Geometrische Funktionstheorie - Geometric function theory

Die geometrische Funktionstheorie ist die Untersuchung der geometrischen Eigenschaften analytischer Funktionen . Ein grundlegendes Ergebnis der Theorie ist der Riemann-Mapping-Satz .

Themen der geometrischen Funktionstheorie

Das Folgende sind einige der wichtigsten Themen in der geometrischen Funktionstheorie:

Konforme Karten

Ein rechteckiges Gitter (oben) und sein Bild unter einer konformen Karte f (unten). Es ist zu sehen, dass f Paare von Linien, die sich bei 90 ° schneiden, auf Kurvenpaare abbildet, die sich immer noch bei 90 ° schneiden.

Eine konforme Karte ist eine Funktion, die Winkel lokal beibehält. Im häufigsten Fall hat die Funktion eine Domäne und einen Bereich in der komplexen Ebene .

Formeller eine Karte,

${\ displaystyle f: U \ rightarrow V \ qquad}$ mit ${\ displaystyle U, V \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$

heißt conformal (oder winkeltreu ) an einem Punkt , wenn er Winkel zwischen orientierte bewahrt Kurven durch bezüglich ihrer Orientierung ( das heißt, nicht nur die Größe des Winkels). Konforme Karten bewahren sowohl Winkel als auch Formen von unendlich kleinen Figuren, jedoch nicht unbedingt deren Größe oder Krümmung . ${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle u_ {0}}$

Quasikonformale Karten

In der mathematisch komplexen Analyse ist eine von Grötzsch (1928) eingeführte und von Ahlfors (1935) benannte quasikonformale Abbildung ein Homöomorphismus zwischen ebenen Domänen, der in erster Ordnung kleine Kreise zu kleinen Ellipsen mit begrenzter Exzentrizität führt . Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFGrötzsch1928 ( Hilfe ) Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFAhlfors1935 ( Hilfe )

Intuitiv lassen f  : D  →  D 'sein , um eine Orientierung -preserving homeomorphism zwischen offenen Mengen in der Ebene. Wenn f ist stetig differenzierbar , so ist es K -quasiconformal wenn die Ableitung von f an jedem Punkt abbildet Kreise Ellipsen mit einer Exzentrizität von begrenzt K .

Wenn K 0 ist, ist die Funktion konform .

Analytische Fortsetzung

Analytische Fortsetzung des natürlichen Logarithmus (Imaginärteil)

Die analytische Fortsetzung ist eine Technik, um die Domäne einer bestimmten analytischen Funktion zu erweitern . Durch analytische Fortsetzung gelingt es häufig, weitere Werte einer Funktion zu definieren, beispielsweise in einem neuen Bereich, in dem eine unendliche Reihenrepräsentation, für die sie ursprünglich definiert wurde, divergiert.

Die schrittweise Fortsetzungstechnik kann jedoch auf Schwierigkeiten stoßen. Diese können im Wesentlichen topologischer Natur sein und zu Inkonsistenzen führen (Definition von mehr als einem Wert). Sie können alternativ mit dem Vorhandensein mathematischer Singularitäten zu tun haben . Der Fall mehrerer komplexer Variablen ist ziemlich unterschiedlich, da Singularitäten dann keine isolierten Punkte sein können und ihre Untersuchung ein Hauptgrund für die Entwicklung der Garbenkohomologie war .

Geometrische Eigenschaften von Polynomen und algebraischen Funktionen

Zu den Themen in diesem Bereich gehören Riemann-Flächen für algebraische Funktionen und Nullen für algebraische Funktionen.

Riemann-Oberfläche

Eine Riemann-Oberfläche , die zuerst von Bernhard Riemann untersucht und nach ihm benannt wurde , ist eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit . Riemann-Oberflächen können als deformierte Versionen der komplexen Ebene betrachtet werden : Lokal in der Nähe jedes Punktes sehen sie wie Flecken der komplexen Ebene aus, aber die globale Topologie kann sehr unterschiedlich sein. Zum Beispiel können sie wie eine Kugel oder ein Torus oder mehrere zusammengeklebte Blätter aussehen .

Der Hauptpunkt von Riemann-Oberflächen ist, dass holomorphe Funktionen zwischen ihnen definiert werden können. Riemann-Oberflächen gelten heutzutage als natürliche Umgebung für die Untersuchung des globalen Verhaltens dieser Funktionen, insbesondere mehrwertiger Funktionen wie der Quadratwurzel und anderer algebraischer Funktionen oder des Logarithmus .

Extreme Probleme

Themen in diesem Bereich sind "Maximalprinzip; Schwarzes Lemma, Lindelöf-Prinzip, Analoga und Verallgemeinerungen".

Einwertige und mehrwertige Funktionen

Eine holomorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge der komplexen Ebene wird als einwertig bezeichnet, wenn sie injektiv ist .

Man kann beweisen, dass wenn und zwei offen verbundene Mengen in der komplexen Ebene sind, und ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: G \ to \ Omega}$

eine einwertige Funktion ist , so dass (das ist ist surjektiv ), dann wird das Derivat der niemals Null ist , ist umkehrbar , und sein Inverses ist auch holomorphe. Mehr hat man nach der Kettenregel${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

Alternative Begriffe, die allgemein verwendet werden, sind schlicht und einfach . Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, die für die Theorie der einwertigen Funktionen von grundlegender Bedeutung ist, dass die Univalenz im Wesentlichen unter einheitlicher Konvergenz erhalten bleibt.

Wichtige Sätze

Riemann-Mapping-Theorem

Lasse einen Punkt in einer einfach zusammenhängenden Region sein und wenigstens zwei Begrenzungspunkte. Dann gibt es eine eindeutige Analysefunktion, die bijektiv auf die offene Einheitsplatte abgebildet wird, so dass und . ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle D_ {1} (D_ {1} \ neq \ mathbb {C})}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle w = f (z)}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle | w | <1}$${\ displaystyle f (z_ {0}) = 0}$${\ displaystyle f '(z_ {0})> 0}$

Obwohl die Riemannsche Abbildungssatz die Existenz einer Abbildungsfunktion zeigt, ist es tatsächlich nicht zeigen diese Funktion. Ein Beispiel ist unten angegeben.

Betrachten Sie in der obigen Abbildung und als zwei einfach verbundene Bereiche, die sich von unterscheiden . Das Riemann-Mapping-Theorem liefert das Vorhandensein einer Abbildung auf die Einheitsplatte und das Vorhandensein einer Abbildung auf die Einheitsplatte. Somit ist eine Eins-zu-Eins-Zuordnung von auf . Wenn wir zeigen können, dass und folglich die Zusammensetzung analytisch ist, haben wir eine konforme Abbildung von auf , was beweist, dass "zwei einfach verbundene Regionen, die sich von der gesamten Ebene unterscheiden, konform aufeinander abgebildet werden können". ${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle w = f (z)}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle w = g (z)}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle g ^ {- 1}}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Schwarzs Lemma

Das Schwarz - Lemma , benannt nach Hermann Amandus Schwarz , ist ein Ergebnis in komplexer Analyse über holomorphe Funktionen von der offenen Einheitsscheibe auf mich. Das Lemma wird weniger gefeiert als stärkere Theoreme wie das Riemann-Mapping-Theorem , das es zu beweisen hilft. Es ist jedoch eines der einfachsten Ergebnisse, das die Starrheit holomorpher Funktionen erfasst.

Aussage

Schwarz Lemma. Sei D = { z  : | z | <1} sei die offene Einheitsscheibe in der komplexen Ebene C, die am Ursprung zentriert ist, und sei f  : D → D eine holomorphe Karte, so dass f (0) = 0 ist.

Dann | f ( z ) | ≤ | z | für alle z in D und | f ' (0) | ≤ 1.

Darüber hinaus, wenn | f ( z ) | = | z | für einige z oder | ungleich Null f ' (0) | = 1, dann ist f ( z ) = az für einige a in C mit | a | = 1.

Maximales Prinzip

Das Maximalprinzip ist eine Eigenschaft von Lösungen für bestimmte partielle Differentialgleichungen vom elliptischen und parabolischen Typ. Grob gesagt heißt es, dass das Maximum einer Funktion in einer Domäne an der Grenze dieser Domäne liegt. Insbesondere besagt das Prinzip des starken Maximums, dass, wenn eine Funktion ihr Maximum im Inneren der Domäne erreicht, die Funktion einheitlich eine Konstante ist. Das schwache Maximalprinzip besagt, dass sich das Maximum der Funktion an der Grenze befindet, aber auch im Innenraum wieder auftreten kann. Es gibt andere, noch schwächere Maximalprinzipien, die lediglich eine Funktion hinsichtlich ihres Maximums an der Grenze binden.

Riemann-Hurwitz-Formel

Die Riemann-Hurwitz-Formel , benannt nach Bernhard Riemann und Adolf Hurwitz , beschreibt die Beziehung der Euler-Eigenschaften zweier Oberflächen, wenn eine eine verzweigte Bedeckung der anderen ist. In diesem Fall verbindet es daher die Verzweigung mit der algebraischen Topologie . Es ist ein Prototypergebnis für viele andere und wird häufig in der Theorie der Riemannschen Oberflächen (deren Ursprung es ist) und der algebraischen Kurven angewendet .

Aussage

Für eine orientierbare Fläche S ist die Eulerkennlinie χ ( S )

${\ displaystyle 2-2g \,}$

Dabei ist g die Gattung (die Anzahl der Griffe ), da die Betti-Nummern 1, 2 g , 1, 0, 0, .... sind. Im Fall einer (nicht verzweigten ) Abdeckungskarte von Oberflächen

${\ displaystyle \ pi: S '\ bis S \,}$

das ist surjektiv und vom Grad N sollten wir die Formel haben

${\ displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S). \,}$

Das liegt daran, dass jeder Simplex von S durch genau N in S ' abgedeckt werden sollte - zumindest wenn wir eine ausreichend feine Triangulation von S verwenden , wie wir es tun dürfen, da die Euler-Charakteristik eine topologische Invariante ist . Die Riemann-Hurwitz-Formel fügt eine Korrektur hinzu, um eine Verzweigung zu ermöglichen ( Blätter kommen zusammen ).

Nehmen wir nun an , dass S und S ' sind Riemannschen Flächen , und dass die Karte π ist komplex analytisch . Die Karte π soll an einem Punkt P in S ' verzweigt sein , wenn analytische Koordinaten in der Nähe von P und π ( P ) existieren, so dass π die Form π ( z ) = z ⁿ und n  > 1 annimmt Wenn man darüber nachdenkt, existiert eine kleine Nachbarschaft U von P, so dass π ( P ) genau ein Vorbild in U hat , aber das Bild eines anderen Punktes in U genau n Vorbilder in U hat . Die Zahl n wird als Verzweigungsindex bei P bezeichnet und auch mit e _{P bezeichnet} . Bei der Berechnung der Eulerkennlinie von S 'stellen wir den Verlust von e _P  - 1 Kopien von P über π ( P ) fest (dh im inversen Bild von π ( P )). Lassen Sie uns nun Triangulationen von S und S ' mit Eckpunkten an den Verzweigungs- bzw. Verzweigungspunkten auswählen und diese verwenden, um die Euler-Eigenschaften zu berechnen. Dann hat S ' die gleiche Anzahl von d- dimensionalen Flächen für d, die sich von Null unterscheiden, aber weniger als erwartete Eckpunkte. Daher finden wir eine "korrigierte" Formel

${\ displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) - \ sum _ {P \ in S'} (e_ {P} -1)}$

(alle bis auf endlich viele P haben e _P = 1, das ist also ziemlich sicher). Diese Formel ist als Riemann-Hurwitz-Formel und auch als Hurwitz-Theorem bekannt .

Verweise

• Hurwitz-Courant, Vorlesunger über allgemeine Funcktionen Theorie , 1922 (4. Aufl., Anhang von H. Röhrl, Bd. 3, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Springer, 1964.)
• Krantz, Steven (2006). Geometrische Funktionstheorie: Untersuchungen in der komplexen Analyse . Springer. ISBN   0-8176-4339-7 .
• Bulboacă, T.; Cho, NE; Kanas, SAR (2012). "Neue Trends in der geometrischen Funktionstheorie 2011" (PDF) . Internationale Zeitschrift für Mathematik und Mathematik . 2012 : 1. doi : 10.1155 / 2012/976374 .
• Ahlfors, Lars (2010). Konforme Invarianten: Themen der geometrischen Funktionstheorie . AMS Chelsea Publishing. ISBN   978-0821852705 .