Höldersche Ungleichung - Hölder's inequality

In der mathematischen Analyse , Hölder-Ungleichung , benannt nach Otto Hölder ist eine grundlegende Ungleichheit zwischen Integrale und ein unverzichtbares Instrument für die Untersuchung von L ^p Räume .

Satz (Höldersche Ungleichung). Sei ( S , Σ, μ ) ein Maßraum und sei p , q ∈ [1, ∞] mit 1/ p + 1/ q = 1 . Dann gilt für alle messbaren realen - oder komplexe -wertigen Funktionen f und g auf S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Wenn zusätzlich, p , q ∈ (1, ∞) und f ∈ L ^p ( μ ) und g ∈ L ^q ( μ ) , dann Hölder-Ungleichung wird eine Gleichheit , wenn und nur wenn | f  | ^p und | g | ^q sind in L ¹ ( μ ) linear abhängig , dh es existieren reelle Zahlen α , β ≥ 0 , nicht beide Nullen, so dass α | f  | ^p = β | g | ^q μ – fast überall .

Die obigen Zahlen p und q heißen Hölder-Konjugierte zueinander. Der Spezialfall p = q = 2 ergibt eine Form der Cauchy-Schwarz-Ungleichung . Die Höldersche Ungleichung gilt auch dann, wenn || fg || ₁ ist unendlich, die rechte Seite ist dann auch unendlich. Umgekehrt, wenn f in L ^p ( μ ) und g in L ^q ( μ ) ist , dann liegt das punktweise Produkt fg in L ¹ ( μ ) vor .

Die Höldersche Ungleichung wird verwendet, um die Minkowski-Ungleichung zu beweisen , die die Dreiecksungleichung im Raum L ^p ( μ ) ist , und auch um zu beweisen , dass L ^q ( μ ) der duale Raum von L ^p ( μ ) für p ∈ ist [1, ) .

Hölders Ungleichung wurde zuerst von Leonard James Rogers ( Rogers (1888) ) gefunden und unabhängig von Hölder (1889) entdeckt .

Bemerkungen

Konventionen

Die kurze Darstellung der Hölderschen Ungleichung verwendet einige Konventionen.

• In der Definition von Hölder-Konjugaten bedeutet 1/∞ Null.
• Wenn p , q ∈ [1, ∞) , dann || f  || _p und || g || _q stehen für die (möglicherweise unendlichen) Ausdrücke

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&\left(\int_{S}|f|^{p}\,\mathrm {d}\mu\right)^{\frac {1}{p}}\ \&\left(\int_{S}|g|^{q}\,\mathrm{d}\mu\right)^{\frac {1}{q}}\end{ausgerichtet}}}$

• Wenn p = ∞ , dann || f  || _∞ steht für das wesentliche Supremum von | f  | , ähnlich für || g || _∞ .
• Die Schreibweise || f  || _p mit 1 ≤ p ≤ ∞ ist ein leichter Missbrauch, denn im Allgemeinen ist es nur eine Norm von f, wenn || f  || _p ist endlich und f gilt als Äquivalenzklasse von μ - fast überall gleiche Funktionen. Wenn f ∈ L ^p ( μ ) und g ∈ L ^q ( μ ) , dann ist die Notation ausreichend.
• Auf der rechten Seite der Hölderschen Ungleichung bedeutet 0 × ∞ sowie ∞ × 0 0. Die Multiplikation von a > 0 mit ∞ ergibt ∞.

Schätzungen für integrierbare Produkte

Seien f und g wie oben messbare reell- oder komplexwertige Funktionen, die auf S definiert sind . Wenn || fg || ₁ endlich ist, dann sind die punktweisen Produkte von f mit g und seiner komplex konjugierten Funktion μ -integrierbar, die Abschätzung

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int_{S}|fg|\,\ Mathematik {d} \mu =\|fg\|_{1}}$

und das ähnliche für fg hold, und die Höldersche Ungleichung kann auf die rechte Seite angewendet werden. Insbesondere wenn f und g in der liegen Raum Hilbert L ² ( μ ) , dann Höldersche Ungleichung für p = q = 2 bedeutet ,

${\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},}$

wobei sich die spitzen Klammern auf das innere Produkt von L ² ( μ ) beziehen . Dies wird auch Cauchy-Schwarz-Ungleichung genannt , erfordert aber für ihre Aussage, dass || f  || ₂ und || g || ₂ sind endlich, um sicherzustellen, dass das innere Produkt von f und g wohldefiniert ist. Wir können die ursprüngliche Ungleichung (für den Fall p = 2 ) wiederherstellen, indem wir die Funktionen | f  | und | g | anstelle von f und g .

Verallgemeinerung für Wahrscheinlichkeitsmaße

Wenn ( S , Σ, μ ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist , dann müssen p , q ∈ [1, ∞] nur 1/ p + 1/ q ≤ 1 erfüllen , anstatt Hölder-Konjugierte zu sein. Eine Kombination der Hölder-Ungleichung und der Jensen-Ungleichung impliziert, dass

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

für alle messbaren reell- oder komplexwertigen Funktionen f und g auf  S .

Bemerkenswerte Sonderfälle

Nehmen Sie für die folgenden Fälle an, dass p und q im offenen Intervall (1,∞) mit 1/ p + 1/ q = 1 liegen .

Zählmaß

Für den n -dimensionalen euklidischen Raum , wenn der Satz S ist {1, ..., n } mit der Zählmaß haben wir

${\displaystyle \sum_{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl(}\sum_{k=1}^{n}|x_{k }|^{p}{\biggr)}^{\frac{1}{p}}{\biggl(}\sum_{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{ \biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ für alle }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n })\in\mathbb{R}^{n}{\text{ oder }}\mathbb{C}^{n}.}$

Oft wird die folgende praktische Form davon verwendet, für alle : ${\displaystyle(r,s)\in\mathbb{R}_{+}}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum_{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}{\biggr)}^{r +s}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{r}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{s}.}$

Ist S = N mit dem Zählmaß, dann erhalten wir die Höldersche Ungleichung für Folgenräume :

${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl(}\sum _{k=1}^{\infty}|x_ {k}|^{p}{\biggr )}^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{\infty}|y_{k}|^{q} \right)^{\frac {1}{q}}{\text{ für alle }}(x_{k})_{k\in\mathbb{N}},(y_{k})_{k\ in \mathbb{N}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}{\text{ oder }}\mathbb{C}^{\mathbb{N}}.}$

Lebesgue-Maßnahme

Wenn S eine messbare Teilmenge von R ⁿ mit dem Lebesgue-Maß ist und f und g messbare reell- oder komplexwertige Funktionen auf  S sind , dann ist die Hölder-Ungleichung

${\displaystyle \int_{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl(}\int_{S}|f .) (x)|^{p}\,\mathrm{d}x{\biggr)}^{\frac {1}{p}}{\biggl(}\int_{S}|g(x)|^ {q}\,\mathrm{d}x{\biggr)}^{\frac{1}{q}}.}$

Wahrscheinlichkeitsmaß

Für den Wahrscheinlichkeitsraum sei der Erwartungsoperator bezeichnet . Für reell oder komplexwertige Zufallsvariablen und auf der Hölderschen Ungleichung lautet ${\displaystyle (\Omega,{\mathcal{F}},\mathbb{P}),}$${\displaystyle \mathbb{E}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Omega,}$

${\displaystyle \mathbb{E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb{E} {\bigl[}|X|^{p}{\bigr]}\right)^{\frac {1} {p}}\left(\mathbb{E} {\bigl[}|Y|^{q}{\bigr]}\right)^{\frac{1}{q}}.}$

Seien und definieren Dann ist die Hölder-Konjugation von Anwenden der Hölderschen Ungleichung auf die Zufallsvariablen und wir erhalten ${\displaystyle 0<r<s}$${\displaystyle p={\tfrac {s}{r}}.}$${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle |X|^{r}}$${\displaystyle 1_{\Omega}}$

${\displaystyle \mathbb{E} {\bigl[}|X|^{r}{\bigr]}\leqslant \left(\mathbb{E} {\bigl[}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}$

Insbesondere wenn das s- ^te absolute Moment endlich ist, dann ist auch das r-  ^te absolute Moment endlich. (Dies folgt auch aus Jensens Ungleichung .)

Produktmaß

Für zwei σ-endliche Maßräume ( S ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) und ( S ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) definieren Sie den Produktmaßraum durch

${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad\Sigma =\Sigma_{1}\otimes\Sigma_{2},\quad\mu =\mu_{1}\otimes\ mu _{2},}$

wobei S das kartesische Produkt von S ₁ und S _{2 ist} , die σ-Algebra Σ als Produkt σ-Algebra von Σ ₁ und Σ _{2 entsteht} und μ das Produktmaß von μ ₁ und μ _{2 bezeichnet} . Dann Tonelli Theorem ermöglicht es uns , Hölder-Ungleichung mit iterierten Integrale neu zu schreiben: Wenn  f und g sind Σ -messbar Echt oder komplexwertigen Funktionen auf dem cartesianischen Produkt  S , dann

${\displaystyle \int_{S_{1}}\int_{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu_{2}(\mathrm {d } y)\,\mu_{1}(\mathrm{d}x)\leq\left(\int_{S_{1}}\int_{S_{2}}|f(x,y)| ^{p}\,\mu_{2}(\mathrm{d}y)\,\mu_{1}(\mathrm{d}x)\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_{S_{1}}\int_{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu_{2}(\textrm{d}y)\ ,\mu_{1}(\mathrm{d}x)\right)^{\frac{1}{q}}.}$

Dies kann auf mehr als zwei σ-endliche Maßräume verallgemeinert werden.

Vektorwertige Funktionen

Lassen ( S , Σ, μ ) bezeichnet einen σ-endlichen Maßraum und annimmt , dass f = ( f ₁ , ..., f _n ) und g = ( g ₁ , ..., g _n ) sind Σ -messbar Funktionen auf S , wobei Werte im n- dimensionalen reellen oder komplexen euklidischen Raum angenommen werden. Indem wir das Produkt mit dem Zählmaß auf {1, ..., n } nehmen , können wir die obige Produktmaßversion der Hölderschen Ungleichung in die Form umschreiben

${\displaystyle \int_{S}\sum_{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x )\leq \left(\int_{S}\sum_{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu(\mathrm{d}x)\ rechts)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{S}\sum_{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\ mu (\mathrm{d}x)\right)^{\frac{1}{q}}.}$

Sind die beiden Integrale auf der rechten Seite endlich, dann gilt Gleichheit genau dann, wenn es reelle Zahlen α , β ≥ 0 gibt , nicht beide Nullen, so dass

${\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{ 1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),}$

für μ - fast alle x in S .

Diese endlichdimensionale Version verallgemeinert auf Funktionen f und g, die Werte in einem normierten Raum annehmen, der beispielsweise ein Folgenraum oder ein innerer Produktraum sein könnte .

Beweis der Hölderschen Ungleichung

Es gibt mehrere Beweise für die Höldersche Ungleichung; der Leitgedanke im Folgenden ist die Youngsche Ungleichung für Produkte .

Alternativer Beweis mit Jensen-Ungleichung: Erinnern Sie sich an die Jensen-Ungleichung für die konvexe Funktion (sie ist konvex, weil offensichtlich ): ${\displaystyle x^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \int hd\nu \leq \left(\int h^{p}d\nu \right)^{\frac {1}{p}}}$ (Diese Aussage ist falsch, indem man einfach die unbeschränkte Funktion g(x)=1 auf die Definition der integralen Hölder-Ungleichung verwendet - sie gibt nur "rechte Seite" < unendlich. Ein anderes Beispiel sei h(x) die Standard-Gaußsche Verteilung h (x)=1/sqrt(2*pi)*e^(-x^2/2), also sein Integral int_-inf^inf |h(x)|dx = 1, und seine Energie ist int_-inf^ inf |h(x)|^2 dx = 1/(2*sqrt(pi)) = 0.282, also seine Wurzel = 0.531, was kleiner als eins ist, was die vorgeschlagene Ungleichung verletzt).

wobei ν eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung und h eine beliebige ν- messbare Funktion ist. Sei μ ein beliebiges Maß und ν die Verteilung, deren Dichte bzgl. μ proportional zu ist , dh ${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle d\nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu}}d\mu}$

Daher haben wir mit , daher und lassen , ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$${\displaystyle p(1-q)+q=0}$${\displaystyle h=fg^{1-q}}$

${\displaystyle \int fg\,d\mu =\left(\int g^{q}\,d\mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace { {\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu}}d\mu} _{d\nu}\leq \left(\int g^{q}d\mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\ int g^{q}\,d\mu}}\,d\mu} _{d\nu}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\int g^{q} \,d\mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,d\mu}}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$

Endlich bekommen wir

${\displaystyle \int fg\,d\mu\leq \left(\int f^{p}\,d\mu\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{ q}\,d\mu\right)^{\frac {1}{q}}}$

Dies setzt f , g reell und nicht negativ voraus , aber die Erweiterung auf komplexe Funktionen ist unkompliziert (verwenden Sie den Modul von f , g ). Es nimmt auch an, dass weder null noch unendlich sind, und dass : alle diese Annahmen können auch wie im obigen Beweis aufgehoben werden. ${\displaystyle \|f\|_{p},\|g\|_{q}}$${\displaystyle p,q>1}$

Extreme Gleichberechtigung

Stellungnahme

Es sei 1 ≤ p < ∞ und q bezeichne die Hölder-Konjugierte. Dann gilt für jedes f ∈ L ^p ( μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d}\mu\right|:g\in L^{q} (\mu),\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$

wobei max angibt, dass es tatsächlich ein g gibt, das die rechte Seite maximiert. Wenn p = ∞ und wenn jeder Satz A in dem σ-Feld Σ mit μ ( A ) = ∞ enthält eine Teilmenge B ∈ Σ mit 0 < μ ( B ) <∞ (was insbesondere gilt, wenn μ ist σ-finite ) , dann

${\displaystyle \|f\|_{\infty}=\sup\left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d}\mu\right|:g\in L^{1 }(\mu),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Beweis der extremalen Gleichheit: Nach der Hölderschen Ungleichung sind die Integrale wohldefiniert und für 1 ≤ p ≤ ∞ ,

${\displaystyle \left|\int_{S}fg\,\mathrm {d}\mu\right|\leq \int_{S}|fg|\,\mathrm {d}\mu\leq\|f \|_{p},}$

daher wird die linke Seite immer oben durch die rechte Seite begrenzt.

Umgekehrt ist für 1 ≤ p ≤ ∞ zunächst zu beachten, dass die Aussage offensichtlich ist, wenn || f  || _p = 0 . Daher nehmen wir an || f  || _p > 0 im Folgenden.

Wenn 1 ≤ p < ∞ , definiere g auf S durch

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text {if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Durch getrenntes Prüfen der Fälle p = 1 und 1 < p < ∞ sehen wir, dass || g || _q = 1 und

${\displaystyle \int_{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.}$

Es bleibt noch der Fall p = ∞ zu betrachten . Für ε ∈ (0, 1) definiere

${\displaystyle A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon)\|f\|_{\infty}\right\}.}$

Da f messbar ist, gilt A ∈ Σ . Nach der Definition von || f  || _∞ als wesentliches Supremum von f und die Voraussetzung || f  || _∞ > 0 , wir haben μ ( A ) > 0 . Unter Verwendung der zusätzlichen Annahme über das σ-Feld Σ, falls nötig, existiert eine Teilmenge B ∈ Σ von A mit 0 < μ ( B ) < ∞ . Definiere g auf S durch

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu(B)}}{\frac {\|f\|_{\infty}}{f(x )}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Dann ist g wohldefiniert, messbar und | g ( x ) | ≤ 1/ μ ( B ) für x ∈ B , also || g || ₁ ≤ 1 . Außerdem,

${\displaystyle \left|\int_{S}fg\,\mathrm {d}\mu\right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu(B)}}\ |f\|_{\infty}\,\mathrm{d}\mu =(1-\varepsilon)\|f\|_{\infty}.}$

Anmerkungen und Beispiele

• Die Gleichheit für scheitert immer dann, wenn im -Feld eine Menge von unendlichen Maßen existiert , die keine Teilmenge hat , die erfüllt: (das einfachste Beispiel ist das -Feld, das nur die leere Menge und und das Maß mit enthält ) Dann erfüllt die Indikatorfunktion aber alle muss sein , auf überall konstant -fast weil es meßbare und diese konstante hat Null zu sein , weil ist -integrierbaren. Daher ist das obige Supremum für die Indikatorfunktion null und die Extremalgleichheit schlägt fehl.${\displaystyle p=\infty}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle B\in \Sigma}$${\displaystyle 0<\mu(B)<\infty.}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \mu(S)=\infty.}$ ${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle \|1_{A}\|_{\infty}=1,}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu)}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle g}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle 1_{A}}$
• Denn das Supremum wird in der Regel nicht erreicht. Als Beispiel seien let und das Zählmaß genannt. Definieren:${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle S=\mathbb{N},\Sigma={\mathcal{P}}(\mathbb{N})}$${\displaystyle\mu}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}}$

Dann For mit sei die kleinste natürliche Zahl mit Then${\displaystyle \|f\|_{\infty}=1.}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu,\mathbb{N})}$${\displaystyle 0<\|g\|_{1}\leqslant 1,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g(m)\neq 0.}$

${\displaystyle \left|\int_{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{ n=m+1}^{\infty}|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.}$

Anwendungen

• Die extremale Gleichheit ist eine Möglichkeit zum Beweis der Dreiecksungleichung || f ₁ + f ₂ || _p ≤ || f ₁ || _p + || f ₂ || _p für alle f ₁ und f ₂ in L ^p ( μ ) , siehe Minkowski-Ungleichung .
• Die Höldersche Ungleichung impliziert, dass jedes f ∈ L ^p ( μ ) ein beschränktes (oder stetiges) lineares Funktional κ _f auf L ^q ( μ ) definiert durch die Formel

${\displaystyle \kappa_{f}(g)=\int_{S}fg\,\mathrm {d}\mu,\qquad g\in L^{q}(\mu).}$

Die Extremalgleichung (wenn wahr) zeigt, dass die Norm dieses Funktionals κ _f als Element des stetigen Dualraums L ^q ( μ ) ^* mit der Norm von f in L ^p ( μ ) übereinstimmt (siehe auch den L ^p -Raum- Artikel ).

Verallgemeinerung der Hölderschen Ungleichung

Angenommen, r ∈ (0, ∞] und p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] mit

${\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

wobei 1/∞ in dieser Gleichung als 0 interpretiert wird. Dann gilt für alle messbaren reellen oder komplexwertigen Funktionen f ₁ , ..., f _n definiert auf S ,

${\displaystyle \left\|\prod_{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod_{k=1}^{n}\left\|f_ {k}\right\|_{p_{k}}}$

wobei wir jedes Produkt mit einem Faktor von ∞ als ∞ interpretieren, wenn alle Faktoren positiv sind, aber das Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist.

Vor allem, wenn für alle dann${\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu)}$${\displaystyle k\in\{1,\ldots,n\}}$${\displaystyle \prod_{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu).}$

Hinweis: Da im Gegensatz zur Notation || . || _r ist im Allgemeinen keine Norm, weil es die Dreiecksungleichung nicht erfüllt . ${\displaystyle r\in (0,1),}$

Beweis der Verallgemeinerung: Wir verwenden die Höldersche Ungleichung und die mathematische Induktion . Wenn dann ist das Ergebnis sofort. Gehen wir nun von nach über. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{n}.}$

Fall 1: Wenn dann ${\displaystyle p_{n}=\infty}$

${\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}$

Herausziehen des wesentlichen Supremums von | f _n | und mit der Induktionshypothese erhalten wir

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left\|f_{1}\cdots f_{n}\right\|_{r}&\leq \left\|f_{1}\cdots f_{n-1} \right\|_{r}\left\|f_{n}\right\|_{\infty}\\&\leq \left\|f_{1}\right\|_{p_{1}}\ cdots \left\|f_{n-1}\right\|_{p_{n-1}}\left\|f_{n}\right\|_{\infty}.\end{aligned}}}$

Fall 2: Wenn dann auch unbedingt , und dann ${\displaystyle p_{n}<\infty}$${\displaystyle r<\infty}$

${\displaystyle p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}},\qquad q:={\frac {p_{n}}{r}}}$

sind Hölder-Konjugierte in (1, ∞) . Die Anwendung der Hölderschen Ungleichung ergibt

${\displaystyle \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}\right\|_{1}\leq \left\ ||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\right\|_{p}\,\left\||f_{n}|^{r}\right\|_{q }.}$

Zur Macht erheben und neu schreiben, ${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\ |_{qr}.}$

Seit und ${\displaystyle qr=p_{n}}$

${\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_ {n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}},}$

die behauptete Ungleichung folgt nun mit der Induktionshypothese.

Interpolation

Seien p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] und seien θ ₁ , ..., θ _n ∈ (0, 1) Gewichte mit θ ₁ + ... + θ _n = 1. Definiere als das gewichtete harmonische Mittel , d. h. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac {\theta_{k}}{p_{k}}}.}$

Gegeben messbare reelle oder komplexwertige Funktionen auf S , dann ergibt die obige Verallgemeinerung der Hölderschen Ungleichung ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta_{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta_{n}}\right\|_{p}\leq\ links\||f_{1}|^{\theta_{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta_{1}}}\cdots \left\||f_{ n}|^{\theta_{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta_{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1} }^{\theta_{1}}\cdots\|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta_{n}}.}$

Insbesondere das Nehmen gibt ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod_{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta_{k}}.}$

Weitere Angeben θ ₁ = θ und θ ₂ = 1- θ , in dem Fall wir das erhalten Interpolation Ergebnis (Littlewood-Ungleichung) ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle \|f\|_{p_{\theta}}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta}\cdot \|f\|_{p_{0}}^ {1-\theta},}$

für und ${\displaystyle \theta\in (0,1)}$

${\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta}}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}. }$

Eine Anwendung von Hölder liefert die Ungleichung von Lyapunov: If

${\displaystyle p=(1-\theta)p_{0}+\theta p_{1},\qquad\theta\in (0,1),}$

dann

${\displaystyle \left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta)}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1} \theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\ |f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }}$

und besonders

${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\| _{p_{1}}^{p_{1}\theta}.}$

Sowohl Littlewood als auch Lyapunov implizieren, dass wenn dann für alle${\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}}$${\displaystyle f\in L^{p}}$${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.}$

Umgekehrte Hölder-Ungleichung

Angenommen, p ∈ (1, ∞) und der Maßraum ( S , Σ, μ ) erfüllt μ ( S ) > 0 . Dann für alle meßbaren Echt oder komplexwertige Funktionen f und g auf S , so dass g ( s ) ≠ 0 für μ -Fast alle s ∈ S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1} }.}$

Wenn

${\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,}$

dann ist die umgekehrte Hölder-Ungleichung genau dann eine Gleichheit, wenn

${\displaystyle \exists \alpha\geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad\mu {\text{-fast überall}}.}$

Hinweis: Die Ausdrücke:

${\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}\quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}, }$

sind keine Normen, sondern nur kompakte Notationen für

${\displaystyle \left(\int_{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu\right)^{p}\quad {\text{and} }\quad\left(\int_{S}|g|^{\frac{-1}{p-1}}\,\mathrm {d}\mu\right)^{-(p-1)} .}$

Beweis der umgekehrten Hölder-Ungleichung: Man beachte, dass p und

${\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty)}$

sind Hölder-Konjugate. Die Anwendung der Hölderschen Ungleichung ergibt

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1 }{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1 }{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\ |_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac { p-1}{p}}\end{ausgerichtet}}}$

Die Potenz von p gibt uns:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g |^{\frac{-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.}$

Deswegen:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p -1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.}$

Jetzt müssen wir uns nur noch an unsere Notation erinnern.

Da g nicht fast überall gleich auf die Null - Funktion ist, können wir Gleichheit haben , wenn und nur wenn es eine Konstante existiert & agr; & ge ; 0 , so dass | fg | = α  | g | ^{− q / p} fast überall. Das Auflösen nach dem Absolutwert von f liefert die Behauptung.

Bedingte Hölder-Ungleichung

Sei (Ω, F , )${\displaystyle \mathbb{P}}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, G ⊂ F eine Sub- σ-Algebra und p , q ∈ (1, ∞) Hölder konjugiert, d.h. 1/ p + 1/ q = 1 . Dann gilt für alle reell- oder komplexwertigen Zufallsvariablen X und Y auf  Ω ,

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl[}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr]}\leq {\bigl(}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal{G}}{\bigr]}{\bigr)}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl ( }\mathbb{E} {\bigl[}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal{G}}{\bigr]}{\bigr)}^{\frac {1}{ q}}\qquad\mathbb{P} {\text{-fast sicher.}}}$

Bemerkungen:

• Wenn eine nicht negative Zufallsvariable Z einen unendlichen Erwartungswert hat , dann ist ihr bedingter Erwartungswert definiert durch

${\displaystyle \mathbb{E} [Z|{\mathcal{G}}]=\sup_{n\in\mathbb{N}}\,\mathbb{E} [\min\{Z,n\} |{\mathcal{G}}]\quad {\text{as}}}$

• Auf der rechten Seite der bedingten Hölder-Ungleichung bedeutet 0 mal ∞ sowie ∞ mal 0 0. Die Multiplikation von a > 0 mit ∞ ergibt ∞.

Beweis der bedingten Hölder-Ungleichung: Definieren Sie die Zufallsvariablen

${\displaystyle U={\bigl(}\mathbb{E} {\bigl[}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr]}{\bigr) }^{\frac{1}{p}},\qquad V={\bigl(}\mathbb{E} {\bigl[}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal{ G}}{\bigr]}{\bigr)}^{\frac {1}{q}}}$

und beachten Sie, dass sie in Bezug auf die Sub-σ-Algebra messbar sind . Schon seit

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{ U=0\}}\underbrace {\mathbb{E} {\bigl[}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal{G}}{\bigr]}} _{=\ ,U^{p}}{\bigr]}=0,}$

daraus folgt | X | = 0 wie am Set { U = 0} . Ähnlich | Y | = 0 wie auf der Menge { V = 0} , also

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl[}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr]}=0\qquad {\text{wie auf }}\{U =0\}\cup \{V=0\}}$

und für diese Menge gilt die bedingte Hölder-Ungleichung. Am Set

${\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty\}}$

die rechte Seite ist unendlich und es gilt auch die bedingte Hölder-Ungleichung. Dividiert durch die rechte Seite bleibt also zu zeigen, dass

${\displaystyle {\frac {\mathbb{E} {\bigl[}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr]}}{UV}}\leq 1\qquad { \text{wie auf der Menge }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty\}.}$

Dies geschieht, indem überprüft wird, dass die Ungleichung nach Integration über ein beliebiges . gilt

${\displaystyle G\in {\mathcal{G}},\quad G\subset H.}$

Unter Verwendung der Messbarkeit von U, V, 1 _G bezüglich der Sub-σ-Algebra , den Regeln für bedingte Erwartungen, der Hölderschen Ungleichung und 1/ p + 1/ q = 1 sehen wir, dass

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}} {\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{ UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {| X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} { \biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{ \biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr]}{\biggr)}^{ \frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p }{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ wie auf }}G}1_{G}{ \biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [ }|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ wie auf }} G}1_{G}{\biggr]}{\biggr)}^{\frac{1}{q}}\\&=\mathbb{E} {\bigl[}1_{G}{\bigr]} .\end{ausgerichtet}}}$

Höldersche Ungleichung für steigende Seminormen

Sei S eine Menge und sei der Raum aller komplexwertigen Funktionen auf S . Sei N eine ansteigende Seminorm mit der Bedeutung, dass für alle reellwertigen Funktionen folgende Implikation gilt (die Seminorm darf auch den Wert ∞ annehmen): ${\displaystyle F(S,\mathbb{C})}$${\displaystyle F(S,\mathbb{C}),}$${\displaystyle f,g\in F(S,\mathbb{C})}$

${\displaystyle \forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).}$

Dann:

${\displaystyle \forall f,g\in F(S,\mathbb{C})\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl(}N(|f|^{p}){\bigr)} ^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},}$

wobei die Zahlen und Hölder konjugiert sind. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Bemerkung: Wenn ( S , Σ, μ ) ein Maßraum und das obere Lebesgue-Integral von ist, dann ergibt die Beschränkung von N auf alle Σ -messbaren Funktionen die übliche Version der Hölderschen Ungleichung. ${\displaystyle N(f)}$${\displaystyle |f|}$

Siehe auch

• Cauchy-Schwarz-Ungleichung
• Minkowski-Ungleichung
• Jensens Ungleichung
• Youngs Ungleichheit für Produkte
• Clarksons Ungleichungen
• Brascamp-Lieb-Ungleichung

Zitate

Verweise

• Grinshpan, AZ (2010), "Weighted inequalities and negative binomials", Advances in Applied Mathematics , 45 (4): 564–606, doi : 10.1016/j.aam.2010.04.004
• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1934), Ungleichheiten , Cambridge University Press , S. XII+314, ISBN 0-521-35880-9, JFM  60.0169.01 , Zbl  0010.10703.
• Hölder, O. (1889), "Über einen Mittelwertsatz" , Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , Band, 1889 (2): 38–47, JFM  21.0260.07. Erhältlich bei Digi Zeitschriften .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Hölder-Ungleichung" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rogers, LJ (Februar 1888), "Eine Erweiterung eines bestimmten Satzes in Ungleichheiten" , Messenger of Mathematics , New Series, XVII (10): 145–150, JFM  20.0254.02 , archiviert vom Original am 21. August 2007.
• Trèves, François (1967), Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel , Reine und Angewandte Mathematik. Eine Reihe von Monographien und Lehrbüchern, 25 , New York, London: Academic Press, MR  0225131 , Zbl  0171.10402.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Externe Links

• Kuttler, Kenneth (2007), An Introduction to Linear Algebra (PDF) , Online-E-Book im PDF-Format, Brigham Young University.
• Lohwater, Arthur (1982), Einführung in die Ungleichungen (PDF).
• Tisdell, Chris (2012), Holder's Inequality , Online-Video auf dem YouTube-Kanal von Dr. Chris Tisdell.