Geometrisierungsvermutung - Geometrization conjecture

Geometrisierungstheorem
Gebiet Geometrische Topologie
Vermutet von William Thurston
Vermutet in 1982
Erster Beweis von Grigori Perelman
Erster Beweis in 2006
Folgen Poincaré-Vermutung
Thurston-Elliptisierungsvermutung

In der Mathematik besagt Thurstons Geometrisierungsvermutung , dass jeder von bestimmten dreidimensionalen topologischen Räumen eine einzigartige geometrische Struktur hat, die ihm zugeordnet werden kann. Es ist ein Analogon des Uniformisierungssatzes für zweidimensionale Flächen , der besagt, dass jeder einfach zusammenhängenden Riemannschen Fläche eine von drei Geometrien ( euklidisch , sphärisch oder hyperbolisch ) gegeben werden kann. In drei Dimensionen ist es nicht immer möglich, einem ganzen topologischen Raum eine einzige Geometrie zuzuordnen. Stattdessen besagt die Geometrisierungsvermutung, dass jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit auf kanonische Weise in Teile zerlegt werden kann, die jeweils eine von acht Arten geometrischer Struktur aufweisen. Die Vermutung wurde von William Thurston  ( 1982 ) vorgeschlagen und impliziert mehrere andere Vermutungen, wie die Poincaré-Vermutung und die Elliptisierungsvermutung von Thurston .

Thurstons Hyperbolisierungssatz impliziert, dass Haken-Mannigfaltigkeiten die Geometrisierungsvermutung erfüllen. Thurston kündigte in den 1980er Jahren einen Proof an und seitdem sind mehrere vollständige Proofs im Druck erschienen.

Grigori Perelman skizzierte 2003 einen Beweis für die vollständige Geometrisierungsvermutung unter Verwendung von Ricci Flow mit Chirurgie . Inzwischen gibt es mehrere verschiedene Manuskripte (siehe unten) mit Details zum Beweis. Die Poincaré-Vermutung und die sphärische Raumform-Vermutung sind Folgerungen der Geometrisierungsvermutung, obwohl es kürzere Beweise für erstere gibt, die nicht zur Geometrisierungsvermutung führen.

Die Vermutung

Eine 3-Mannigfaltigkeit heißt abgeschlossen, wenn sie kompakt ist und keinen Rand hat .

Jede abgeschlossene 3-Mannigfaltigkeit hat eine Primzahlzerlegung : das heißt, sie ist die zusammenhängende Summe von Primzahl-3-Mannigfaltigkeiten (diese Zerlegung ist im Wesentlichen eindeutig, abgesehen von einem kleinen Problem bei nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten ). Dies reduziert einen Großteil des Studiums von 3-Mannigfaltigkeiten auf den Fall von Primzahl-3-Mannigfaltigkeiten: solche, die nicht als nicht-triviale zusammenhängende Summe geschrieben werden können.

Hier ist eine Aussage von Thurstons Vermutung:

Jede orientierte Primzahl geschlossene 3-Mannigfaltigkeit kann entlang tori geschnitten werden , so dass das Innere jeder der resultierenden Mannigfaltigkeiten eine geometrische Struktur mit endlichem Volumen hat.

Es gibt 8 mögliche geometrische Strukturen in 3 Dimensionen, die im nächsten Abschnitt beschrieben werden. Es gibt einen einzigartigen minimalen Weg, eine irreduzibel orientierte 3-Mannigfaltigkeit entlang von Tori in Stücke zu schneiden, die Seifert-Mannigfaltigkeiten oder atoroidal sind , die als JSJ-Zerlegung bezeichnet wird Die JSJ-Zerlegung weist möglicherweise keine geometrischen Strukturen mit endlichem Volumen auf. (Zum Beispiel hat der Abbildungstorus einer Anosov-Abbildung eines Torus eine Finite-Volumen-Solv-Struktur, aber seine JSJ-Zerlegung schneidet ihn entlang eines Torus auf, um ein Produkt aus einem Torus und einem Einheitsintervall zu erzeugen, und das Innere davon hat keine endliche geometrische Struktur.)

Für nicht orientierte Mannigfaltigkeiten ist der einfachste Weg, eine Geometrisierungsvermutung zu formulieren, zunächst die orientierte Doppelhülle zu nehmen . Es ist auch möglich, direkt mit nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten zu arbeiten, dies führt jedoch zu zusätzlichen Komplikationen: Es kann erforderlich sein, entlang projektiver Ebenen und Klein-Flaschen sowie Kugeln und Tori zu schneiden , und Mannigfaltigkeiten mit einer Randkomponente der projektiven Ebene haben normalerweise keine geometrische Struktur.

In 2 Dimensionen besagt die analoge Aussage, dass jede Fläche (ohne Rand) eine geometrische Struktur hat, die aus einer Metrik mit konstanter Krümmung besteht; Es ist nicht erforderlich, den Verteiler vorher zu zerschneiden.

Die acht Thurston-Geometrien

Eine Modellgeometrie ist eine einfach zusammenhängende glatte Mannigfaltigkeit X zusammen mit einer transitiven Wirkung einer Lie-Gruppe G auf X mit kompakten Stabilisatoren.

Eine Modellgeometrie heißt maximal, wenn G maximal unter Gruppen ist, die glatt und transitiv auf X mit kompakten Stabilisatoren wirken. Manchmal ist diese Bedingung in der Definition einer Modellgeometrie enthalten.

Eine geometrische Struktur auf einer Mannigfaltigkeit M ist ein Diffeomorphismus von M nach X /Γ für eine Modellgeometrie X , wobei Γ eine diskrete Untergruppe von G ist, die frei auf X wirkt  ; dies ist ein Spezialfall einer vollständigen ( G , X )-Struktur . Wenn eine gegebene Mannigfaltigkeit eine geometrische Struktur zulässt, dann gibt es eine, deren Modell maximal ist.

Eine dreidimensionale Modellgeometrie X ist für die Geometrisierungsvermutung relevant, wenn sie maximal ist und wenn es mindestens eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer auf X modellierten geometrischen Struktur gibt . Thurston klassifizierte die 8 Modellgeometrien, die diese Bedingungen erfüllen; sie sind unten aufgeführt und werden manchmal als Thurston-Geometrien bezeichnet . (Es gibt auch unzählige Modellgeometrien ohne kompakte Quotienten.)

Es gibt eine Verbindung zu den Bianchi-Gruppen : den 3-dimensionalen Lügengruppen. Die meisten Thurston-Geometrien können als linksinvariante Metrik auf einer Bianchi-Gruppe realisiert werden. Jedoch S 2 × R kann nicht, euklidischen Raum entspricht zwei verschiedenen Bianchi Gruppen sein, und es gibt eine unzählbare Anzahl von auflösbar Nicht-unimodular Bianchi Gruppen, von denen die meisten Modellgeometrien ohne kompakten Vertretern verleihen.

Kugelgeometrie S 3

Der Punktstabilisator ist O(3, R ), und die Gruppe G ist die 6-dimensionale Lie-Gruppe O(4, R ), mit 2 Komponenten. Die entsprechenden Mannigfaltigkeiten sind genau die abgeschlossenen 3-Mannigfaltigkeiten mit endlicher Fundamentalgruppe . Beispiele sind die 3-Sphäre , die Poincaré-Homologie-Sphäre , Linsenräume . Diese Geometrie kann als linksinvariante Metrik der Bianchi-Gruppe vom Typ IX modelliert werden . Verteiler mit dieser Geometrie sind alle kompakt, orientierbar und haben die Struktur eines Seifert-Faserraums (oft in mehrfacher Hinsicht). Die vollständige Liste solcher Mannigfaltigkeiten findet sich im Artikel über sphärische 3-Mannigfaltigkeiten . Unter der Ricci-Strömung kollabieren Mannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie auf einen Punkt in endlicher Zeit.

Euklidische Geometrie E 3

Der Punktstabilisator ist O(3, R ), und die Gruppe G ist die 6-dimensionale Lie-Gruppe R 3 × O(3, R ), mit 2 Komponenten. Beispiele sind der 3-Torus und allgemeiner der Abbildungstorus eines Automorphismus endlicher Ordnung des 2-Torus; siehe Torus-Bündel . Es gibt genau 10 endliche geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie, 6 orientierbare und 4 nicht-orientierbare. Diese Geometrie kann als linksinvariante Metrik auf den Bianchi-Gruppen vom Typ I oder VII 0 modelliert werden . Endliche Volumenmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie sind alle kompakt und haben die Struktur eines Seifert-Faserraums (manchmal in zweierlei Hinsicht). Die vollständige Liste solcher Mannigfaltigkeiten findet sich im Artikel über Seifert-Faserräume . Unter der Ricci-Strömung bleiben Mannigfaltigkeiten mit euklidischer Geometrie invariant.

Hyperbolische Geometrie H 3

Der Punktstabilisator ist O(3, R ), und die Gruppe G ist die 6-dimensionale Lie-Gruppe O + (1, 3, R ), mit 2 Komponenten. Dafür gibt es eine enorme Anzahl von Beispielen, und ihre Einordnung ist nicht vollständig verstanden. Das Beispiel mit dem kleinsten Volumen ist der Wochenverteiler . Andere Beispiele sind der Seifert-Weber-Raum oder "ausreichend komplizierte" Dehn-Operationen an Links oder die meisten Haken-Mannigfaltigkeiten . Die Geometrisierungsvermutung impliziert, dass eine abgeschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann hyperbolisch ist, wenn sie irreduzibel, atoroidal ist und eine unendliche Fundamentalgruppe hat. Diese Geometrie kann als linksinvariante Metrik der Bianchi-Gruppe vom Typ V modelliert werden . Unter Ricci-Strömung dehnen sich Mannigfaltigkeiten mit hyperbolischer Geometrie aus.

Die Geometrie von S 2 × R

Der Punktstabilisator ist O(2, R ) × Z /2 Z , und die Gruppe G ist O(3, R ) × R × Z /2 Z , mit 4 Komponenten. Die vier endlichen Volumenmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie sind: S 2 × S 1 , der Abbildungstorus der Antipodenabbildung von S 2 , die zusammenhängende Summe zweier Kopien des dreidimensionalen projektiven Raums und das Produkt von S 1 mit zweidimensionalem projektiver Raum. Die ersten beiden sind Mapping-Tori der Identitätskarte und Antipoden-Karte der 2-Sphäre und sind die einzigen Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten, die prim, aber nicht irreduzibel sind. Die dritte ist das einzige Beispiel einer nicht-trivialen zusammenhängenden Summe mit geometrischer Struktur. Dies ist die einzige Modellgeometrie, die nicht als linksinvariante Metrik auf einer dreidimensionalen Lie-Gruppe realisiert werden kann. Endliche Volumenmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie sind alle kompakt und haben die Struktur eines Seifert-Faserraums (oft in mehrfacher Hinsicht). Unter normalisierten Ricci-Strömungsmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie konvergieren zu einer 1-dimensionalen Mannigfaltigkeit.

Die Geometrie von H 2 × R

Der Punktstabilisator ist O(2, R ) × Z /2 Z , und die Gruppe G ist O + (1, 2, R ) × R × Z /2 Z mit 4 Komponenten. Beispiele umfassen das Produkt einer hyperbolischen Fläche mit einem Kreis oder allgemeiner der Abbildungstorus einer Isometrie einer hyperbolischen Fläche. Endliche Volumenmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie haben die Struktur eines Seifert-Faserraums, wenn sie orientierbar sind. (Wenn sie nicht orientierbar sind, ist die natürliche Faserung durch Kreise nicht unbedingt eine Seifert-Faser: Das Problem besteht darin, dass einige Fasern ihre Orientierung umkehren können; mit anderen Worten, ihre Nachbarschaft sieht eher wie faserige feste Klein-Flaschen aus als feste Tori.) solche (orientierten) Mannigfaltigkeiten sind im Artikel über Seifert-Faserräume angegeben . Diese Geometrie kann als linksinvariante Metrik der Bianchi-Gruppe vom Typ III modelliert werden . Unter normalisierten Ricci-Strömungsmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie konvergieren zu einer 2-dimensionalen Mannigfaltigkeit.

Die Geometrie des Universaldeckels von SL(2, "R")

Die universelle Abdeckung von SL(2, R ) wird mit bezeichnet . Es fasert über H 2 . Die Gruppe G hat 2 Komponenten. Seine Identitätskomponente hat die Struktur . Der Punktstabilisator ist O(2, R ).

Beispiele für diese Mannigfaltigkeiten sind: die Mannigfaltigkeit der Einheitsvektoren des Tangentialbündels einer hyperbolischen Fläche und allgemeiner die Brieskorn-Homologiesphären (mit Ausnahme der 3-Sphäre und des Poincare-Dodekaederraums ). Diese Geometrie kann als linksinvariante Metrik der Bianchi-Gruppe vom Typ VIII modelliert werden . Endliche Volumenmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie sind orientierbar und haben die Struktur eines Seifert-Faserraums . Die Klassifikation solcher Mannigfaltigkeiten findet sich im Artikel über Seifert-Faserräume . Unter normalisierten Ricci-Strömungsmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie konvergieren zu einer 2-dimensionalen Mannigfaltigkeit.

Null Geometrie

Siehe auch: Nilmanifold

Diese Fasern über E 2 und ist die Geometrie der Heisenberg-Gruppe . Der Punktstabilisator ist O(2, R ). Die Gruppe G hat 2 Komponenten und ist ein halbdirektes Produkt der 3-dimensionalen Heisenberg-Gruppe durch die Gruppe O(2, R ) von Isometrien eines Kreises. Kompakte Mannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie umfassen den Abbildungstorus eines Dehn-Twists eines 2-Torus oder den Quotienten der Heisenberg-Gruppe durch die "integrale Heisenberg-Gruppe". Diese Geometrie kann als linksinvariante Metrik der Bianchi-Gruppe vom Typ II modelliert werden . Endliche Volumenmannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie sind kompakt und orientierbar und haben die Struktur eines Seifert-Faserraums . Die Klassifikation solcher Mannigfaltigkeiten findet sich im Artikel über Seifert-Faserräume . Unter normalisiertem Ricci-Fluss konvergieren kompakte Mannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie zu R 2 mit der flachen Metrik.

Sol-Geometrie

Siehe auch: Solvmanifold

Diese Geometrie (auch genannt Solv Geometrie Fasern über die Faserlinie mit der Ebene), und ist die Geometrie der Identitätskomponente der Gruppe G . Der Punktstabilisator ist die Diedergruppe der Ordnung 8. Die Gruppe G hat 8 Komponenten und ist die Gruppe von Abbildungen vom 2-dimensionalen Minkowski-Raum auf sich selbst, die entweder Isometrien sind oder die Metrik mit −1 multiplizieren. Die Identitätskomponente hat eine Normalteiler R 2 mit Quotient R , wobei R auf R 2 mit 2 (reellen) Eigenräumen wirkt , mit unterschiedlichen reellen Eigenwerten von Produkt 1. Dies ist die Bianchi-Gruppe vom Typ VI 0 und die Geometrie kann modelliert werden als eine linksinvariante Metrik für diese Gruppe. Alle endlichen Volumenmannigfaltigkeiten mit Solv-Geometrie sind kompakt. Die kompakten Mannigfaltigkeiten mit Solv-Geometrie sind entweder der Abbildungs-Torus einer Anosov-Abbildung des 2-Torus (eine solche Abbildung ist ein Automorphismus des 2-Torus, der durch eine invertierbare 2 x 2-Matrix gegeben ist, deren Eigenwerte reell und verschieden sind, wie ) , oder deren Quotienten nach Ordnungsgruppen höchstens 8. Die Eigenwerte des Automorphismus des Torus erzeugen eine Ordnung eines reellen quadratischen Feldes, und die Lösungsmannigfaltigkeiten könnten prinzipiell nach Einheiten und idealen Klassen dieser Ordnung klassifiziert werden , obwohl die Details nirgendwo niedergeschrieben zu sein scheinen. Unter normalisierten Ricci-Strömungen konvergieren kompakte Mannigfaltigkeiten mit dieser Geometrie (eher langsam) zu R 1 .

Einzigartigkeit

Eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit hat eine geometrische Struktur von höchstens einem der 8 oben genannten Typen, aber nicht-kompakte 3-Mannigfaltigkeiten mit endlichem Volumen können gelegentlich mehr als eine Art von geometrischer Struktur haben. (Dennoch kann eine Mannigfaltigkeit viele verschiedene geometrische Strukturen des gleichen Typs haben; zum Beispiel hat eine Fläche der Gattung mindestens 2 ein Kontinuum verschiedener hyperbolischer Metriken.) Genauer gesagt, wenn M eine Mannigfaltigkeit mit einer endlichen geometrischen Volumenstruktur ist, dann wird die Art der geometrischen Struktur in Bezug auf die Fundamentalgruppe π 1 ( M ) fast wie folgt bestimmt :

  • Ist π 1 ( M ) endlich, dann ist die geometrische Struktur auf M sphärisch und M kompakt.
  • Wenn π 1 ( M ) praktisch cyclisch ist , aber nicht finite dann die geometrische Struktur auf M ist S 2 × R und M ist kompakt.
  • Wenn π 1 ( M ) praktisch abelsch aber nicht praktisch zyklisch ist, dann ist die geometrische Struktur auf M euklidisch und M ist kompakt.
  • Wenn π 1 ( M ) praktisch nilpotent, aber nicht praktisch abelsch ist, dann ist die geometrische Struktur auf M keine Geometrie, und M ist kompakt.
  • Wenn π 1 ( M ) praktisch lösbar, aber nicht praktisch nilpotent ist, dann ist die geometrische Struktur auf M Solv-Geometrie und M ist kompakt.
  • Wenn π 1 ( M ) eine unendliche normale zyklische Untergruppe hat, aber praktisch nicht lösbar ist, dann ist die geometrische Struktur auf M entweder H 2 × R oder die universelle Überdeckung von SL(2, R ). Der Verteiler M kann entweder kompakt oder nicht kompakt sein. Wenn es kompakt ist, können die 2 Geometrien dadurch unterschieden werden, ob π 1 ( M ) eine Untergruppe mit endlichem Index hat , die sich als halbdirektes Produkt der normalen zyklischen Untergruppe und etwas anderem aufspaltet. Wenn die Mannigfaltigkeit nicht kompakt ist, kann die Fundamentalgruppe die beiden Geometrien nicht unterscheiden, und es gibt Beispiele (wie das Komplement eines Kleeblattknotens), bei denen eine Mannigfaltigkeit eine geometrische Struktur mit endlichem Volumen beider Typen haben kann.
  • Wenn π 1 ( M ) keine unendliche normale zyklische Untergruppe hat und praktisch nicht lösbar ist, dann ist die geometrische Struktur auf M hyperbolisch, und M kann entweder kompakt oder nicht kompakt sein.

Unendliche Volumenmannigfaltigkeiten können viele verschiedene Arten von geometrischer Struktur haben: zum Beispiel kann R 3 6 der oben aufgeführten verschiedenen geometrischen Strukturen haben, da 6 der 8 Modellgeometrien dazu homöomorph sind. Wenn das Volumen nicht endlich sein muss, gibt es außerdem unendlich viele neue geometrische Strukturen ohne kompakte Modelle; zum Beispiel die Geometrie fast jeder nicht-unimodularen dreidimensionalen Lie-Gruppe.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit in Teile mit geometrischen Strukturen zu zerlegen. Zum Beispiel:

  • Wenn man zusammenhängende Summen mit mehreren Kopien von S 3 nimmt, ändert sich nichts an einer Mannigfaltigkeit.
  • Die zusammenhängende Summe zweier projektiver 3-Räume hat eine S 2 × R- Geometrie und ist auch die zusammenhängende Summe zweier Stücke mit S 3 -Geometrie.
  • Das Produkt aus einer Fläche mit negativer Krümmung und einem Kreis hat eine geometrische Struktur, kann aber auch entlang von Tori geschnitten werden, um kleinere Teile mit ebenfalls geometrischen Strukturen herzustellen. Für Seifert-Faserräume gibt es viele ähnliche Beispiele.

Es ist möglich, eine "kanonische" Zerlegung in Teile mit geometrischer Struktur zu wählen, indem man beispielsweise die Mannigfaltigkeit zunächst minimal in Primteile zerteilt und diese dann mit der kleinstmöglichen Anzahl von Tori zerteilt. Diese minimale Zersetzung ist jedoch nicht unbedingt diejenige, die von Ricci Flow erzeugt wird; tatsächlich kann der Ricci-Fluss eine Mannigfaltigkeit auf viele inäquivalente Weisen in geometrische Stücke zerlegen, abhängig von der Wahl der Anfangsmetrik.

Geschichte

Die Fields-Medaille wurde Thurston 1982 teilweise für seinen Beweis der Geometrisierungsvermutung für Hakenmannigfaltigkeiten verliehen .

Der Fall von 3-Mannigfaltigkeiten, die kugelförmig sein sollten, war langsamer, lieferte jedoch den Funken, den Richard S. Hamilton brauchte , um seinen Ricci-Fluss zu entwickeln . Im Jahr 1982 zeigte Hamilton, dass bei einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit mit einer Metrik positiver Ricci-Krümmung der Ricci-Fluss die Mannigfaltigkeit auf einen Punkt in endlicher Zeit kollabieren würde, was die Geometrisierungsvermutung für diesen Fall beweist, da die Metrik "fast rund" wird. kurz vor dem Zusammenbruch. Später entwickelte er ein Programm, um die Geometrisierungsvermutung von Ricci Flow mit einer Operation zu beweisen . Die Idee ist, dass der Ricci-Fluss im Allgemeinen Singularitäten erzeugt, aber man kann den Ricci-Fluss über die Singularität hinaus fortsetzen, indem man eine Operation verwendet, um die Topologie der Mannigfaltigkeit zu ändern. Grob gesagt kontrahiert die Ricci-Strömung positive Krümmungsbereiche und dehnt negative Krümmungsbereiche aus, so dass sie die Teile des Verteilers mit den "positiven Krümmungs"-Geometrien S 3 und S 2 × R abtöten sollte , während das, was bei großen Zeiten übrig bleibt, haben sollte eine Dick-Dünn-Zerlegung in ein „dickes“ Stück mit hyperbolischer Geometrie und eine „dünne“ Graphenmannigfaltigkeit .

Im Jahr 2003 skizzierte Grigori Perelman einen Beweis für die Geometrisierungsvermutung, indem er zeigte, dass der Ricci-Fluss tatsächlich über die Singularitäten hinaus fortgesetzt werden kann und das oben beschriebene Verhalten aufweist. Die Hauptschwierigkeit bei der Überprüfung von Perelmans Beweis der Geometrisierungsvermutung war eine kritische Verwendung seines Satzes 7.4 im Preprint 'Ricci Flow with Surgery on Three-Manifolds'. Dieser Satz wurde von Perelman ohne Beweis angegeben. Es gibt nun mehrere verschiedene Beweise von Perelmans Satz 7.4 oder Varianten davon, die ausreichen, um die Geometrisierung zu beweisen. Es gibt die Arbeit von Shioya und Yamaguchi, die den Stabilitätssatz von Perelman und einen Fibrationssatz für Alexandrov-Räume verwendet . Diese Methode, mit allen Details, die zum Nachweis der Geometrisierung führen, ist in der Exposition von Bruce Kleiner und John Lott zu finden .

Ein zweiter Weg zum letzten Teil von Perelmans Beweis der Geometrisierung ist die Methode von Bessières et al. , Die verwendet Thurston Hyperbolisierung Satz für Haken Verteiler und Gromov ‚s Norm für 3-Mannigfaltigkeiten. Ein Buch derselben Autoren mit vollständigen Angaben zu ihrer Version des Beweises wurde von der European Mathematical Society veröffentlicht .

Es enthält auch Beweise von Perelmans Theorem 7.4, es gibt eine Arbeit von Morgan und Tian , eine andere Arbeit von Kleiner und Lott und eine Arbeit von Jianguo Cao und Jian Ge.

Anmerkungen

Verweise

Externe Links