Großer Kreis -Great circle

Ein Großkreis teilt die Kugel in zwei gleiche Halbkugeln.

In der Mathematik ist ein Großkreis oder Orthodrom der kreisförmige Schnittpunkt einer Kugel und einer Ebene , die durch den Mittelpunkt der Kugel geht .

Jeder Bogen eines Großkreises ist eine Geodäte der Kugel, so dass Großkreise in Kugelgeometrie das natürliche Analogon von geraden Linien im euklidischen Raum sind . Für jedes Paar unterschiedlicher nicht- antipodaler Punkte auf der Kugel gibt es einen eindeutigen Großkreis, der durch beide geht. (Jeder Großkreis durch einen beliebigen Punkt geht auch durch seinen Antipodenpunkt, also gibt es unendlich viele Großkreise durch zwei Antipodenpunkte.) Der kürzere der beiden Großkreisbögen zwischen zwei verschiedenen Punkten auf der Kugel wird als kleiner Bogen bezeichnet ist der kürzeste Oberflächenweg zwischen ihnen. Seine Bogenlänge ist der Großkreisabstand zwischen den Punkten (der intrinsische Abstand auf einer Kugel) und ist proportional zum Maß des Zentriwinkels , der durch die beiden Punkte und den Mittelpunkt der Kugel gebildet wird.

Ein Großkreis ist der größte Kreis, der auf einer beliebigen Kugel gezeichnet werden kann. Jeder Durchmesser eines beliebigen Großkreises fällt mit einem Durchmesser der Kugel zusammen, und daher ist jeder Großkreis konzentrisch mit der Kugel und hat den gleichen Radius . Jeder andere Kreis der Kugel wird als kleiner Kreis bezeichnet und ist der Schnittpunkt der Kugel mit einer Ebene, die nicht durch ihren Mittelpunkt geht. Kleine Kreise sind das kugelförmige Analogon von Kreisen im euklidischen Raum.

Jeder Kreis im euklidischen 3-Raum ist ein Großkreis aus genau einer Kugel.

Die von einem Großkreis begrenzte Scheibe wird als große Scheibe bezeichnet : Sie ist der Schnittpunkt einer Kugel und einer Ebene, die durch ihren Mittelpunkt verläuft. In höheren Dimensionen sind die Großkreise auf der n -Sphäre der Schnittpunkt der n -Sphäre mit 2-Ebenen, die durch den Ursprung im euklidischen Raum Rn + 1 verlaufen .

Ableitung kürzester Wege

Um zu beweisen, dass der kleine Bogen eines Großkreises der kürzeste Weg ist, der zwei Punkte auf der Oberfläche einer Kugel verbindet, kann man die Variationsrechnung darauf anwenden.

Betrachten Sie die Klasse aller regulären Pfade von einem Punkt zu einem anderen Punkt . Kugelkoordinaten so einführen , dass sie mit dem Nordpol zusammenfallen. Jede Kurve auf der Kugel, die keinen der beiden Pole schneidet, außer möglicherweise an den Endpunkten, kann durch parametrisiert werden

vorausgesetzt, wir erlauben , beliebige reelle Werte anzunehmen. Die infinitesimale Bogenlänge in diesen Koordinaten ist

Die Länge einer Kurve von bis ist also ein Funktional der Kurve gegeben durch

Gemäß der Euler-Lagrange-Gleichung wird genau dann minimiert, wenn

,

wo ist eine -unabhängige Konstante, und

Aus der ersten Gleichung dieser beiden kann man das erhalten

.

Integriert man beide Seiten und berücksichtigt man die Randbedingung, ist die reelle Lösung von Null. Somit kann und ein beliebiger Wert zwischen 0 und sein , was anzeigt, dass die Kurve auf einem Meridian der Kugel liegen muss. In kartesischen Koordinaten ist dies

das ist eine Ebene durch den Ursprung, dh den Mittelpunkt der Kugel.

Anwendungen

Einige Beispiele für Großkreise auf der Himmelskugel sind der Himmelshorizont , der Himmelsäquator und die Ekliptik . Großkreise werden auch als ziemlich genaue Annäherungen an Geodäten auf der Erdoberfläche für die Luft- oder Seenavigation (obwohl es keine perfekte Kugel ist ) sowie auf kugelförmigen Himmelskörpern verwendet .

Der Äquator der idealisierten Erde ist ein Großkreis und jeder Meridian und sein gegenüberliegender Meridian bilden einen Großkreis. Ein weiterer Großkreis ist derjenige, der die Land- und Wasserhalbkugeln teilt . Ein Großkreis teilt die Erde in zwei Hemisphären und wenn ein Großkreis durch einen Punkt geht, muss er durch seinen Antipodenpunkt gehen .

Die Funk-Transformation integriert eine Funktion entlang aller Großkreise der Sphäre.

Siehe auch

Verweise

Externe Links