Geometrische Mechanik - Geometric mechanics

Geometrische Mechanik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das bestimmte geometrische Methoden auf viele Bereiche der Mechanik anwendet , von der Mechanik der Teilchen und starren Körper über die Strömungsmechanik bis hin zur Regelungstheorie .

Geometrische Mechanik gilt hauptsächlich für Systeme, für die der Konfigurationsraum eine Lie-Gruppe oder eine Gruppe von Diffeomorphismen ist , oder allgemeiner, wo ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur hat. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines starren Körpers wie eines Satelliten die Gruppe der euklidischen Bewegungen (Translationen und Rotationen im Raum), während der Konfigurationsraum für einen Flüssigkristall die Gruppe von Diffeomorphismen ist, die mit einem inneren Zustand (Eichsymmetrie oder Auftragsparameter).

Momentum-Map und Reduktion

Eine der Hauptideen der geometrischen Mechanik ist die Reduktion , die auf Jacobis Eliminierung des Knotens im 3-Körper-Problem zurückgeht, aber in ihrer modernen Form auf K. Meyer (1973) und unabhängig auf JE Marsden und A. Weinstein ( 1974), beide inspiriert von der Arbeit von Smale (1970). Die Symmetrie eines Hamilton- oder Lagrange-Systems führt nach dem Satz von Noether zu Erhaltungsgrößen , und diese Erhaltungsgrößen sind die Komponenten der Impulsabbildung J . Wenn P der Phasenraum und G die Symmetriegruppe ist, ist die Impulsabbildung eine Abbildung , und die reduzierten Räume sind Quotienten der Niveaumengen von J durch die Untergruppe von G unter Beibehaltung der fraglichen Niveaumenge: zum einen definiert , und dies reduziert Raum ist eine symplektische Mannigfaltigkeit, wenn ein regulärer Wert von J ist .

Variationsprinzipien

Geometrische Integratoren

Eine der wichtigen Entwicklungen, die sich aus dem geometrischen Ansatz der Mechanik ergeben, ist die Einbeziehung der Geometrie in numerische Methoden. Insbesondere symplektische und Variationsintegratoren erweisen sich als besonders genau für die Langzeitintegration von Hamilton- und Lagrange-Systemen.

Geschichte

Der Begriff "geometrische Mechanik" bezieht sich gelegentlich auf die Mechanik des 17. Jahrhunderts.

Als modernes Fach hat die geometrische Mechanik ihre Wurzeln in vier Werken, die in den 1960er Jahren geschrieben wurden. Diese waren von Vladimir Arnold (1966), Stephen Smale (1970) und Jean-Marie Souriau (1970), und der ersten Ausgabe von Abraham und Marsden ‚s Foundation of Mechanics (1967). Arnolds grundlegende Arbeit zeigte, dass die Eulerschen Gleichungen für den freien starren Körper die Gleichungen für die geodätische Strömung auf der Rotationsgruppe SO(3) sind und überträgt diese geometrische Erkenntnis auf die Dynamik idealer Fluide, wo die Rotationsgruppe durch die Volumengruppe ersetzt wird -Bewahrung von Diffeomorphismen. Smales Aufsatz über Topologie und Mechanik untersucht die Erhaltungsgrößen, die sich aus dem Satz von Noether ergeben, wenn eine Lie-Symmetriegruppe auf ein mechanisches System einwirkt, und definiert die sogenannte Impulskarte (die Smale Drehimpuls nennt) und wirft Fragen zur Topologie auf der Energie-Impuls-Niveauflächen und die Auswirkung auf die Dynamik. In seinem Buch betrachtet Souriau auch die Erhaltungsgrößen, die sich aus der Wirkung einer Gruppe von Symmetrien ergeben, konzentriert sich jedoch mehr auf die beteiligten geometrischen Strukturen (zum Beispiel die Äquivarianzeigenschaften dieses Impulses für eine breite Klasse von Symmetrien) und weniger auf Fragen der Dynamik.

Diese Ideen und insbesondere die von Smale standen im Mittelpunkt der zweiten Auflage von Foundations of Mechanics (Abraham und Marsden, 1978).

Anwendungen

  • Computergrafik
  • Kontrolltheorie – siehe Bloch (2003)
  • Flüssigkristalle — siehe Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)
  • Magnetohydrodynamik
  • Molekulare Schwingungen
  • Nichtholonome Beschränkungen – siehe Bloch (2003)
  • Nichtlineare Stabilität
  • Plasmen — siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
  • Quantenmechanik
  • Quantenchemie — siehe Foskett, Holm, Tronci (2019)
  • Supraflüssigkeiten
  • Flugbahnplanung für die Weltraumforschung
  • Unterwasserfahrzeuge
  • Variationsintegratoren; siehe Marsden und West (2001)

Verweise