Der Schwerpunktsatz von Pappus - Pappus's centroid theorem

Der Satz wird auf einen offenen Zylinder, Kegel und eine Kugel angewendet, um ihre Oberflächen zu erhalten. Die Schwerpunkte haben einen Abstand a (in Rot) von der Rotationsachse.

In der Mathematik Pappos der Zentroid - Theorem (auch bekannt als den Satz Guldinus , Pappos-Guldinus Theorem oder Pappos Theorem ist) ein von zwei verwandten Theoremen Umgang mit den Flächen und Volumina von Oberflächen und Feststoffen der Revolution.

Die Sätze werden Pappus von Alexandria und Paul Guldin zugeschrieben . Die Aussage von Pappus zu diesem Satz erscheint 1659 zum ersten Mal im Druck, aber sie war zuvor bekannt, Kepler 1615 und Guldin 1640.

Der erste Satz

Die ersten Theorem besagt , dass der Oberflächenbereich A einer Rotationsfläche , die durch eine sich drehende ebene Kurve C um eine Achse außerhalb C und auf der gleichen Ebene ist zu dem Produkt aus der gleichen Bogenlänge s von C und dem Abstand d gereist durch der geometrische Schwerpunkt von C :

${\displaystyle A=sd.}$

Zum Beispiel kann die Oberfläche des Torus mit kleinerem Radius r und Hauptradius R ist

${\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.}$

Der zweite Satz

Das zweite Theorem besagt , dass das Volumen V einem Rotationskörper , erzeugte durch eine rotierenden ebene Figur F um eine externe Achse zu dem Produkt aus der Fläche , die gleich ist A von F und dem Abstand d durch den geometrischen Schwerpunkt des gereist F . (Der Schwerpunkt von F unterscheidet sich normalerweise vom Schwerpunkt seiner Randkurve C .) Das heißt:

${\displaystyle V=Werbung}$

Zum Beispiel kann das Volumen des Torus mit kleinerem Radius r und Hauptradius R ist

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi^{2}Rr^{2}.}$

Dieser Spezialfall wurde von Johannes Kepler mit Hilfe von Infinitesimalen abgeleitet.

Beweis

Seien die Fläche von , der Rotationskörper von und das Volumen von . Angenommen, es beginnt in der -Ebene und dreht sich um die -Achse. Der Abstand des Schwerpunkts von von der -Achse ist seine -Koordinate ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle W}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle F}$${\displaystyle xz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle F}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle R={\frac {\iint _{F}x\,dA}{A}},}$

und der Satz besagt, dass

${\displaystyle V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \iint _{F}x\,dA.}$

Um dies zu zeigen, sei in der xz- Ebene, parametrisiert durch für , ein Parameterbereich. Da es sich im Wesentlichen um eine Abbildung von nach handelt , ist die Fläche von durch die Formel für die Änderung der Variablen gegeben : ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {\Phi} (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))}$${\displaystyle (u,v)\in F^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Phi}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle A=\iint_{F}dA=\iint_{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right |\,du\,dv=\iint_{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}- {\frac {\partial x}{\partial v}}{\frac {\partial z}{\partial u}}\right|\,du\,dv,}$

wo ist die Determinante der Jacobi-Matrix der Variablenänderung. ${\displaystyle \left|{\tfrac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|}$

Der Volumenkörper hat die toroidale Parametrisierung für im Parameterbereich ; und sein Volumen ist ${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbf {\Phi} (u,v,\theta)=(x(u,v)\cos\theta,x(u,v)\sin\theta,z(u,v))}$${\displaystyle (u,v,\theta)}$${\displaystyle W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi]}$

${\displaystyle V=\iiiint_{W}dV=\iiiint_{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta .}$

Erweiterung,

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta)}}\right|&=\left|\det { \begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos\theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos\theta &-x\sin\theta\ \[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin\theta &x\cos \theta \\[6pt ]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\right|\\[5pt]&=\left| -{\frac {\partial z}{\partial v}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\,x+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac { \partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right| =x\links|{\frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|.\end{ausgerichtet}}}$

Die letzte Gleichheit gilt , da die Drehachse extern sein muss , Bedeutung . Jetzt, ${\displaystyle F}$${\displaystyle x\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}V&=\iiiint_{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta)} }\right|\,du\,dv\,d\theta =\int _{0}^{2\pi}\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u, v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\ pi \iint_{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\, dv=2\pi\iint_{F}x\,dA\end{ausgerichtet}}}$

durch Variablenwechsel.

Verallgemeinerungen

Die Sätze können unter geeigneten Bedingungen für beliebige Kurven und Formen verallgemeinert werden.

Goodman & Goodman verallgemeinern den zweiten Satz wie folgt. Bewegt sich die Figur F durch den Raum, so dass sie senkrecht zur Kurve L steht , die vom Schwerpunkt von F gezeichnet wird , dann überstreicht sie einen Körper mit dem Volumen V = Ad , wobei A die Fläche von F und d die Länge von L ist . (Dies setzt voraus, dass sich der Festkörper nicht selbst schneidet.) Insbesondere kann F während der Bewegung um seinen Schwerpunkt rotieren.

Die entsprechende Verallgemeinerung des ersten Satzes gilt jedoch nur, wenn die vom Schwerpunkt gezogene Kurve L in einer Ebene senkrecht zur Ebene von C liegt .

In n-Dimensionen

Im Allgemeinen kann man einen dimensionalen Körper erzeugen, indem man einen dimensionalen Körper um eine dimensionale Kugel dreht . Dies nennt man einen Art-Revolutionskörper . Der -te Schwerpunkt von sei definiert durch ${\displaystyle n}$${\displaystyle np}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle R={\frac {\iint_{F}x^{p}\,dA}{A}},}$

Dann verallgemeinern sich die Sätze von Pappus zu:

Rotationsvolumen des -Festkörpers der Spezies = (Volumen des erzeugenden -Feststoffs) (Oberfläche der -Kugel, die vom -ten Schwerpunkt des erzeugenden Festkörpers verfolgt wird) ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$
${\displaystyle (n{-}p)}$${\displaystyle \times}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

und

Oberfläche des -Rotationskörpers der Spezies = (Oberfläche des erzeugenden -Feststoffs) (Oberflächenbereich der -Kugel, verfolgt vom -ten Schwerpunkt des erzeugenden Festkörpers) ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$
${\displaystyle (n{-}p)}$${\displaystyle \times}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Die ursprünglichen Sätze sind bei . ${\displaystyle n=3,\,p=1}$

Fußnoten

Verweise

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Pappus' Centroid Theorem" . MathWorld .