Zersetzung handhaben - Handle decomposition

In der Mathematik ist eine Griffzerlegung einer m - Mannigfaltigkeit M eine Vereinigung

${\ displaystyle \ emptyyset = M _ {- 1} \ Teilmenge M_ {0} \ Teilmenge M_ {1} \ Teilmenge M_ {2} \ Teilmenge \ Punkte \ Teilmenge M_ {m-1} \ Teilmenge M_ {m} = M}$

wobei jedes aus erhalten durch das Anbringen von - Griffen . Eine Griffzerlegung ist für eine Mannigfaltigkeit das, was eine CW-Zerlegung für einen topologischen Raum ist - in vielerlei Hinsicht besteht der Zweck einer Griffzerlegung darin, eine Sprache zu haben, die CW-Komplexen analog ist, aber an die Welt der glatten Mannigfaltigkeiten angepasst ist . Somit ist ein i- Griff das glatte Analogon einer i- Zelle. Griffzerlegungen von Mannigfaltigkeiten entstehen auf natürliche Weise über die Morse-Theorie . Die Modifikation von Griffstrukturen ist eng mit der Cerf-Theorie verbunden . ${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle M_ {i-1}}$${\ displaystyle i}$

Motivation

Betrachten Sie die Standard- CW-Zerlegung der n- Kugel mit einer Nullzelle und einer einzelnen n- Zelle. Unter dem Gesichtspunkt glatter Mannigfaltigkeiten ist dies eine entartete Zersetzung der Kugel, da es keinen natürlichen Weg gibt, die glatte Struktur aus den Augen dieser Zersetzung zu sehen - insbesondere hängt die glatte Struktur in der Nähe der 0- Zelle von der ab Verhalten der charakteristischen Karte in einer Nachbarschaft von . ${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle \ chi: D ^ {n} \ bis S ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n-1}}$

Das Problem bei CW-Zerlegungen besteht darin, dass die angehängten Karten für Zellen nicht in der Welt der glatten Karten zwischen Mannigfaltigkeiten leben. Die wichtigste Erkenntnis zur Korrektur dieses Defekts ist der Satz der röhrenförmigen Nachbarschaft . Wenn ein Punkt p in einer Mannigfaltigkeit M gegeben ist , ist seine geschlossene röhrenförmige Nachbarschaft diffeomorph zu , daher haben wir M in die disjunkte Vereinigung von zerlegt und entlang ihrer gemeinsamen Grenze geklebt. Das entscheidende Problem hierbei ist, dass die Klebekarte ein Diffeomorphismus ist. In ähnlicher Weise nehmen Sie einen glatten eingebetteten Bogen in , dessen röhrenförmige Nachbarschaft ist diffeomorph zu . Dies ermöglicht es uns, als Vereinigung von drei Mannigfaltigkeiten zu schreiben , die entlang Teilen ihrer Grenzen geklebt sind: 1) 2) und 3) das Komplement der offenen röhrenförmigen Nachbarschaft des Bogens in . Beachten Sie, dass alle Klebekarten glatte Karten sind - insbesondere wenn wir auf die Äquivalenzrelation kleben , die durch die Einbettung von in erzeugt wird , die durch den Satz der röhrenförmigen Nachbarschaft glatt ist . ${\ displaystyle N_ {p}}$${\ displaystyle D ^ {m}}$${\ displaystyle N_ {p}}$${\ displaystyle M \ setminus \ operatorname {int} (N_ {p})}$${\ displaystyle M \ setminus \ operatorname {int} (N_ {p})}$${\ displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle D ^ {m}}$${\ displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ displaystyle M \ setminus \ operatorname {int} (N_ {p})}$${\ displaystyle I \ times D ^ {m-1}}$${\ displaystyle D ^ {m}}$${\ displaystyle (\ partielles I) \ mal D ^ {m-1}}$${\ displaystyle \ teilweise D ^ {m}}$

Griffzerlegungen sind eine Erfindung von Stephen Smale . In seiner ursprünglichen Formulierung setzt der Prozess des Anbringens eines j- Griffs an einer m- Mannigfaltigkeit M voraus, dass man eine glatte Einbettung von hat . Lass . Die Mannigfaltigkeit (in Worten M Vereinigung a j- Griff entlang f ) bezieht sich auf die disjunkte Vereinigung von und mit der Identifikation von mit ihrem Bild in , dh: ${\ displaystyle f: S ^ {j-1} \ mal D ^ {mj} \ bis \ partielle M}$${\ displaystyle H ^ {j} = D ^ {j} \ times D ^ {mj}}$${\ displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j}}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H ^ {j}}$${\ displaystyle S ^ {j-1} \ times D ^ {mj}}$${\ displaystyle \ partielles M}$

${\ displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j} = \ left (M \ sqcup (D ^ {j} \ times D ^ {mj}) \ right) / \ sim}$

wo die Äquivalenzbeziehung von für alle erzeugt wird . ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle (p, x) \ sim f (p, x)}$${\ displaystyle (p, x) \ in S ^ {j-1} \ mal D ^ {mj} \ Teilmenge D ^ {j} \ mal D ^ {mj}}$

Man sagt, dass eine Mannigfaltigkeit N aus M durch Anbringen von j- Griffen erhalten wird, wenn die Vereinigung von M mit endlich vielen j- Griffen zu N diffeomorph ist . Die Definition einer Handle-Zerlegung ist dann wie in der Einleitung. Somit hat ein Verteiler eine Griffzerlegung mit nur 0- Griffen, wenn er sich zu einer disjunkten Vereinigung von Kugeln unterscheidet. Ein angeschlossener Verteiler Griffe von nur zwei Arten enthalten (dh: 0-Handles und j -Griffe für einig festen j ) ist ein sogenannter Henkelkörper .

Terminologie

Bei der Bildung von M Union ein j- Griff${\ displaystyle H ^ {j}}$

${\ displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j} = \ left (M \ sqcup (D ^ {j} \ times D ^ {mj}) \ right) / \ sim}$

${\ displaystyle f (S ^ {j-1} \ times \ {0 \}) \ subset M}$ist als anhaftende Kugel bekannt .

${\ displaystyle f}$wird manchmal als Rahmen der anhaftenden Kugel bezeichnet, da sie eine Trivialisierung ihres normalen Bündels ermöglicht .

${\ displaystyle \ {0 \} ^ {j} \ times S ^ {mj-1} \ subset D ^ {j} \ times D ^ {mj} = H ^ {j}}$ist die Gürtelkugel des Griffs in . ${\ displaystyle H ^ {j}}$${\ displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j}}$

Ein Verteiler , erhalten durch Anbringen g k -Griffe an der Scheibe ist eine (m, k) -handlebody des Genus g . ${\ displaystyle D ^ {m}}$

Cobordism Präsentationen

Eine Griffdarstellung eines Cobordismus besteht aus einem Cobordismus W wo und einer aufsteigenden Vereinigung ${\ displaystyle \ partiell W = M_ {0} \ cup M_ {1}}$

${\ displaystyle W _ {- 1} \ Teilmenge W_ {0} \ Teilmenge W_ {1} \ Teilmenge \ cdots \ Teilmenge W_ {m + 1} = W}$

wo M ist m -dimensionale, W ist m + 1 -dimensionalen, diffeomorph zu und wird aus erhalten durch Anlagerung von i -Griffe. Während Handle-Zerlegungen das Analogon für Mannigfaltigkeiten sind, was Zellzerlegungen für topologische Räume sind, sind Handle-Präsentationen von Cobordismen für Mannigfaltigkeiten mit Grenzen, was relative Zellzerlegungen für Paare von Räumen sind. ${\ displaystyle W _ {- 1}}$${\ displaystyle M_ {0} \ times [0,1]}$${\ displaystyle W_ {i}}$${\ displaystyle W_ {i-1}}$

Morse theoretischer Standpunkt

Gegeben ist eine Morsefunktion auf einem kompakten grenzenlosen Verteiler M , so dass die kritischen Punkte von f erfüllt und bereitgestellt werden ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ {p_ {1}, \ ldots, p_ {k} \} \ subset M}$${\ displaystyle f (p_ {1}) <f (p_ {2}) <\ cdots <f (p_ {k})}$

${\ displaystyle t_ {0} <f (p_ {1}) <t_ {1} <f (p_ {2}) <\ cdots <t_ {k-1} <f (p_ {k}) <t_ {k }}$,

dann für alle j , diffeomorph zu , wo I (j) ist der Index des kritischen Punktes . Der Index I (j) bezieht sich auf die Dimension des maximalen Unterraums des Tangentenraums, in dem der Hessische negativ bestimmt ist. ${\ displaystyle f ^ {- 1} [t_ {j-1}, t_ {j}]}$${\ displaystyle (f ^ {- 1} (t_ {j-1}) \ times [0,1]) \ cup H ^ {I (j)}}$${\ displaystyle p_ {j}}$ ${\ displaystyle T_ {p_ {j}} M}$

Vorausgesetzt, die Indizes erfüllen dies, ist eine Handle-Zerlegung von M , außerdem hat jeder Verteiler solche Morse-Funktionen, so dass sie Handle-Zerlegungen haben. In ähnlicher Weise einen Kobordismus gegeben mit und eine Funktion , die Morse auf der inneren und konstant auf der Grenze ist , und die zunehmende Index - Eigenschaft erfüllt, gibt es eine induzierte Griff Darstellung des Kobordismus W . ${\ displaystyle I (1) \ leq I (2) \ leq \ cdots \ leq I (k)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ partiell W = M_ {0} \ cup M_ {1}}$${\ displaystyle f: W \ to \ mathbb {R}}$

Wenn f eine Morsefunktion auf M ist , ist -f auch eine Morsefunktion. Die entsprechende Handle-Zerlegung / Präsentation wird als doppelte Zerlegung bezeichnet .

Einige wichtige Sätze und Beobachtungen

• Ein Heegaard Aufspalten einer geschlossenen, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist eine Zersetzung einer 3 Mannigfaltigkeit in die Vereinigung von zwei (3,1) -handlebodies entlang ihrer gemeinsamen Grenze, die Heegaard Eilerfläche genannt. Heegaard Aufspaltungen für entstehen 3 -manifolds in mehrere natürlichen Weise: Bei einer gegebenen Griff Zersetzung einer 3-Mannigfaltigkeit, die Vereinigung des 0 und 1 -Griffe ist eine (3,1) -handlebody, und die Vereinigung der 3 und 2 - Griffe ist auch ein (3,1) -Handlebewesen (aus Sicht der doppelten Zersetzung), also eine Heegaard-Aufteilung. Wenn die 3- Mannigfaltigkeit eine Triangulation T aufweist , gibt es eine induzierte Heegaard-Aufspaltung, bei der der erste (3,1) -Handkörper eine reguläre Nachbarschaft des 1- Skeletts und der andere (3,1) -Handkörper eine reguläre Nachbarschaft ist des dualen 1- Skeletts .${\ displaystyle T ^ {1}}$
• Wenn zwei Griffe nacheinander angebracht werden , ist es möglich, die Reihenfolge der Befestigung zu ändern, vorausgesetzt : Dieser Verteiler unterscheidet sich von einem Verteiler der Form zum geeigneten Anbringen von Karten.${\ displaystyle (M \ cup _ {f} H ^ {i}) \ cup _ {g} H ^ {j}}$${\ displaystyle j \ leq i}$${\ displaystyle (M \ cup H ^ {j}) \ cup H ^ {i}}$
• Die Grenze von ist diffeomorph zu entlang der gerahmten Kugel . Dies ist die primäre Verbindung zwischen Operation , Griffen und Morsefunktionen.${\ displaystyle M \ cup _ {f} H ^ {j}}$${\ displaystyle \ partielles M}$${\ displaystyle f}$
• Als Folge wird eine m Mannigfaltigkeit M ist die Grenze eines m + 1 Mannigfaltigkeit W , wenn und nur wenn M kann bezogen werden durch eine Operation in auf einer Sammlung von gerahmten Links . Zum Beispiel ist bekannt, dass jede 3- Mannigfaltigkeit eine 4- Mannigfaltigkeit (ähnlich orientierte und Spin- 3- Mannigfaltigkeit gebunden orientiert und Spin- 4- Mannigfaltigkeit) aufgrund von René Thoms Arbeit über Cobordismus begrenzt . Somit kann jede 3-Mannigfaltigkeit durch Operation an gerahmten Gliedern in der 3- Kugel erhalten werden. Im orientierten Fall ist es üblich, diese gerahmte Verknüpfung auf eine gerahmte Einbettung einer disjunkten Vereinigung von Kreisen zu reduzieren.${\ displaystyle S ^ {m}}$${\ displaystyle S ^ {m}}$
• Der Satz des H-Cobordismus wird durch die Vereinfachung der Griffzerlegung glatter Mannigfaltigkeiten bewiesen.

Siehe auch

• Casson Griff
• Cobordismustheorie
• CW-Komplex
• Handlebody
• Kirby-Kalkül
• Vielfältige Zersetzung

Verweise

Anmerkungen

Allgemeine Hinweise

• A. Kosinski, Differential Manifolds, Band 138, Reine und Angewandte Mathematik, Academic Press (1992).
• Robert Gompf und Andras Stipsicz, 4-Manifolds und Kirby Calculus , (1999) (Band 20 in Graduate Studies in Mathematics ), Amerikanische Mathematische Gesellschaft, Providence, RI ISBN  0-8218-0994-6