Gravitationsrotverschiebung - Gravitational redshift

Die gravitative Rotverschiebung einer Lichtwelle, wenn sie sich gegen ein Gravitationsfeld nach oben bewegt (erzeugt vom gelben Stern unten). Der Effekt ist in diesem Diagramm stark übertrieben.

In der Physik und der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die gravitative Rotverschiebung ( in der älteren Literatur als Einstein-Verschiebung bekannt ) das Phänomen, dass elektromagnetische Wellen oder Photonen, die aus einer Gravitationsquelle austreten (scheinen), Energie verlieren . Dieser Energieverlust entspricht eine Abnahme in der Wellenfrequenz und Erhöhung der Wellenlänge , als bekannte Rotverschiebung . Der gegenteilige Effekt, bei dem Photonen (scheinbar) Energie gewinnen, wenn sie in eine Gravitationsquelle gelangen, wird als Gravitationsblauverschiebung bezeichnet . Der Effekt wurde erstmals 1907 von Einstein beschrieben , acht Jahre vor seiner Veröffentlichung der vollständigen Relativitätstheorie .

Gravitationsrotverschiebung kann als Folge des Äquivalenzprinzips (dass Gravitation und Beschleunigung äquivalent sind und die Rotverschiebung durch den Dopplereffekt verursacht wird ) oder als Folge der Masse-Energie-Äquivalenz ('fallende' Photonen gewinnen Energie) interpretiert werden , obwohl es sind zahlreiche Feinheiten, die eine rigorose Herleitung erschweren. Eine gravitative Rotverschiebung kann äquivalent auch als gravitative Zeitdilatation an der Strahlungsquelle interpretiert werden : Wenn zwei Oszillatoren (die elektromagnetische Strahlung erzeugen) auf unterschiedlichen Gravitationspotentialen arbeiten , erscheint der Oszillator auf dem höheren Gravitationspotential (weiter vom anziehenden Körper entfernt) schneller „ticken“; das heißt, wenn er vom selben Ort aus beobachtet wird, hat er eine höhere gemessene Frequenz als der Oszillator bei dem niedrigeren Gravitationspotential (näher am anziehenden Körper).

In erster Näherung ist die Gravitationsrotverschiebung proportional zur Differenz des Gravitationspotentials geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat, , was zu einem sehr kleinen Effekt führt. Von der Sonnenoberfläche austretendes Licht wurde 1911 von Einstein mit einer Rotverschiebung von ungefähr 2 ppm oder 2 × 10 -6 vorhergesagt . Navigationssignale von GPS-Satelliten , die in 20.000 km Höhe umkreisen, werden um ca. 0,5 ppb oder 5 × 10 –10 blauverschoben wahrgenommen , was einer (vernachlässigbaren) Erhöhung der Frequenz eines 1,5 GHz GPS-Funksignals von weniger als 1 Hz entspricht (die die begleitende Gravitationszeitdilatation, die die Atomuhr im Satelliten beeinflusst, ist für eine genaue Navigation von entscheidender Bedeutung). Auf der Oberfläche der Erde ist das Gravitationspotential zu Höhe proportional, und die entsprechende Rotverschiebung ist etwa 10 -16 (0,1 Teile pro quadrillion ) pro Meter der Änderung der Elevation und / oder Höhe .

In der Astronomie wird die Größe einer gravitativen Rotverschiebung oft als die Geschwindigkeit ausgedrückt, die durch den relativistischen Dopplereffekt eine äquivalente Verschiebung erzeugen würde . In solchen Einheiten entspricht die Rotverschiebung des Sonnenlichts von 2 ppm einer Rückzugsgeschwindigkeit von 633 m/s, etwa in der Größenordnung von Konvektionsbewegungen in der Sonne, was die Messung erschwert. Das Blauverschiebungs-Äquivalent der Gravitationsgeschwindigkeit des GPS-Satelliten beträgt weniger als 0,2 m/s, was im Vergleich zu der tatsächlichen Doppler-Verschiebung, die sich aus seiner Orbitalgeschwindigkeit ergibt, vernachlässigbar ist. Bei astronomischen Objekten mit starken Gravitationsfeldern kann die Rotverschiebung viel größer sein; Licht von der Oberfläche eines Weißen Zwergs wird beispielsweise im Mittel um etwa 50 km/s/c (etwa 170 ppm) gravitativ rotverschoben.

Die Beobachtung der gravitativen Rotverschiebung im Sonnensystem ist einer der klassischen Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie . Die hochpräzise Messung der Gravitationsrotverschiebung mit Atomuhren kann als Test der Lorentz-Symmetrie und als Orientierungshilfe für die Suche nach Dunkler Materie dienen .

Vorhersage nach dem Äquivalenzprinzip und der allgemeinen Relativitätstheorie

Gleichmäßiges Gravitationsfeld oder Beschleunigung

Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie beinhaltet das Äquivalenzprinzip , das auf verschiedene Weise formuliert werden kann. Eine solche Aussage ist, dass Gravitationseffekte für einen frei fallenden Beobachter lokal nicht nachweisbar sind. Daher sollten in einem Laborexperiment an der Erdoberfläche alle Gravitationseffekte den Effekten entsprechen, die beobachtet worden wären, wenn das Labor bei g durch den Weltraum beschleunigt worden wäre . Eine Folge ist ein Gravitations- Doppler-Effekt . Wird am Boden des Labors ein Lichtimpuls ausgesendet, so sagt ein frei fallender Beobachter, dass sich die Decke bis zum Erreichen der Decke davon beschleunigt hat und daher bei Beobachtung durch einen an der Decke befestigten Detektor wird als Doppler-verschoben zum roten Ende des Spektrums beobachtet. Diese Verschiebung, die der frei fallende Beobachter als kinematische Dopplerverschiebung ansieht, stellt sich der Laborbeobachter als gravitative Rotverschiebung vor. Ein solcher Effekt wurde im Pound-Rebka-Experiment von 1959 nachgewiesen . In einem Fall wie diesem, in dem das Gravitationsfeld gleichförmig ist, ist die Wellenlängenänderung gegeben durch

wo ist die höhenänderung. Da sich diese Vorhersage direkt aus dem Äquivalenzprinzip ergibt, erfordert sie keinen der mathematischen Apparate der Allgemeinen Relativitätstheorie, und ihre Überprüfung unterstützt die Allgemeine Relativitätstheorie nicht speziell gegenüber einer anderen Theorie, die das Äquivalenzprinzip beinhaltet.

Auf der Erdoberfläche (oder in einem mit 1 g beschleunigten Raumschiff) beträgt die Gravitationsrotverschiebung ungefähr 1,1 × 10 –16 , das entspricht einer Dopplerverschiebung von 3,3 × 10 –8 m/s für jeden Meter Höhenunterschied.

Kugelsymmetrisches Gravitationsfeld

Wenn das Feld nicht gleichförmig ist, ist der einfachste und nützlichste Fall der eines kugelsymmetrischen Feldes. Durch Birkhoffs Theorems , ein solches Feld in der allgemeinen Relativitätstheorie durch die beschriebene Schwarzschild - Metrik , wo ist die Taktzeit von einem Beobachter in einer Entfernung R von der Mitte, ist die Zeit von einem Beobachter , gemessen im Unendlichen, ist der Schwarzschild - Radius “. .." stellt Begriffe dar, die verschwinden, wenn der Beobachter ruht, ist die Newtonsche Gravitationskonstante , die Masse des gravitierenden Körpers und die Lichtgeschwindigkeit . Das Ergebnis ist, dass Frequenzen und Wellenlängen entsprechend dem Verhältnis verschoben werden

wo

  • ist die vom Beobachter im Unendlichen gemessene Wellenlänge des Lichts,
  • die an der Emissionsquelle gemessene Wellenlänge ist und
  • ist der Radius, bei dem das Photon emittiert wird.

Dies kann auf den Rotverschiebungsparameter bezogen werden, der herkömmlich als definiert wird .

Für den Fall, dass weder der Emitter noch der Beobachter im Unendlichen sind, erlaubt uns die Transitivität der Doppler-Verschiebungen, das Ergebnis auf zu verallgemeinern . Die Rotverschiebungsformel für die Frequenz lautet . Wenn klein ist, stimmen diese Ergebnisse mit der oben angegebenen Gleichung auf der Grundlage des Äquivalenzprinzips überein.

Das Rotverschiebungsverhältnis kann auch als (Newtonsche) Fluchtgeschwindigkeit bei ausgedrückt werden , was den entsprechenden Lorentz-Faktor ergibt :

.

Für ein Objekt, das kompakt genug ist, um einen Ereignishorizont zu haben , ist die Rotverschiebung für Photonen, die innerhalb des Schwarzschild-Radius emittiert werden, nicht definiert, sowohl weil Signale aus dem Inneren des Horizonts nicht entweichen können als auch weil ein Objekt wie der Emitter nicht innerhalb des Horizonts stationär sein kann, wie es war oben angenommen. Daher gilt diese Formel nur, wenn größer als ist . Wenn das Photon in einer Entfernung gleich dem Schwarzschild-Radius emittiert wird, ist die Rotverschiebung unendlich groß, und es entweicht in keine endliche Entfernung von der Schwarzschild-Kugel. Wenn das Photon in unendlich großer Entfernung emittiert wird, gibt es keine Rotverschiebung.

Newtonsche Grenze

Im Newtonschen Limes, dh wenn ausreichend groß im Vergleich zum Schwarzschildradius , kann die Rotverschiebung angenähert werden als

wo ist die gravitationsbeschleunigung bei . Für die Erdoberfläche in Bezug auf die Unendlichkeit beträgt z ungefähr 7 × 10 –10 (das Äquivalent einer radialen Doppler-Verschiebung von 0,2 m/s); für den Mond beträgt sie ungefähr 3 × 10 -11 (ca. 1 cm/s). Der Wert für die Sonnenoberfläche beträgt etwa 2 × 10 -6 , entsprechend 0,64 km/s. (Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten kann die radiale Doppler-Äquivalentgeschwindigkeit durch Multiplikation von z mit der Lichtgeschwindigkeit angenähert werden .)

Der z-Wert kann prägnant als Fluchtgeschwindigkeit bei ausgedrückt werden , da das Gravitationspotential gleich dem halben Quadrat der Fluchtgeschwindigkeit ist , also:

wo ist die Fluchtgeschwindigkeit bei .

Es kann auch auf die Kreisbahngeschwindigkeit bei bezogen werden , die gleich ist , also

.

Zum Beispiel würde die gravitative Blauverschiebung des fernen Sternenlichts aufgrund der Schwerkraft der Sonne, die die Erde mit etwa 30 km/s umkreist, ungefähr 1 × 10 –8 betragen oder einer radialen Doppler-Verschiebung von 3 m/s entsprechen. Die Erde befindet sich jedoch im freien Fall um die Sonne und ist somit ein Trägheitsbeobachter, sodass der Effekt nicht sichtbar ist.

Für ein Objekt in einer (circular) die Umlaufbahn, ist die Gravitationsrotverschiebung von vergleichbarer Größe wie der transversalen Doppler - Effekt , wobei β = v / c , während beide viel kleiner als die sind radiale Doppler - Effekt , für die .

Experimentelle Verifizierung

Astronomische Beobachtungen

Eine Reihe von Experimentatoren behaupteten zunächst, den Effekt durch astronomische Messungen identifiziert zu haben, und der Effekt wurde schließlich 1925 von WS Adams in den Spektrallinien des Sterns Sirius B identifiziert . Allerdings wurden die Messungen von Adams als zu niedrig und diese Beobachtungen gelten heute als Messungen von Spektren, die wegen des Streulichts des Primärs, Sirius A, unbrauchbar sind. Die erste genaue Messung der gravitativen Rotverschiebung eines Weißen Zwergs wurde 1954 von Popper mit einer Messung von 21 km /s Gravitationsrotverschiebung von 40 Eridani B. Die Rotverschiebung von Sirius B wurde schließlich von Greenstein et al. 1971 wurde der Wert für die gravitative Rotverschiebung von 89 ± 19 km/s ermittelt, wobei genauere Messungen des Hubble-Weltraumteleskops 80,4 ± 4,8 km/s ergaben.

James W. Brault , ein Doktorand von Robert Dicke an der Princeton University , maß 1962 die gravitative Rotverschiebung der Sonne mit optischen Methoden. Im Jahr 2020 veröffentlichte ein Wissenschaftlerteam die bisher genaueste Messung der solaren Gravitationsrotverschiebung von Analysieren von Fe- Spektrallinien im vom Mond reflektierten Sonnenlicht; ihre Messung einer mittleren globalen Linienverschiebung von 638 ± 6 m/s stimmt mit dem theoretischen Wert von 633,1 m/s überein. Die Messung der Sonnenrotverschiebung wird durch die durch die Bewegung der Sonnenoberfläche verursachte Dopplerverschiebung erschwert, die ähnlich groß ist wie der Gravitationseffekt.

Im Jahr 2011 sammelte die Gruppe von Radek Wojtak vom Niels-Bohr-Institut an der Universität Kopenhagen Daten von 8000 Galaxienhaufen und stellte fest, dass das von den Haufenzentren ausgehende Licht im Vergleich zu den Haufenrändern tendenziell rotverschoben ist, was den Energieverlust durch zur Schwerkraft.

Im Jahr 2018 näherte sich der Stern S2 Sgr A* , dem supermassiven Schwarzen Loch mit 4 Millionen Sonnenmassen im Zentrum der Milchstraße , am nächsten und erreichte beim Passieren 7650 km/s oder etwa 2,5% der Lichtgeschwindigkeit das Schwarze Loch in einer Entfernung von nur 120 AE oder 1400 Schwarzschildradien . Unabhängige Analysen der GRAVITY-Kollaboration (geführt von Reinhard Genzel ) und der KECK/UCLA Galactic Center Group (geführt von Andrea Ghez ) zeigten eine kombinierte transversale Doppler- und Gravitationsrotverschiebung bis zu 200 km/s/c, in Übereinstimmung mit Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Im Jahr 2021 konnten Mediavilla ( IAC , Spanien) & Jiménez-Vicente ( UGR , Spanien) Messungen der Gravitationsrotverschiebung in Quasaren bis hin zur kosmologischen Rotverschiebung von z~3 verwenden, um die Vorhersagen des Einsteinschen Äquivalenzprinzips und das Fehlen kosmologischer Entwicklung innerhalb von 13%.

Terrestrische Tests

Der Effekt gilt nun als endgültig bestätigt durch die Experimente von Pound , Rebka und Snider zwischen 1959 und 1965. Das Pound-Rebka-Experiment von 1959 maß die Gravitationsrotverschiebung in Spektrallinien mit einer terrestrischen 57 Fe- Gammaquelle über eine vertikale Höhe von 22,5 Meter. Diese Arbeit war die erste Bestimmung der gravitativen Rotverschiebung, bei der Messungen der Wellenlängenänderung von Gammastrahlungsphotonen verwendet wurden, die mit dem Mößbauer-Effekt erzeugt wurden, der Strahlung mit einer sehr schmalen Linienbreite erzeugt. Die Genauigkeit der Gammastrahlenmessungen betrug typischerweise 1%.

Ein verbessertes Experiment wurde 1965 von Pound und Snider mit einer Genauigkeit von besser als 1 % durchgeführt.

1976 wurde ein sehr genaues Gravitationsrotverschiebungsexperiment durchgeführt, bei dem eine Wasserstoff- Maser- Uhr auf einer Rakete in eine Höhe von 10.000 km gebracht und ihre Geschwindigkeit mit einer identischen Uhr am Boden verglichen wurde. Es testete die Gravitationsrotverschiebung auf 0,007%.

Spätere Tests können mit dem Global Positioning System (GPS) durchgeführt werden, das die gravitative Rotverschiebung in seinem Zeitmesssystem berücksichtigen muss, und Physiker haben Zeitdaten des GPS analysiert, um andere Tests zu bestätigen. Als der erste Satellit gestartet wurde, zeigte er die vorhergesagte Verschiebung von 38 Mikrosekunden pro Tag. Diese Diskrepanzrate reicht aus, um die Funktion von GPS innerhalb von Stunden erheblich zu beeinträchtigen, wenn sie nicht berücksichtigt wird. Eine hervorragende Darstellung der Rolle der Allgemeinen Relativitätstheorie beim Design von GPS findet sich in Ashby 2003.

Im Jahr 2020 hat eine Gruppe der Universität Tokio die gravitative Rotverschiebung zweier optischer Strontium-87- Gitteruhren gemessen . Die Messung fand am Tokyo Tower statt, wo die Uhren etwa 450 m voneinander entfernt und über Telekommunikationsfasern verbunden waren. Die gravitative Rotverschiebung kann ausgedrückt werden als

,

Dabei ist die Gravitationsrotverschiebung, die Übergangsfrequenz der optischen Uhr, die Differenz des Gravitationspotentials und die Verletzung der Allgemeinen Relativitätstheorie. Durch Ramsey-Spektroskopie des optischen Strontium-87-Uhrenübergangs (429 THz, 698 nm) bestimmte die Gruppe die gravitative Rotverschiebung zwischen den beiden optischen Uhren zu 21,18 Hz, was einem z- Wert von etwa 5 × 10 –14 entspricht . Ihr gemessener Wert von , , stimmt mit neueren Messungen überein, die mit Wasserstoffmasern in elliptischen Bahnen gemacht wurden.

Frühe historische Entwicklung der Theorie

Die gravitative Abschwächung des Lichts von Sternen mit hoher Schwerkraft wurde von John Michell im Jahr 1783 und Pierre-Simon Laplace im Jahr 1796 vorhergesagt , wobei Isaac Newtons Konzept der Lichtkörperchen (siehe: Emissionstheorie ) verwendet wurde und der voraussagte, dass einige Sterne eine Gravitation haben würden so stark, dass das Licht nicht entweichen konnte. Die Wirkung der Schwerkraft auf das Licht wurde dann von Johann Georg von Soldner (1801) untersucht, der die Ablenkung eines Lichtstrahls durch die Sonne berechnete und zu der Newtonschen Antwort kam, die die Hälfte des von der allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Wertes ist . All diese frühen Arbeiten gingen davon aus, dass sich Licht verlangsamen und fallen könnte, was mit dem modernen Verständnis von Lichtwellen nicht vereinbar ist.

Nachdem angenommen wurde, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist, war klar, dass sich die Frequenz des Lichts nicht von Ort zu Ort ändern sollte, da Wellen einer Quelle mit einer festen Frequenz überall dieselbe Frequenz haben. Eine Möglichkeit, diese Schlussfolgerung zu umgehen, wäre, die Zeit selbst zu ändern – wenn Uhren an verschiedenen Punkten unterschiedliche Geschwindigkeiten hätten.

Genau dies war Einsteins Schlussfolgerung im Jahr 1911. Er betrachtete eine beschleunigende Box und stellte fest, dass gemäß der speziellen Relativitätstheorie die Taktrate am "Boden" der Box (der von der Beschleunigungsrichtung abgewandten Seite) langsamer war als die Taktrate "oben" (die Seite in Richtung der Beschleunigung). Dies lässt sich heute leicht in beschleunigten Koordinaten darstellen . Der metrische Tensor in Einheiten, bei denen die Lichtgeschwindigkeit eins ist, ist:

und für einen Beobachter bei einem konstanten Wert von r ist die Rate, mit der eine Uhr tickt, R(r), die Quadratwurzel des Zeitkoeffizienten, R(r) = r. Die Beschleunigung am Ort r ist gleich der Krümmung der Hyperbel bei festem r und wie die Krümmung der verschachtelten Kreise in Polarkoordinaten gleich 1/r.

Bei einem festen Wert von g ist die fraktionelle Änderungsrate der Taktrate, die prozentuale Änderung des Tickens oben in einer Beschleunigungsbox vs. unten:

Die Geschwindigkeit ist bei größeren Werten von R schneller, weg von der scheinbaren Beschleunigungsrichtung. Die Rate ist Null bei r=0, dem Ort des Beschleunigungshorizonts .

Unter Verwendung des Äquivalenzprinzips folgerte Einstein, dass in jedem Gravitationsfeld dasselbe gilt, dass die Geschwindigkeit der Uhren R in verschiedenen Höhen entsprechend dem Gravitationsfeld g geändert wird. Wenn g langsam variiert, gibt es die fraktionelle Änderungsrate der Ticking-Rate an. Wenn die Ticking-Rate überall fast gleich ist, ist die fraktionelle Änderungsrate gleich der absoluten Änderungsrate, so dass:

Da der Takt der Uhren und das Gravitationspotential die gleiche Ableitung haben, sind sie bis auf eine Konstante gleich. Die Konstante wird so gewählt, dass die Taktrate im Unendlichen gleich 1 ist. Da das Gravitationspotential im Unendlichen Null ist:

wo die Lichtgeschwindigkeit wiederhergestellt wurde, um das Gravitationspotential dimensionslos zu machen.

Der Koeffizient des im metrischen Tensor ist das Quadrat der Taktrate, die für kleine Potentialwerte gegeben ist, indem nur der lineare Term beibehalten wird:

und der volle metrische Tensor ist:

wo wieder die C's restauriert wurden. Dieser Ausdruck ist in der vollständigen Allgemeinen Relativitätstheorie korrekt, bis hin zur niedrigsten Ordnung im Gravitationsfeld, und ignoriert die Variation der Raum-Raum- und Raum-Zeit-Komponenten des metrischen Tensors, die nur sich schnell bewegende Objekte betreffen.

Mit dieser Näherung reproduzierte Einstein 1909 den falschen Newtonschen Wert für die Lichtablenkung. Da ein Lichtstrahl jedoch ein sich schnell bewegendes Objekt ist, tragen auch die Raum-Raum-Komponenten bei. Nachdem er 1916 die vollständige Allgemeine Relativitätstheorie erstellt hatte, löste Einstein nach den Raum-Raum-Komponenten in einer post-Newtonschen Näherung auf und berechnete den korrekten Betrag der Lichtablenkung – den doppelten Newtonschen Wert. Einsteins Vorhersage wurde durch viele Experimente bestätigt, beginnend mit Arthur Eddingtons Sonnenfinsternis-Expedition von 1919.

Die sich ändernden Taktraten der Uhren erlaubten Einstein den Schluss, dass Lichtwellen ihre Frequenz ändern, wenn sie sich bewegen, und die Frequenz/Energie-Beziehung für Photonen ließ ihn erkennen, dass dies am besten als Effekt des Gravitationsfeldes auf die Masse-Energie des Photons interpretiert werden konnte . Um die Frequenzänderungen in einem nahezu statischen Gravitationsfeld zu berechnen, ist nur die Zeitkomponente des metrischen Tensors wichtig, und die Näherung niedrigster Ordnung ist genau genug für gewöhnliche Sterne und Planeten, die viel größer sind als ihr Schwarzschildradius .

Siehe auch

Zitate

Verweise

Primäre Quellen

  • Laplace, Pierre-Simon (1796). Das System der Welt . 2 (1809 englische Übersetzung Hrsg.). London: Richard Phillips. S. 366–368.

Andere Quellen