Gattung (Mathematik) - Genus (mathematics)

Eine Oberfläche der Gattung 2

In der Mathematik hat Gattung (Plural Gattungen ) einige unterschiedliche, aber eng verwandte Bedeutungen. Die wahrscheinlich schnellste, einfachste und intuitivste Art, Gattung einzuführen, besteht darin, dass es sich um die Anzahl der "Löcher" einer Oberfläche handelt . Damit hat eine Kugel die Gattung 0 und ein Torus die Gattung 1.

Topologie

Orientierbare Oberflächen

Die Kaffeetasse und der Donut, die in dieser Animation gezeigt werden, haben beide die Gattung 1.

Die Gattung einer zusammenhängenden , orientierbaren Fläche ist eine ganze Zahl, die die maximale Anzahl von Schnitten entlang sich nicht schneidender geschlossener einfacher Kurven darstellt, ohne dass die resultierende Mannigfaltigkeit getrennt wird. Es entspricht der Anzahl der Griffe darauf. Alternativ kann sie über die Euler-Charakteristik χ über die Beziehung χ  = 2 − 2 g für geschlossene Flächen definiert werden , wobei g die Gattung ist. Für Flächen mit b Randkomponenten lautet die Gleichung χ = 2 − 2 g  −  b . Laienhaft ausgedrückt ist es die Anzahl der "Löcher", die ein Objekt hat ("Löcher" im Sinne von Donut-Löchern; eine Hohlkugel würde in diesem Sinne als null Löcher angesehen). Ein Donut oder Torus hat 1 solches Loch, während eine Kugel 0 hat. Die oben abgebildete grüne Fläche hat 2 entsprechende Löcher.

Zum Beispiel:

• Die Kugel S ² und eine Scheibe haben beide die Gattung Null.
• Ein Torus hat die Gattung eins, ebenso wie die Oberfläche einer Kaffeetasse mit Henkel. Dies ist die Quelle des Witzes "Topologen sind Leute, die ihren Donut nicht von ihrer Kaffeetasse unterscheiden können".

Eine explizite Konstruktion von Flächen der Gattung g findet sich im Artikel über das Fundamentalpolygon .

• Gattung der orientierbaren Oberflächen
• 

  Gattung 0

• 

  Gattung 1

• 

  Gattung 2

• 

  Gattung 3

Einfacher ausgedrückt ist der Wert der Gattung einer orientierbaren Oberfläche gleich der Anzahl der "Löcher", die sie hat.

Nicht orientierbare Oberflächen

Die nicht-orientierbare Gattung , Demigenus oder Euler-Gattung einer verbundenen, nicht-orientierbaren geschlossenen Fläche ist eine positive ganze Zahl, die die Anzahl der an einer Kugel befestigten Kreuzkappen darstellt . Alternativ kann sie für eine geschlossene Fläche im Sinne der Euler-Charakteristik χ über die Beziehung χ = 2 − k definiert werden , wobei k die nicht orientierbare Gattung ist.

Zum Beispiel:

• Eine reelle projektive Ebene hat eine nicht orientierbare Gattung eins.
• Eine Klein-Flasche hat nicht-orientierbare Gattung zwei.

Knoten

Die Gattung eines Knotens K ist definiert als die minimale Gattung aller Seifertflächen für K . Eine Seifertfläche eines Knotens ist jedoch eine Mannigfaltigkeit mit Rand , wobei der Rand der Knoten ist, also homöomorph zum Einheitskreis. Die Gattung einer solchen Fläche ist definiert als die Gattung der Zweimannigfaltigkeit, die durch Verkleben der Einheitsscheibe entlang der Grenze erhalten wird.

Griffkörper

Die Gattung eines dreidimensionalen Griffkörpers ist eine ganze Zahl, die die maximale Anzahl von Schnitten entlang eingebetteter Scheiben darstellt, ohne dass die resultierende Mannigfaltigkeit getrennt wird. Es entspricht der Anzahl der Griffe darauf.

Zum Beispiel:

• Ein Ball hat die Gattung Null.
• Ein solider Torus D ² × S ¹ hat die Gattung eins.

Graphentheorie

Die Gattung eines Graphen ist die minimale ganze Zahl n, so dass der Graph gezeichnet werden kann, ohne sich selbst auf einer Kugel mit n Griffen (dh einer orientierten Fläche der Gattung n ) zu kreuzen . Somit hat ein planarer Graph die Gattung 0, weil er ohne Selbstkreuzung auf einer Kugel gezeichnet werden kann.

Die nicht orientierbare Gattung eines Graphen ist die minimale ganze Zahl n, so dass der Graph gezeichnet werden kann, ohne sich selbst auf einer Kugel mit n Kreuzkappen (dh einer nicht orientierbaren Fläche der (nicht orientierbaren) Gattung n ) zu kreuzen . (Diese Zahl wird auch Demigenus genannt .)

Die Euler-Gattung ist die minimale ganze Zahl n, so dass der Graph auf einer Kugel mit n Kreuzkappen oder auf einer Kugel mit n/2 Griffen gezeichnet werden kann, ohne sich selbst zu kreuzen .

In der topologischen Graphentheorie gibt es mehrere Definitionen der Gattung einer Gruppe . Arthur T. White führte das folgende Konzept ein. Die Gattung einer Gruppe G ist die minimale Gattung eines (zusammenhängenden, ungerichteten) Cayley-Graphen für G .

Das Graphengattungsproblem ist NP-vollständig .

Algebraische Geometrie

Es gibt zwei verwandte Definitionen der Gattung jedes projektiven algebraischen Schemas X : die arithmetische Gattung und die geometrische Gattung . Wenn X eine algebraische Kurve mit Feld der Definition der komplexen Zahlen , und wenn X Nein Die singulären Punkte , dann ist diese Definitionen überein und stimmt mit der topologischen Definition der angelegte Riemann Oberfläche von X (ihre mannigfaltig komplexen Punkten). Zum Beispiel ist die Definition der elliptischen Kurve von algebraischer Geometrie ist verbundene nichtsinguläre projektive Kurve der Gattung 1 mit einem gegebenen rationalen Punkt darauf .

Nach dem Riemann-Roch-Theorem hat eine irreduzible ebene Gradkurve, die durch den verschwindenden Ort eines Schnitts gegeben ist, die geometrische Gattung ${\displaystyle d}$${\displaystyle s\in\Gamma(\mathbb{P}^{2},{\mathcal{O}}_{\mathbb{P}^{2}}(d))}$

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

wobei s die Anzahl der Singularitäten bei richtiger Zählung ist.

Biologie

Die Gattung kann auch für den Graphen berechnet werden, der durch das Netz chemischer Wechselwirkungen in Nukleinsäuren oder Proteinen aufgespannt wird. Insbesondere kann man das Wachstum der Gattung entlang der Kette studieren. Eine solche Funktion (genus Trace genannt) zeigt die topologische Komplexität und Domänenstruktur von Biomolekülen.

Siehe auch

• Gruppe (Mathematik)
• Arithmetische Gattung
• Geometrische Gattung
• Gattung einer multiplikativen Folge
• Gattung einer quadratischen Form
• Spinor-Gattung

Zitate

Verweise

Index der gleichnamigen Artikel

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