Geometrische Topologie - Geometric topology

Eine Seifert-Fläche, die von einer Menge Borromäischer Ringe begrenzt wird ; diese Oberflächen können als Werkzeuge in der geometrischen Topologie verwendet werden

In der Mathematik ist geometrische Topologie das Studium von Mannigfaltigkeiten und Abbildungen zwischen ihnen, insbesondere Einbettungen einer Mannigfaltigkeit in eine andere.

Geschichte

Man kann sagen , dass die geometrische Topologie als ein von der algebraischen Topologie unterschiedlicher Bereich in der Klassifikation von Linsenräumen durch die Reidemeister - Torsion von 1935 entstanden ist , die die Unterscheidung von homotopieäquivalenten , aber nicht homöomorphen Räumen erforderte . Dies war der Ursprung der einfachen Homotopietheorie . Die Verwendung des Begriffs geometrische Topologie, um diese zu beschreiben, scheint erst vor kurzem entstanden zu sein.

Unterschiede zwischen niedrig- und hochdimensionaler Topologie

Mannigfaltigkeiten unterscheiden sich radikal im Verhalten in hoher und niedriger Dimension.

Hochdimensionale Topologie bezieht sich auf Mannigfaltigkeiten der Dimension 5 und höher, oder relativ ausgedrückt, Einbettungen in Kodimension 3 und höher. Die niederdimensionale Topologie beschäftigt sich mit Fragen in Dimensionen bis 4 oder Einbettungen in Kodimensionen bis 2.

Dimension 4 ist insofern besonders, als in mancher Hinsicht (topologisch) die Dimension 4 hochdimensional ist, während in anderer Hinsicht (unterscheidbar) die Dimension 4 niederdimensional ist; diese Überlappung führt zu Phänomenen, die für Dimension 4 außergewöhnlich sind, wie exotische differenzierbare Strukturen auf R ⁴ . Somit ist die topologische Klassifikation von 4-Mannigfaltigkeiten im Prinzip einfach, und die Schlüsselfragen lauten: Lässt eine topologische Mannigfaltigkeit eine differenzierbare Struktur zu, und wenn ja, wie viele? Bemerkenswerterweise ist der glatte Fall der Dimension 4 der letzte offene Fall der verallgemeinerten Poincaré-Vermutung ; siehe Gluck-Drehungen .

Der Unterschied besteht darin, dass die Chirurgietheorie in Dimension 5 und höher funktioniert (tatsächlich funktioniert sie topologisch in Dimension 4, obwohl dies sehr aufwendig zu beweisen ist) und somit das Verhalten von Mannigfaltigkeiten in Dimension 5 und höher algebraisch durch die Chirurgietheorie gesteuert wird. In Dimension 4 und darunter (topologisch in Dimension 3 und darunter) funktioniert die Chirurgietheorie nicht und es treten andere Phänomene auf. Tatsächlich besteht ein Ansatz zur Diskussion niederdimensionaler Mannigfaltigkeiten darin, zu fragen: "Was würde die Operationstheorie als wahr voraussagen, wenn sie funktionieren würde?" – und dann niederdimensionale Phänomene als Abweichungen davon begreifen.

Der Whitney-Trick erfordert 2 + 1 Dimensionen, daher erfordert die Operationstheorie 5 Dimensionen.

Der genaue Grund für den Unterschied bei Dimension 5 liegt darin, dass das Whitney-Einbettungstheorem , der technische Schlüsseltrick, der der Chirurgietheorie zugrunde liegt, 2 + 1 Dimensionen erfordert. Im Groben erlaubt der Whitney-Trick, verknotete Kugeln zu „entknoten“ – genauer gesagt, Selbstüberschneidungen von Immersionen zu entfernen; es tut dies über eine Homotopie einer Scheibe – die Scheibe hat 2 Dimensionen und die Homotopie fügt 1 mehr hinzu – und somit kann dies in einer Kodimension größer als 2 erfolgen, ohne sich selbst zu schneiden; daher können Einbettungen in einer Kodimension von mehr als 2 chirurgisch verstanden werden. In der Operationstheorie liegt der Schlüsselschritt in der mittleren Dimension, und wenn die mittlere Dimension eine Kodimension von mehr als 2 hat (lose 2½ ist genug, daher ist die Gesamtdimension 5 ausreichend), funktioniert der Whitney-Trick. Die wichtigste Konsequenz daraus ist der h- Kobordismus-Theorem von Smale , der in Dimension 5 und darüber hinaus funktioniert und die Grundlage für die Chirurgietheorie bildet.

Eine Modifikation des Whitney-Tricks kann in 4 Dimensionen funktionieren und wird Casson-Handles genannt – da es nicht genügend Dimensionen gibt, führt eine Whitney-Scheibe neue Knicke ein, die von einer anderen Whitney-Scheibe aufgelöst werden können, was zu einer Sequenz ("Turm") führt von Festplatten. Die Grenze dieses Turms ergibt eine topologische, aber nicht differenzierbare Karte, daher arbeitet die Chirurgie in Dimension 4 topologisch aber nicht differenzierbar.

Wichtige Werkzeuge in der geometrischen Topologie

Grundlegende Gruppe

In allen Dimensionen ist die Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit eine sehr wichtige Invariante und bestimmt einen Großteil der Struktur; in den Dimensionen 1, 2 und 3 sind die möglichen Fundamentalgruppen eingeschränkt, während in Dimension 4 und darüber jede endlich dargestellte Gruppe die Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit ist (man beachte, dass es für 4- und 5-dimensionale Mannigfaltigkeiten ausreicht, dies zu zeigen, und dann Produkte mit Kugeln zu nehmen, um höhere zu bekommen).

Orientierungsfähigkeit

Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn sie eine konsistente Orientierungswahl hat , und eine verbundene orientierbare Mannigfaltigkeit hat genau zwei verschiedene mögliche Orientierungen. In diesem Setting können je nach gewünschter Anwendung und Allgemeinheit verschiedene gleichwertige Formulierungen der Orientierbarkeit angegeben werden. Formulierungen, die auf allgemeine topologische Mannigfaltigkeiten anwendbar sind, verwenden oft Methoden der Homologietheorie , während für differenzierbare Mannigfaltigkeiten mehr Struktur vorhanden ist, was eine Formulierung in Bezug auf Differentialformen ermöglicht . Eine wichtige Verallgemeinerung des Begriffs der Orientierbarkeit eines Raumes ist die der Orientierbarkeit einer durch einen anderen Raum (einem Faserbündel ) parametrisierten Raumfamilie, für die in jedem der Räume eine Orientierung gewählt werden muss, die sich in Bezug auf Änderungen in kontinuierlich ändert die Parameterwerte.

Zerlegungen behandeln

Ein 3-Ball mit drei angebrachten 1-Griffen.

Eine Handlezerlegung einer m - Mannigfaltigkeit M ist eine Vereinigung

${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$

wobei jedes aus erhalten durch das Anbringen von - Griffen . Eine Handle-Zerlegung ist für eine Mannigfaltigkeit, was eine CW-Zerlegung für einen topologischen Raum ist – in vielerlei Hinsicht besteht der Zweck einer Handle-Zerlegung darin, eine Sprache zu haben, die den CW-Komplexen analog ist, aber an die Welt der glatten Mannigfaltigkeiten angepasst ist . Somit ist ein i- Handle das glatte Analogon einer i- Zelle. Handle-Zerlegungen von Mannigfaltigkeiten entstehen auf natürliche Weise über die Morse-Theorie . Die Modifikation von Griffstrukturen ist eng mit der Cerf-Theorie verbunden . ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M_{i-1}}$${\displaystyle i}$

Lokale Ebenheit

Lokale Flachheit ist eine Eigenschaft einer Untermannigfaltigkeit in einer topologischen Mannigfaltigkeit größerer Dimension . In der Kategorie der topologischen Mannigfaltigkeiten spielen lokal flache Untermannigfaltigkeiten eine ähnliche Rolle wie eingebettete Untermannigfaltigkeiten in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten .

Angenommen, eine d- dimensionale Mannigfaltigkeit N ist in eine n- dimensionale Mannigfaltigkeit M eingebettet (wobei d < n ). Wenn wir sagen , N ist lokal flach in x , wenn es eine Nachbarschaft von x , so dass das topologische Paar ist homöomorph zu dem Paar , mit einer Standard Einbeziehung als Teilraum . Das heißt, es gibt einen Homöomorphismus , bei dem das Bild von mit übereinstimmt . ${\displaystyle x\in N,}$${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{d})}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle U\to R^{n}}$${\displaystyle U\cap N}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{d}}$

Schönflies-Theoreme

Der verallgemeinerte Schoenflies Theorem , daß heißt, wenn eine ( n  - 1) -dimensionalen Kugel S in die eingebetteten n -dimensionalen Kugel S ⁿ in eine lokal ebenen Weise (das heißt, erstreckt sich die Einbettung des von einem verdickten Bereich), wird die Paar ( S ⁿ ,  S ) ist homöomorph zum Paar ( S ⁿ , S ^{n −1} ), wobei S ^{n −1} der Äquator der n- Sphäre ist. Brown und Mazur erhielten den Veblen-Preis für ihre unabhängigen Beweise dieses Theorems.

Zweige der geometrischen Topologie

Niederdimensionale Topologie

Die niedrigdimensionale Topologie umfasst:

• Oberflächen (2-Mannigfaltigkeiten)
• 3-Verteiler
• 4-Verteiler

jeder hat seine eigene Theorie, wo es einige Verbindungen gibt.

Die niedrigdimensionale Topologie ist stark geometrisch, wie sich im Uniformisierungssatz in 2 Dimensionen widerspiegelt – jede Oberfläche lässt eine konstante Krümmungsmetrik zu; geometrisch hat es eine von 3 möglichen Geometrien: positive Krümmung/sphärisch, null Krümmung/flach, negative Krümmung/hyperbolisch – und die Geometrisierungsvermutung (jetzt Theorem) in 3 Dimensionen – jede 3-Mannigfaltigkeit kann in Stücke geschnitten werden, von denen jede hat eine von 8 möglichen Geometrien.

2-dimensionale Topologie kann als komplexe Geometrie in einer Variablen studiert werden (Riemann-Flächen sind komplexe Kurven) – nach dem Uniformisierungssatz ist jede konforme Klasse von Metriken äquivalent zu einer einzigartigen komplexen, und 4-dimensionale Topologie kann unter dem Gesichtspunkt von . studiert werden Ansicht komplexer Geometrie in zwei Variablen (komplexe Flächen), obwohl nicht jede 4-Mannigfaltigkeit eine komplexe Struktur zulässt.

Knotentheorie

Knotentheorie ist das Studium mathematischer Knoten . Inspiriert von Knoten, die im täglichen Leben in Schnürsenkeln und Seilen vorkommen, unterscheidet sich der Knoten eines Mathematikers dadurch, dass die Enden so miteinander verbunden sind, dass er nicht gelöst werden kann. In der mathematischen Sprache ist ein Knoten eine Einbettung eines Kreises in den 3-dimensionalen euklidischen Raum , R ³ (da wir Topologie verwenden, ist ein Kreis nicht an das klassische geometrische Konzept gebunden, sondern an alle seine Homöomorphismen ). Zwei mathematische Knoten sind äquivalent, wenn einer durch eine Verformung von R ³ auf sich selbst in den anderen umgewandelt werden kann (bekannt als Umgebungsisotopie ); diese Transformationen entsprechen Manipulationen einer verknoteten Schnur, die nicht das Durchschneiden der Schnur oder das Durchführen der Schnur durch sich selbst beinhalten.

Um weitere Erkenntnisse zu gewinnen, haben Mathematiker das Knotenkonzept auf verschiedene Weise verallgemeinert. Knoten können in anderen dreidimensionalen Räumen betrachtet werden und andere Objekte als Kreise können verwendet werden; siehe Knoten (Mathematik) . Höherdimensionale Knoten sind n- dimensionale Kugeln im m- dimensionalen euklidischen Raum.

Hochdimensionale geometrische Topologie

In der hochdimensionalen Topologie sind Merkmalsklassen eine grundlegende Invariante und die Chirurgietheorie eine Schlüsseltheorie.

Eine charakteristische Klasse ist eine Möglichkeit, jedem Hauptbündel auf einem topologischen Raum X eine Kohomologieklasse von X zuzuordnen . Die Kohomologieklasse misst das Ausmaß, in dem das Bündel „verdreht“ ist – insbesondere ob es Abschnitte besitzt oder nicht. Merkmalsklassen sind also globale Invarianten, die die Abweichung einer lokalen Produktstruktur von einer globalen Produktstruktur messen. Sie sind eines der vereinigenden geometrischen Konzepte in der algebraischen Topologie , Differentialgeometrie und algebraischen Geometrie .

Die Chirurgietheorie ist eine Sammlung von Techniken, die verwendet werden, um eine Mannigfaltigkeit aus einer anderen auf "kontrollierte" Weiseherzustellen, eingeführt von Milnor  ( 1961 ). Chirurgie bezieht sich auf das Ausschneiden von Teilen des Verteilers und das Ersetzen durch einen Teil eines anderen Verteilers, der entlang des Schnitts oder der Grenze zusammenpasst. Dies ist eng verwandt, aber nicht identisch mit Handlebody-Zerlegungen . Es ist ein wichtiges Werkzeug bei der Untersuchung und Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten mit einer Dimension größer als 3.

Technisch gesehen besteht die Idee darin, mit einer wohlverstandenen Mannigfaltigkeit M zu beginnen und sie zu operieren, um eine Mannigfaltigkeit M ′ mit einer gewünschten Eigenschaft zu erzeugen , so dass die Auswirkungen auf die Homologie , Homotopiegruppen oder andere interessante Invarianten von die Verteiler sind bekannt.

Die Klassifikation exotischer Sphären durch Kervaire und Milnor  ( 1963 ) führte zur Entstehung der Chirurgietheorie als wichtiges Werkzeug in der hochdimensionalen Topologie.

Siehe auch

• Kategorie:Karten von Verteilern
• Liste der Themen zur geometrischen Topologie
• Sanitär (Mathematik)

Verweise

• RB Sher und RJ Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology , North-Holland. ISBN  0-444-82432-4 .