Geometrische Frustration - Geometrical frustration

In der Physik der kondensierten Materie bezieht sich der Begriff geometrische Frustration (oder kurz: Frustration ) auf ein Phänomen, bei dem Atome dazu neigen, an nicht-trivialen Positionen zu haften oder bei dem auf einem regelmäßigen Kristallgitter gegensätzliche interatomare Kräfte (jeweils für eher einfache , aber unterschiedliche Strukturen) führen zu recht komplexen Strukturen. Als Folge der Frustration in der Geometrie oder in den Kräften kann sich bei einer Temperatur von Null eine Fülle unterschiedlicher Grundzustände ergeben, und bei höheren Temperaturen kann die übliche thermische Ordnung unterdrückt werden. Viel untersuchte Beispiele sind amorphe Materialien, Gläser oder verdünnte Magnete .

Der Begriff Frustration wurde im Zusammenhang mit magnetischen Systemen von Gerard Toulouse (1977) eingeführt. Tatsächlich waren frustrierte magnetische Systeme schon früher untersucht worden. Frühe Arbeiten umfassen eine Studie des Ising-Modells an einem Dreiecksgitter mit antiferromagnetisch gekoppelten Spins des nächsten Nachbarn , von GH Wannier , veröffentlicht 1950. Ähnliche Merkmale treten in Magneten mit konkurrierenden Wechselwirkungen auf , wo sowohl ferromagnetische als auch antiferromagnetische Kopplungen zwischen Spinpaaren oder magnetische Momente vorhanden sind, wobei die Art der Wechselwirkung vom Abstand der Spins abhängt. In diesem Fall kann sich eine Kommensurabilität wie etwa helikale Spinanordnungen ergeben, wie sie ursprünglich insbesondere von A. Yoshimori, TA Kaplan, RJ Elliott und anderen diskutiert wurde, um ab 1959 experimentelle Befunde an Seltenerdmetallen zu beschreiben. Ein erneutes Interesse an solchen Spinsystemen mit frustrierten oder konkurrierenden Wechselwirkungen entstand etwa zwei Jahrzehnte später, beginnend in den 1970er Jahren, im Zusammenhang mit Spingläsern und räumlich modulierten magnetischen Überstrukturen. Bei Spingläsern wird die Frustration durch stochastische Unordnungen in den Wechselwirkungen verstärkt, wie sie experimentell bei nichtstöchiometrischen magnetischen Legierungen auftreten können . Sorgfältig analysierte Spinmodelle mit Frustration umfassen das Sherrington-Kirkpatrick-Modell , das Spingläser beschreibt, und das ANNNI-Modell , das die Kommensurabilität magnetischer Überstrukturen beschreibt.

Magnetische Bestellung

Abbildung 1: Antiferromagnetisch wechselwirkende Spins in einer Dreiecksanordnung

Abbildung 2: Antiferromagnetisch wechselwirkende Spins in einer tetraedrischen Anordnung

Abbildung 3: Spins entlang der leichten Achsen eines Tetraeders

Abbildung 4: Frustrierte leichte Spins in einem Tetraeder

Geometrische Frustration ist ein wichtiges Merkmal des Magnetismus , wo sie von der relativen Anordnung der Spins herrührt . Ein einfaches 2D-Beispiel ist in Abbildung 1 gezeigt. Drei magnetische Ionen befinden sich an den Ecken eines Dreiecks mit antiferromagnetischen Wechselwirkungen zwischen ihnen; die Energie wird minimiert, wenn jeder Spin entgegengesetzt zu seinen Nachbarn ausgerichtet ist. Sobald die ersten beiden Spins antiparallel ausgerichtet sind, ist der dritte frustriert, da seine zwei möglichen Ausrichtungen, nach oben und unten, die gleiche Energie liefern. Der dritte Spin kann seine Wechselwirkungen mit den beiden anderen nicht gleichzeitig minimieren. Da dieser Effekt bei jedem Spin auftritt, ist der Grundzustand sechsfach entartet . Nur die beiden Zustände, in denen alle Spins oben oder unten sind, haben mehr Energie.

Ähnlich können in drei Dimensionen vier in einem Tetraeder angeordnete Spins (Abbildung 2) geometrische Frustrationen erfahren. Wenn zwischen den Spins eine antiferromagnetische Wechselwirkung besteht, ist es nicht möglich, die Spins so anzuordnen, dass alle Wechselwirkungen zwischen den Spins antiparallel sind. Es gibt sechs Nächste-Nachbar-Wechselwirkungen, von denen vier antiparallel und damit günstig, aber zwei (zwischen 1 und 2 und zwischen 3 und 4) ungünstig sind. Es ist unmöglich, alle Interaktionen günstig zu gestalten, und das System ist frustriert.

Geometrische Frustration ist auch möglich, wenn die Spins nicht kollinear angeordnet sind . Betrachten wir ein Tetraeder mit einem Spin an jedem Scheitelpunkt, der entlang der leichten Achse zeigt (d 3). Dies ist genau äquivalent zu einer antiferromagnetischen Wechselwirkung zwischen jedem Spinpaar, sodass in diesem Fall keine geometrische Frustration vorliegt. Bei diesen Achsen entsteht geometrische Frustration, wenn es eine ferromagnetische Wechselwirkung zwischen Nachbarn gibt, bei der die Energie durch parallele Spins minimiert wird. Die bestmögliche Anordnung ist in Abbildung 4 dargestellt, wobei zwei Spins zur Mitte zeigen und zwei davon weg weisen. Das magnetische Nettomoment zeigt nach oben und maximiert die ferromagnetischen Wechselwirkungen in dieser Richtung, aber linke und rechte Vektoren heben sich auf (dh sind antiferromagnetisch ausgerichtet), ebenso wie vorwärts und rückwärts. Es gibt drei verschiedene äquivalente Anordnungen mit zwei Spins out und zwei in, so dass der Grundzustand dreifach entartet ist.

Mathematische Definition

Die mathematische Definition ist einfach (und analog zur sogenannten Wilson-Schleife in der Quantenchromodynamik ): Man betrachte beispielsweise Ausdrücke ("Gesamtenergien" oder "Hamiltonianer") der Form

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum_{G}-I_{k_{\nu},k_{\mu}}\,\,S_{k_{\nu}}\cdot S_{k_{ \mu}}\,,}$

wobei G der betrachtete Graph ist, während die Größen I _{k ν , k μ} die sogenannten "Austauschenergien" zwischen den nächsten Nachbarn sind, die (in den betrachteten Energieeinheiten) die Werte ±1 annehmen (mathematisch ist dies ein vorzeichenbehaftetes graph ), während die S _{k ν} · S _{k μ} innere Produkte von Skalar- oder Vektorspins oder Pseudospins sind. Hat der Graph G quadratische oder dreieckige Flächen P , erscheinen die sogenannten "Plakettenvariablen" P _W , "Schleifenprodukte" folgender Art:

${\displaystyle P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,4}\,I_{4,1}}$und jeweils${\displaystyle P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,1}\,,}$

die auch als "Frustrationsprodukte" bezeichnet werden. Über diese Produkte muss man eine Summe ziehen, summiert über alle Plaketten. Das Ergebnis für eine einzelne Plaquette ist entweder +1 oder -1. Im letztgenannten Fall ist die Plakette "geometrisch frustriert".

Es kann gezeigt werden, dass das Ergebnis eine einfache Eichinvarianz hat : es ändert sich nicht – ebenso wie andere messbare Größen, zB die „Gesamtenergie“ – auch wenn lokal die Austauschintegrale und die Spins gleichzeitig wie folgt modifiziert werden: ${\displaystyle {\mathcal{H}}}$

${\displaystyle I_{i,k}\to \varepsilon_{i}I_{i,k}\varepsilon_{k},\quad S_{i}\to \varepsilon_{i}S_{i},\ Quad S_{k}\zu \varepsilon_{k}S_{k}\,.}$

Hier sind die Zahlen ε _i und ε _k beliebige Vorzeichen, dh +1 oder -1, so dass die modifizierte Struktur völlig zufällig aussehen kann.

Wassereis

Abbildung 5: Schema der Wassereismoleküle

Obwohl sich die meisten früheren und aktuellen Frustrationsforschungen auf Spinsysteme konzentrieren, wurde das Phänomen zuerst in gewöhnlichem Eis untersucht . 1936 veröffentlichten Giauque und Stout Die Entropie des Wassers und der dritte Hauptsatz der Thermodynamik. Wärmekapazität von Eis von 15 K bis 273 K , Kalorimetermessungen an Wasser durch die Gefrier- und Verdampfungsübergänge bis zur Hochtemperatur-Gasphase. Die Entropie wurde durch Integration der Wärmekapazität und Addition der latenten Wärmebeiträge berechnet ; die Tieftemperaturmessungen wurden unter Verwendung der damals kürzlich von Debye abgeleiteten Formel auf Null extrapoliert. Die resultierende Entropie, S ₁  = 44,28 cal/(K·mol) = 185,3 J/(mol·K) wurde mit dem theoretischen Ergebnis der statistischen Mechanik eines idealen Gases verglichen, S ₂  = 45,10 cal/(K·mol) = 188,7 J/(Mol·K). Die beiden Werte unterscheiden sich um S ₀  = 0,82 ± 0,05 cal/(K·mol) = 3,4 J/(mol·K). Dieses Ergebnis wurde dann von Linus Pauling in hervorragender Näherung erklärt, der zeigte, dass Eis aufgrund der Konfigurationsfehlordnung bei Nulltemperatur eine endliche Entropie (geschätzt auf 0.81 cal/(K·mol) oder 3.4 J/(mol·K)) besitzt den Protonen im Eis eigen.

In der hexagonalen oder kubischen Eisphase der Sauerstoff bildet Ionen eine tetraedrische Struktur mit O-O - Bindungslänge 2,76  Å (276  pm ), während die O-H - Bindungslänge misst nur 0,96 Å (96 pm). Jedes Sauerstoffion (weiß) ist von vier Wasserstoffionen (schwarz) umgeben und jedes Wasserstoffion ist von 2 Sauerstoffionen umgeben, wie in Abbildung 5 gezeigt. Unter Beibehaltung der internen H ₂ O-Molekülstruktur ist die minimale Energieposition eines Protons nicht auf halbem Weg zwischen zwei benachbarten Sauerstoffionen. Es gibt zwei äquivalente Positionen, die ein Wasserstoff auf der Linie der O-O-Bindung einnehmen kann, eine ferne und eine nahe Position. So führt eine Regel zur Frustration der Positionen des Protons für eine Grundzustandskonfiguration: Für jeden Sauerstoff müssen sich zwei der benachbarten Protonen in der Fern- und zwei in der Nähe befinden, sogenannte ' Eisregeln '. Pauling schlug vor, dass die offene tetraedrische Struktur des Eises viele äquivalente Zustände bietet, die die Eisregeln erfüllen.

Pauling berechnete die Konfigurationsentropie wie folgt: Betrachten Sie ein Mol Eis, bestehend aus N O ²⁻ und 2 N Protonen. Jede O-O-Bindung hat zwei Positionen für ein Proton, was zu 2 ^{2 N} möglichen Konfigurationen führt. Von den 16 möglichen Konfigurationen, die jedem Sauerstoff zugeordnet sind, sind jedoch nur 6 energetisch günstig, wodurch die Beschränkung des H ₂ O-Moleküls aufrechterhalten wird . Dann wird eine obere Schranke der Zahlen, die der Grundzustand annehmen kann, geschätzt als Ω  < 2 ^{2 N} (6/16) ^N . Entsprechend ist die Konfigurationsentropie S ₀  = k _B ln( Ω ) = Nk _B ln(3/2) = 0.81 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) stimmt erstaunlich gut mit der fehlenden Entropie von Giauque und Stout überein.

Obwohl Paulings Berechnung sowohl die globale Beschränkung der Anzahl der Protonen als auch die lokale Beschränkung aufgrund geschlossener Schleifen auf dem Wurtzit-Gitter vernachlässigte, erwies sich die Abschätzung später als sehr genau.

Eis drehen

Abbildung 6: Schema der Spin-Eis-Moleküle

Eine mathematisch analoge Situation zur Entartung im Wassereis findet sich im Spineis . Eine übliche Spin-Eis-Struktur ist in Abbildung 6 in der kubischen Pyrochlor-Struktur gezeigt, wobei sich an jeder der vier Ecken ein magnetisches Atom oder Ion befindet. Aufgrund des starken Kristallfeldes im Material kann jedes der magnetischen Ionen durch ein Ising-Grundzustandsdublett mit großem Moment dargestellt werden. Dies legt ein Bild von Ising-Spins nahe, die sich auf dem eckenverknüpften tetraedrischen Gitter befinden, wobei die Spins entlang der lokalen Quantisierungsachse, den <111>-kubischen Achsen , fixiert sind , die mit den Linien zusammenfallen, die jeden tetraedrischen Scheitelpunkt mit dem Zentrum verbinden. Jede Tetraederzelle muss zwei Spins haben, die nach innen und zwei nach außen zeigen, um die Energie zu minimieren. Gegenwärtig wurde das Spin-Eis-Modell annähernd durch reale Materialien realisiert, insbesondere die Seltenerd-Pyrochlore Ho ₂ Ti ₂ O ₇ , Dy ₂ Ti ₂ O ₇ und Ho ₂ Sn ₂ O ₇ . Diese Materialien zeigen alle bei niedriger Temperatur eine Restentropie ungleich Null.

Erweiterung des Pauling-Modells: Allgemeine Frustration

Das Spin-Eis-Modell ist nur eine Unterteilung frustrierter Systeme. Das Wort Frustration wurde ursprünglich eingeführt, um die Unfähigkeit eines Systems zu beschreiben, gleichzeitig die konkurrierende Wechselwirkungsenergie zwischen seinen Komponenten zu minimieren. Im allgemeinen Frustration wird durch konkurrierenden Wechselwirkungen verursacht entweder aufgrund Website Störung (siehe auch das Villain Modell ) oder durch Gitterstruktur wie in den dreieckigen , kubisch-flächenzentrierten (fcc), hexagonal dicht gepackten , Tetraeders , Pyrochlor und Kagome Gitter mit antiferromagnetischer Wechselwirkung. Frustration wird also in zwei Kategorien unterteilt: Die erste entspricht dem Spinglas , das sowohl eine Unordnung in der Struktur als auch Frustration im Spin aufweist; die zweite ist die geometrische Frustration mit einer geordneten Gitterstruktur und die Frustration des Spins. Die Frustration eines Spinglases wird im Rahmen des RKKY- Modells verstanden, bei dem die Wechselwirkungseigenschaft, entweder ferromagnetisch oder antiferromagnetisch, vom Abstand der beiden magnetischen Ionen abhängt. Aufgrund der Gitterfehlordnung im Spinglas können ein interessierender Spin und seine nächsten Nachbarn unterschiedliche Abstände haben und eine andere Wechselwirkungseigenschaft aufweisen, was somit zu einer unterschiedlichen bevorzugten Ausrichtung des Spins führt.

Künstliche geometrisch frustrierte Ferromagnete

Mit Hilfe von Lithographietechniken ist es möglich, magnetische Inseln im Submikrometerbereich herzustellen, deren geometrische Anordnung die Frustration reproduziert, die in natürlich vorkommenden Spin-Eis-Materialien zu finden ist. Vor kurzem haben RF Wang et al. berichteten über die Entdeckung eines künstlichen geometrisch frustrierten Magneten, der aus Anordnungen lithographisch hergestellter ferromagnetischer Einzeldomäneninseln besteht. Diese Inseln werden manuell angeordnet, um ein zweidimensionales Analogon zu Spin-Eis zu schaffen. Die magnetischen Momente der geordneten „Spin“-Inseln wurden mit Magnetkraftmikroskopie (MFM) abgebildet und anschließend die lokale Anpassung der Frustration gründlich untersucht. In ihrer vorherigen Arbeit an einem quadratischen Gitter frustrierter Magnete beobachteten sie sowohl eisähnliche Kurzstreckenkorrelationen als auch das Fehlen von Langstreckenkorrelationen, genau wie im Spineis bei niedriger Temperatur. Diese Ergebnisse verfestigen das Neuland, auf dem die reale Physik der Frustration durch diese künstlichen geometrisch frustrierten Magnete visualisiert und modelliert werden kann, und inspiriert zu weiteren Forschungsaktivitäten.

Diese künstlich frustrierten Ferromagnete können einzigartige magnetische Eigenschaften aufweisen, wenn ihre globale Reaktion auf ein externes Feld mit dem magnetooptischen Kerr-Effekt untersucht wird. Insbesondere zeigt sich, dass eine nicht-monotone Winkelabhängigkeit der quadratischen Gitterkoerzitivfeldstärke mit der Unordnung im künstlichen Spin-Eis-System zusammenhängt.

Geometrische Frustration ohne Gitter

Eine andere Art von geometrischer Frustration entsteht durch die Ausbreitung einer lokalen Ordnung. Eine Hauptfrage, mit der sich ein Physiker der kondensierten Materie konfrontiert sieht, besteht darin, die Stabilität eines Festkörpers zu erklären.

Manchmal ist es möglich, lokale Regeln chemischer Natur aufzustellen, die zu niederenergetischen Konfigurationen führen und daher die strukturelle und chemische Ordnung bestimmen. Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall und oft kann sich die durch lokale Wechselwirkungen definierte lokale Ordnung nicht frei ausbreiten, was zu geometrischen Frustrationen führt. Allen diesen Systemen ist gemeinsam, dass sie selbst mit einfachen lokalen Regeln eine Vielzahl von oft komplexen strukturellen Realisierungen darstellen. Geometrische Frustration spielt in Bereichen kondensierter Materie eine Rolle, die von Clustern und amorphen Feststoffen bis hin zu komplexen Flüssigkeiten reichen.

Die allgemeine Vorgehensweise zur Lösung dieser Komplikationen erfolgt in zwei Schritten. Erstens wird die Einschränkung der perfekten Raumfüllung gelockert, indem Raumkrümmung zugelassen wird. In diesem geschwungenen Raum wird eine ideale, unfrustrierte Struktur definiert. Dann werden auf diese ideale Vorlage spezifische Verzerrungen angewendet, um sie in den dreidimensionalen euklidischen Raum einzubetten. Die endgültige Struktur ist eine Mischung aus geordneten Bereichen, deren lokale Ordnung der des Templates ähnelt, und Defekten, die aus der Einbettung resultieren. Unter den möglichen Mängeln spielen Disklinationen eine wichtige Rolle.

Das Kacheln einer Ebene durch Fünfecke ist unmöglich, kann aber auf einer Kugel in Form eines fünfeckigen Dodekaeders realisiert werden, wie in Quasikristallen gezeigt

Einfache zweidimensionale Beispiele

Zweidimensionale Beispiele sind hilfreich, um den Ursprung der Konkurrenz zwischen lokalen Regeln und Geometrie im Großen zu verstehen. Betrachten Sie zunächst eine Anordnung identischer Scheiben (ein Modell für ein hypothetisches zweidimensionales Metall) auf einer Ebene; Wir nehmen an, dass die Wechselwirkung zwischen den Scheiben isotrop ist und lokal dazu neigt, die Scheiben so dicht wie möglich anzuordnen. Die beste Anordnung für drei Scheiben ist trivialerweise ein gleichseitiges Dreieck, bei dem sich die Scheibenmittelpunkte an den Dreiecksspitzen befinden. Die Untersuchung der Fernbereichsstruktur kann daher auf die von ebenen Kacheln mit gleichseitigen Dreiecken reduziert werden. Eine bekannte Lösung bietet die dreieckige Kachelung mit vollständiger Kompatibilität zwischen den lokalen und globalen Regeln: Das System soll "unfrustriert" sein.

Aber jetzt soll die Wechselwirkungsenergie minimal sein, wenn Atome auf den Eckpunkten eines regelmäßigen Fünfecks sitzen . Der Versuch, sich in großer Entfernung auszubreiten, ist eine Packung dieser Fünfecke, die Kanten (Atombindungen) und Ecken (Atome) teilen, unmöglich. Dies liegt an der Unmöglichkeit, eine Ebene mit regelmäßigen Fünfecken zu kacheln, einfach weil der Scheitelwinkel des Fünfecks 2 π nicht teilt . Drei solcher Fünfecke passen problemlos an einen gemeinsamen Scheitelpunkt, aber zwischen zwei Kanten bleibt eine Lücke. Es ist diese Art von Diskrepanz, die als "geometrische Frustration" bezeichnet wird. Es gibt einen Weg, diese Schwierigkeit zu überwinden. Lassen Sie die zu kachelnde Oberfläche frei von jeder vorausgesetzten Topologie und bauen wir die Kachelung unter strikter Anwendung der lokalen Interaktionsregel auf. In diesem einfachen Beispiel beobachten wir, dass die Oberfläche die Topologie einer Kugel erbt und somit eine Krümmung erhält. Die endgültige Struktur, hier ein fünfeckiger Dodekaeder, ermöglicht eine perfekte Fortpflanzung der fünfeckigen Ordnung. Es wird als "ideales" (fehlerfreies) Modell für die betrachtete Struktur bezeichnet.

Dichte Strukturen und tetraedrische Packungen

Tetraedrischen Verpackung: Der Diederwinkel eines Tetraeders ist nicht kommensurabel mit 2 π ; folglich verbleibt ein Loch zwischen zwei Flächen einer Packung von fünf Tetraedern mit einer gemeinsamen Kante. Eine Packung von zwanzig Tetraedern mit einem gemeinsamen Scheitel, so dass die zwölf äußeren Scheitel ein unregelmäßiges Ikosaeder bilden

Die Stabilität von Metallen ist eine seit langem bestehende Frage der Festkörperphysik, die nur im quantenmechanischen Rahmen verstanden werden kann, wenn die Wechselwirkung zwischen den positiv geladenen Ionen und den Valenz- und Leitungselektronen richtig berücksichtigt wird. Dennoch ist es möglich, ein sehr vereinfachtes Bild der metallischen Bindung zu verwenden und behält nur eine isotrope Art von Wechselwirkungen bei, was zu Strukturen führt, die als dicht gepackte Kugeln dargestellt werden können. Und tatsächlich sind die kristallinen einfachen Metallstrukturen oft entweder dicht gepackte kubisch-flächenzentrierte (fcc) oder hexagonal dicht gepackte (hcp) Gitter. Bis zu einem gewissen Grad können auch amorphe Metalle und Quasikristalle durch dichte Kugelpackung modelliert werden. Die lokale Atomordnung wird durch eine dichte Packung von Tetraedern gut modelliert, was zu einer unvollkommenen ikosaedrischen Ordnung führt.

Ein regelmäßiges Tetraeder ist die dichteste Konfiguration für die Packung von vier gleichen Kugeln. Das Problem der dichten zufälligen Packung harter Kugeln kann somit auf das tetraedrische Packungsproblem abgebildet werden . Es ist eine praktische Übung, Tischtennisbälle so zu packen, dass sie nur tetraedrische Konfigurationen bilden. Man beginnt mit vier Kugeln, die als perfekte Tetraeder angeordnet sind, und versucht, neue Kugeln hinzuzufügen, während neue Tetraeder gebildet werden. Die nächste Lösung mit fünf Kugeln ist trivialerweise zwei Tetraeder, die sich eine gemeinsame Fläche teilen; beachten Sie, dass bereits bei dieser Lösung die fcc-Struktur, die einzelne tetraedrische Löcher enthält, keine solche Konfiguration zeigt (die Tetraeder haben Kanten, keine Flächen). Mit sechs Kugeln werden drei reguläre Tetraeder aufgebaut, und der Cluster ist mit allen kompakten kristallinen Strukturen (fcc und hcp) nicht kompatibel. Das Hinzufügen einer siebten Kugel ergibt einen neuen Cluster, der aus zwei "axialen" Kugeln besteht, die sich berühren, und fünf anderen, die die letzten beiden Kugeln berühren, wobei die äußere Form eine fast regelmäßige fünfeckige Doppelpyramide ist. Allerdings stehen wir nun vor einem echten Packungsproblem, analog dem oben bei der fünfeckigen Kachelung in zwei Dimensionen. Der Diederwinkel eines Tetraeders ist nicht mit 2 π vergleichbar ; folglich verbleibt ein Loch zwischen zwei Seiten benachbarter Tetraeder. Folglich ist eine perfekte Kachelung des euklidischen Raums R ³ mit regulären Tetraedern unmöglich. Die Frustration hat topologischen Charakter: Es ist unmöglich, den euklidischen Raum mit Tetraedern zu füllen, auch wenn sie stark verzerrt sind, wenn wir einer konstanten Anzahl von Tetraedern (hier fünf) eine gemeinsame Kante auferlegen.

Der nächste Schritt ist entscheidend: die Suche nach einer unfrustrierten Struktur durch Berücksichtigung von Krümmungen im Raum , damit sich die lokalen Konfigurationen identisch und fehlerfrei im gesamten Raum ausbreiten.

Regelmäßige Packung von Tetraedern: das Polytop {3,3,5}

600-Zellen : Polytop {3,3,5}

Zwanzig unregelmäßige Tetraeder packen sich mit einem gemeinsamen Scheitel so, dass die zwölf äußeren Scheitel ein regelmäßiges Ikosaeder bilden. Tatsächlich ist die Kantenlänge l des Ikosaeders etwas länger als der Umkreisradius r ( l  ≈ 1.05 r ). Es gibt eine Lösung mit regulären Tetraedern, wenn der Raum nicht euklidisch, sondern kugelförmig ist. Es ist das Polytop {3,3,5} in der Schläfli- Notation, auch bekannt als 600-Zelle .

Es gibt einhundertzwanzig Eckpunkte, die alle zur Hypersphäre S ³ mit einem Radius gleich dem Goldenen Schnitt gehören ( φ  = 1 + √ 5/2) wenn die Kanten eine Einheitslänge haben. Die sechshundert Zellen sind regelmäßige Tetraeder, die zu fünf um eine gemeinsame Kante und zu zwanzig um einen gemeinsamen Scheitel gruppiert sind. Diese Struktur wird als Polytop bezeichnet (siehe Coxeter ), was der allgemeine Name in der höheren Dimension in der Reihe der Polygone und Polyeder ist. Auch wenn diese Struktur in vier Dimensionen eingebettet ist, wurde sie als dreidimensionale (gekrümmte) Mannigfaltigkeit betrachtet. Dieser Punkt ist aus folgendem Grund konzeptionell wichtig. Die idealen Modelle, die im gekrümmten Raum eingeführt wurden, sind dreidimensionale gekrümmte Schablonen. Sie sehen lokal als dreidimensionale euklidische Modelle aus. Das {3,3,5}-Polytop, das eine Kachelung durch Tetraeder ist, liefert also eine sehr dichte Atomstruktur, wenn sich Atome auf seinen Eckpunkten befinden. Es wird daher natürlich als Vorlage für amorphe Metalle verwendet, aber man sollte nicht vergessen, dass es um den Preis sukzessiver Idealisierungen geht.

Literatur

• Sadoc, JF; Mosseri, R. (2007). Geometrische Frustration (neu bearbeitete Hrsg.). Cambridge University Press. ISBN 9780521031875.
• Sadoc, JF, Hrsg. (1990). Geometrie in der Physik der kondensierten Materie . Singapur: World Scientific. ISBN 9789810200893.
• Coxeter, HSM (1973). Regelmäßige Polytope . Dover-Veröffentlichung. ISBN 9780486614809.

Verweise