewicz Theorem impliziert , dass die n -te Homotopiegruppe der n -sphere ist (für alle ) ${\displaystyle \pi_{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \pi_{n}(S^{n})=\mathbb{Z} .}$

Wie bei der obigen Berechnung klassischer Lie-Gruppen erwähnt, können Gruppen höherer Homotopie sogar für die Berechnung von Fundamentalgruppen relevant sein. ${\displaystyle \pi _{1}}$

Schleifenraum

Die Menge der basierten Schleifen (wie sie ist, dh nicht zur Homotopie aufgenommen) in einem spitzen Raum X , ausgestattet mit der kompakten offenen Topologie , ist bekannt als der Schleifenraum , bezeichnet Die Fundamentalgruppe von X ist in Bijektion mit der Menge von Pfadkomponenten seines Schleifenraums: ${\displaystyle\Omega X.}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

Fundamentales Gruppoid

Das Grundgruppoid ist eine Variante der Grundgruppe, die in Situationen nützlich ist, in denen die Wahl eines Basispunktes unerwünscht ist. Es wird zunächst unter Berücksichtigung der definierten Kategorie von Pfaden in das heißt stetige Funktionen ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \gamma\colon [0,r]\to X}$,

wobei r eine beliebige nicht negative reelle Zahl ist. Da die Länge r bei diesem Ansatz variabel ist, können solche Pfade unverändert (dh nicht bis zur Homotopie) verkettet werden und ergeben daher eine Kategorie. Zwei solche Pfade mit gleichen Endpunkten und Länge r bzw. r' werden als äquivalent angesehen, wenn es reelle Zahlen gibt, so dass und relativ zu ihren Endpunkten homotop sind, wobei${\displaystyle\gamma,\gamma'}$${\displaystyle u,v\geqslant 0}$${\displaystyle r+u=r'+v}$${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$${\displaystyle \gamma_{u}(t)={\begin{Fälle}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u ].\end{Fälle}}}$

Die Kategorie der Pfade bis zu dieser Äquivalenzrelation wird bezeichnet. Jeder Morphismus in ist ein Isomorphismus , wobei die Umkehrung durch den gleichen Pfad gegeben ist, der in die entgegengesetzte Richtung durchlaufen wird. Eine solche Kategorie wird als Gruppoid bezeichnet . Es reproduziert die Fundamentalgruppe, da ${\displaystyle \Pi (X).}$${\displaystyle\Pi(X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi(X)}(x_{0},x_{0})}$.

Allgemeiner kann man das fundamentale Gruppoid auf einer Menge A von Basispunkten betrachten, die entsprechend der Geometrie der Situation ausgewählt wird; zum Beispiel im Fall des Kreises, der als Vereinigung zweier zusammenhängender offener Mengen dargestellt werden kann, deren Schnittpunkt zwei Komponenten hat, kann man in jeder Komponente einen Basispunkt wählen. Der Satz von van Kampen lässt eine Version für fundamentale Gruppoide zu, die zum Beispiel eine andere Methode zur Berechnung der fundamentalen Gruppe(oid) von${\displaystyle S^{1}.}$

Lokale Systeme

Im Allgemeinen können Repräsentationen dazu dienen, Merkmale einer Gruppe durch ihre Aktionen auf andere mathematische Objekte, oft Vektorräume , darzustellen . Darstellungen der Fundamentalgruppe haben eine sehr geometrische Bedeutung: jedes lokale System (dh eine Garbe auf X mit der Eigenschaft, dass lokal in einer hinreichend kleinen Umgebung U eines beliebigen Punktes auf X die Restriktion von F eine konstante Garbe der Form ist ) entsteht die sogenannte Monodromiedarstellung , eine Darstellung der Fundamentalgruppe auf einem n- dimensionalen Vektorraum. Umgekehrt entsteht auf diese Weise jede solche Darstellung auf einem wegbezogenen Raum X. Diese Äquivalenz von Kategorien zwischen Darstellungen von und lokalen Systemen wird beispielsweise beim Studium von Differentialgleichungen wie den Knizhnik-Zamolodchikov-Gleichungen verwendet . ${\displaystyle {\mathcal{F}}}$${\displaystyle {\mathcal{F}}|_{U}=\mathbb{Q} ^{n}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle \pi_{1}(X)}$

Étale fundamentale Gruppe

In der algebraischen Geometrie wird die sogenannte étale Fundamentalgruppe als Ersatz für die Fundamentalgruppe verwendet. Da die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät oder einem Schema X viel gröber ist als beispielsweise die Topologie offener Teilmengen darin, ist es nicht mehr sinnvoll, stetige Abbildungen von einem Intervall bis X zu betrachten . Stattdessen besteht der von Grothendieck entwickelte Ansatz darin, alle endlichen étale Hüllen von X zu konstruieren . Diese dienen als algebro-geometrisches Analogon von Belägen mit endlichen Fasern. ${\displaystyle \mathbb{R}^{n},}$${\displaystyle \pi_{1}^{\text{et}}}$

Dies ergibt eine Theorie, die in Situationen anwendbar ist, in denen überhaupt keine klassische topologische Intuition mit großer Allgemeinheit verfügbar ist, zum Beispiel für Varietäten, die über einen endlichen Körper definiert sind . Auch die étale Fundamentalgruppe eines Feldes ist seine (absolute) Galois-Gruppe . Bei glatten Varietäten X über den komplexen Zahlen hingegen behält die étale-Fundamentalgruppe viel von der Information, die der klassischen Fundamentalgruppe innewohnt: Erstere ist die profinite Vervollständigung der letzteren.

Grundgruppe der algebraischen Gruppen

Die Fundamentalgruppe eines Wurzelsystems wird analog zur Berechnung für Lie-Gruppen definiert. Dies ermöglicht die Definition und Verwendung der Fundamentalgruppe einer halbeinfachen linearen algebraischen Gruppe G , die ein nützliches grundlegendes Werkzeug bei der Klassifikation linearer algebraischer Gruppen ist.

Grundlegende Gruppe simplizialer Sets

Die Homotopierelation zwischen 1- Simplizien einer simplizialen Menge X ist eine Äquivalenzrelation, wenn X ein Kan-Komplex ist, aber nicht unbedingt im Allgemeinen. Somit kann ein Kan-Komplex als die Menge von Homotopieklassen von 1-Simpliziten definiert werden. Die Fundamentalgruppe einer beliebigen simplizialen Menge X ist definiert als die Homotopiegruppe ihrer topologischen Realisierung , dh der topologische Raum, der durch Verkleben topologischer Simplizes erhalten wird, wie durch die simpliziale Mengenstruktur von X vorgegeben . ${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle |X|,}$

Siehe auch

• Orbifold-Fundamentalgruppe

Anmerkungen

Verweise

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Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Grundlagengruppe" . MathWorld .
• Dylan GL Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem : Eine Diskussion des Fundamentalgruppoids eines topologischen Raums und des Fundamentalgruppoids einer simplizialen Menge
• Animationen zur Einführung der Fundamentalgruppe von Nicolas Delanoue
• Sets von Basispunkten und fundamentalen Gruppoiden: Mathoverflow-Diskussion
• Gruppoide in der Mathematik