Hadwigers Theorem - Hadwiger's theorem

In Integralgeometrie (sonst geometrischen Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet wird ), Hadwiger Theorem charakterisiert die Bewertungen auf konvexen Körpern in R ⁿ . Es wurde von Hugo Hadwiger bewiesen .

Einführung

Bewertungen

Sei K ⁿ die Sammlung aller kompakten konvexen Mengen in R ⁿ . Eine Schätzung ist eine Funktion v : K ⁿ  →  R , so dass v (∅) = 0 und, für jeden S , T  ∈ K ⁿ , für die S ∪ T ∈ K ⁿ ,

${\ Anzeigestil v (S) + v (T) = v (S \ Kappe T) + v (S \ Tasse T) ~.}$

Eine Bewertung wird als kontinuierlich bezeichnet, wenn sie in Bezug auf die Hausdorff-Metrik kontinuierlich ist . Eine Bewertung wird unter starren Bewegungen als invariant bezeichnet, wenn v ( φ ( S )) =  v ( S ) ist, wenn S  ∈  K ⁿ und φ entweder eine Translation oder eine Rotation von R ^{n sind} .

Quermassintegrale

Die Quermassintegrale W _j :  K ⁿ  →  R werden über die Steiner-Formel definiert

${\ displaystyle \ mathrm {Vol} _ {n} (K + tB) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ binom {n} {j}} W_ {j} (K) t ^ { j} ~,}$

wobei B die euklidische Kugel ist. Zum Beispiel ist W ₀ das Volumen, W ₁ ist proportional zum Oberflächenmaß , W _{n -1} ist proportional zur mittleren Breite und W _n ist das konstante Volumen _n ( B ).

W _j ist eine Bewertung, die homogen vom Grad n - j ist, dh

${\ displaystyle W_ {j} (tK) = t ^ {nj} W_ {j} (K) ~, \ quad t \ geq 0 ~.}$

Aussage

Jede kontinuierliche Bewertung v von K ⁿ , die unter starren Bewegungen unveränderlich ist, kann als dargestellt werden

${\ displaystyle v (S) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} c_ {j} W_ {j} (S) ~.}$

Logische Folge

Jede kontinuierliche Bewertung v von K ⁿ , die unter starren Bewegungen unveränderlich und vom Grad j homogen ist, ist ein Vielfaches von W _{n - j} .

Verweise

Ein Bericht und ein Beweis für Hadwigers Theorem finden sich in

• Klain, DA; Rota, G.-C. (1997). Einführung in die geometrische Wahrscheinlichkeit . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. MR  1608265 .

Ein elementarer und in sich geschlossener Beweis wurde von Beifang Chen in gegeben

• Chen, B. (2004). "Ein vereinfachter elementarer Beweis von Hadwigers Volumensatz". Geom. Dedicata . 105 : 107–120. doi : 10.1023 / b: geom.0000024665.02286.46 . MR  2057247 .