Geometrischer Verlauf - Geometric progression

Diagramm, das drei grundlegende geometrische Folgen des Musters 1( r n –1 ) bis zu 6 Iterationen tief zeigt. Der erste Block ist ein Einheitsblock und die gestrichelte Linie stellt die unendliche Summe der Sequenz dar, eine Zahl, die sich für immer annähern, aber nie berühren wird: 2, 3/2 bzw. 4/3.

In der Mathematik ist eine geometrische Folge , auch als geometrische Folge bekannt , eine Folge von Zahlen ungleich Null , wobei jeder Term nach dem ersten durch Multiplikation des vorherigen mit einer festen Zahl ungleich Null gefunden wird, die als gemeinsames Verhältnis bezeichnet wird . Zum Beispiel ist die Folge 2, 6, 18, 54, ... eine geometrische Folge mit gemeinsamem Verhältnis 3. Ebenso ist 10, 5, 2,5, 1,25, ... eine geometrische Folge mit gemeinsamem Verhältnis 1/2.

Beispiele für eine geometrische Folge sind Potenzen r k aus einer festen Zahl ungleich Null r , wie beispielsweise 2 k und 3 k . Die allgemeine Form einer geometrischen Folge ist

wobei r ≠ 0 das gemeinsame Verhältnis und a ≠ 0 ein Skalierungsfaktor ist , gleich dem Startwert der Sequenz.

Der Unterschied zwischen einer Progression und einer Reihe besteht darin, dass eine Progression eine Folge ist, während eine Reihe eine Summe ist.

Elementare Eigenschaften

Der n- te Term einer geometrischen Folge mit Anfangswert a = a 1 und gemeinsamem Verhältnis r ist gegeben durch

Eine solche geometrische Folge folgt auch der rekursiven Beziehung

für jede ganze Zahl

Um zu überprüfen, ob eine gegebene Folge geometrisch ist, prüft man im Allgemeinen einfach, ob aufeinanderfolgende Einträge in der Folge alle das gleiche Verhältnis haben.

Das gemeinsame Verhältnis einer geometrischen Folge kann negativ sein, was zu einer alternierenden Folge mit Zahlen zwischen positiv und negativ führt. Zum Beispiel

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

ist eine geometrische Folge mit gemeinsamem Verhältnis −3.

Das Verhalten einer geometrischen Folge hängt vom Wert des gemeinsamen Verhältnisses ab.
Wenn das allgemeine Verhältnis ist:

  • positiv, haben die Terme alle das gleiche Vorzeichen wie der Anfangsterm.
  • negativ, wechseln die Terme zwischen positiv und negativ.
  • größer als 1 gibt es ein exponentielles Wachstum in Richtung positive oder negative Unendlichkeit (je nach Vorzeichen des Anfangsterms).
  • 1 ist die Progression eine konstante Sequenz.
  • zwischen −1 und 1, aber nicht null, findet ein exponentieller Abfall in Richtung null (→ 0) statt.
  • −1, der Absolutwert jedes Termes in der Folge ist konstant und die Terme wechseln im Vorzeichen.
  • kleiner als −1, für die absoluten Werte gibt es aufgrund des alternierenden Vorzeichens ein exponentielles Wachstum in Richtung (vorzeichenlos) unendlich .

Geometrische Sequenzen (mit einem gemeinsamen Verhältnis ungleich −1, 1 oder 0) zeigen exponentielles Wachstum oder exponentielles Abklingen, im Gegensatz zum linearen Wachstum (oder Abfall) einer arithmetischen Folge wie 4, 15, 26, 37, 48, … (mit gemeinsamem Unterschied 11). Dieses Ergebnis wurde von TR Malthus als mathematische Grundlage seines Populationsprinzips genommen . Beachten Sie, dass die beiden Arten von Progressionen verwandt sind: Die Potenzierung jedes Termes einer arithmetischen Progression ergibt eine geometrische Progression, während das Logarithmus jedes Termes in einer geometrischen Progression mit einem positiven gemeinsamen Verhältnis eine arithmetische Progression ergibt.

Ein interessantes Ergebnis der Definition der geometrischen Progression ist, dass drei beliebige aufeinanderfolgende Terme a , b und c die folgende Gleichung erfüllen:

wobei b als geometrisches Mittel zwischen a und c angesehen wird .

Geometrische Reihe

2 + 10 + 50 + 250 = 312
− ( 10 + 50 + 250 + 1250 = 5 × 312 )

2 1250 = (1 – 5) × 312

Berechnung der Summe 2 + 10 + 50 + 250. Die Folge wird Term für Term mit 5 multipliziert und dann von der ursprünglichen Folge subtrahiert. Zwei Begriffe bleiben: Der erste Begriff, ein , und der Begriff einer über den letzten oder ar m . Das gewünschte Ergebnis 312 erhält man, indem man diese beiden Terme subtrahiert und durch 1 − 5 dividiert.

Eine geometrische Reihe ist die Summe der Zahlen in einer geometrischen Folge. Zum Beispiel:

Seien a der erste Term (hier 2), n die Anzahl der Terme (hier 4) und r die Konstante, mit der jeder Term multipliziert wird, um den nächsten Term zu erhalten (hier 5), ergibt sich die Summe aus:

Im obigen Beispiel ergibt das:

Die Formel funktioniert für alle reellen Zahlen a und r (außer r = 1, was zu einer Division durch Null führt). Zum Beispiel:

Da die Herleitung (unten) nicht davon abhängt, dass a und r reell sind, gilt sie auch für komplexe Zahlen.

Ableitung

Um diese Formel abzuleiten, schreiben Sie zunächst eine allgemeine geometrische Reihe als:

Wir können eine einfachere Formel für diese Summe finden, indem wir beide Seiten der obigen Gleichung mit 1 − r multiplizieren , und wir werden sehen, dass

da alle anderen Begriffe stornieren. Wenn r 1 ist, können wir das obige neu anordnen, um die bequeme Formel für eine geometrische Reihe zu erhalten, die die Summe von n Termen berechnet:

Verwandte Formeln

Wenn man die Summe nicht bei k=1, sondern bei einem anderen Wert, sagen wir m , beginnen würde, dann

bereitgestellt . Wenn dann die Summe nur die Konstante ist und so gleich ist .

Wenn wir diese Formel nach r ableiten, erhalten wir Formeln für Summen der Form

Zum Beispiel:

Für eine geometrische Reihe, die nur gerade Potenzen von r enthält, mit 1 − r 2 multiplizieren   :

Dann

Nehmen Sie äquivalent   r 2   als gemeinsames Verhältnis und verwenden Sie die Standardformulierung.

Für eine Reihe mit nur ungeraden Potenzen von r

und

Eine exakte Formel für die verallgemeinerte Summe, wenn um die Stirling-Zahlen zweiter Art erweitert wird als

Unendliche geometrische Reihe

Eine unendliche geometrische Reihe ist eine unendliche Reihe, deren aufeinanderfolgende Terme ein gemeinsames Verhältnis haben. Eine solche Reihe konvergiert genau dann, wenn der Absolutwert des gemeinsamen Verhältnisses kleiner als eins ist (| r | < 1). Sein Wert kann dann aus der endlichen Summenformel berechnet werden

Animation, die die Konvergenz von Teilsummen der geometrischen Progression (rote Linie) zu ihrer Summe (blaue Linie) für zeigt .
Diagramm, das die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ zeigt, die gegen 2 konvergiert.

Schon seit:

Dann:

Für eine Reihe, die nur gerade Potenzen von enthält ,

und nur für ungerade Potenzen,

In Fällen, in denen die Summe nicht bei k = 0 beginnt ,

Die oben angegebenen Formeln gelten nur für | r | < 1. Letztere Formel gilt in jeder Banach-Algebra , solange die Norm von r kleiner als eins ist, und auch im Körper der p- adischen Zahlen, wenn | r | p  < 1. Wie bei einer endlichen Summe können wir differenzieren, um Formeln für verwandte Summen zu berechnen. Zum Beispiel,

Diese Formel funktioniert nur für | r | <1 auch. Daraus folgt, dass für | r | < 1,

Auch die unendliche Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ist ein elementares Beispiel für eine absolut konvergierende Reihe .

Es ist eine geometrische Reihe, deren erster Term 1/2 ist und deren gemeinsames Verhältnis 1/2 ist, also ist ihre Summe

Die Umkehrung der obigen Reihe ist 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ ist ein einfaches Beispiel für eine alternierende Reihe , die absolut konvergiert.

Es ist eine geometrische Reihe, deren erster Term 1/2 ist und deren gemeinsames Verhältnis −1/2 ist, also ist ihre Summe

Komplexe Zahlen

Die Summenformel für geometrische Reihen bleibt auch dann gültig, wenn das gemeinsame Verhältnis eine komplexe Zahl ist . In diesem Fall wird die Bedingung, dass der Absolutwert von r kleiner als 1 ist, dass der Modul von r kleiner als 1 ist. Es ist möglich, die Summen einiger nicht offensichtlicher geometrischer Reihen zu berechnen. Betrachten Sie zum Beispiel den Satz

Der Beweis dafür kommt von der Tatsache, dass

was eine Folge der Eulerschen Formel ist . Wenn man dies in die Originalserie einsetzt, erhält man

.

Dies ist der Unterschied zweier geometrischer Reihen, und daher ist es eine einfache Anwendung der Formel für unendliche geometrische Reihen, die den Beweis vervollständigt.

Produkt

Das Produkt einer geometrischen Folge ist das Produkt aller Terme. Es kann schnell berechnet werden, indem man das geometrische Mittel der ersten und letzten Einzelterme der Progression nimmt und dieses Mittel mit der durch die Anzahl der Terme gegebenen Potenz erhöht. (Dies ist der Formel für die Summe der Terme einer arithmetischen Folge sehr ähnlich : Nehmen Sie das arithmetische Mittel des ersten und letzten Einzelterms und multiplizieren Sie es mit der Anzahl der Terme.)

Da das geometrische Mittel zweier Zahlen gleich der Quadratwurzel ihres Produkts ist, ist das Produkt einer geometrischen Folge:

.

(Ein interessanter Aspekt dieser Formel ist, dass, obwohl sie die Quadratwurzel einer potentiell ungeraden Potenz eines potentiell negativen r umfasst , sie kein komplexes Ergebnis liefern kann, wenn weder a noch r einen Imaginärteil haben. Es ist möglich , sollte r negativ und n ungerade sein, damit aus einem negativen Zwischenergebnis die Quadratwurzel gezogen wird, so dass ein nachfolgendes Zwischenergebnis eine imaginäre Zahl ist Potenz von , die eine gerade Zahl sein muss, da n allein ungerade war; daher kann das Endergebnis der Berechnung eine ungerade Zahl sein, aber niemals eine imaginäre.)

Nachweisen

Sei P das Produkt. Per Definition berechnet man es, indem man jeden einzelnen Term explizit miteinander multipliziert. Vollständig ausgeschrieben,

.

Die Multiplikationen durchführen und ähnliche Terme sammeln,

.

Der Exponent von r ist die Summe einer arithmetischen Folge. Ersetzen Sie die Formel für diese Berechnung,

,

was es ermöglicht, den Ausdruck zu vereinfachen zu

.

Umschreiben ein als ,

,

was den Beweis abschließt.

Geschichte

Eine Tontafel aus der frühdynastischen Periode in Mesopotamien , MS 3047, enthält eine geometrische Folge mit Basis 3 und Multiplikator 1/2. Es wurde vermutet, dass es sich um Sumerer aus der Stadt Shuruppak handelt . Es ist die einzige bekannte Aufzeichnung einer geometrischen Progression aus der Zeit vor der babylonischen Mathematik .

Bücher VIII und IX von Euklid ‚s Elemente analysiert geometrische Progressionen (wie die Potenzen von zwei , den Artikel für Details) und geben einige ihrer Eigenschaften.

Siehe auch

Verweise

Externe Links