Harmonischer Oszillator - Harmonic oscillator

In der klassischen Mechanik ist ein harmonischer Oszillator ein System, das, wenn es aus seiner Gleichgewichtslage verschoben wird , eine Rückstellkraft F proportional zur Verschiebung x erfährt :

wobei k eine positive Konstante ist .

Wenn F die einzige Kraft , die auf dem System ist, wird das System einen gerufene einfachen harmonischen Oszillator , und durchläuft es eine einfache harmonische Bewegung : Sinusschwingungen über den Gleichgewichtspunkt, mit einer konstanten Amplitude und einer konstanten Frequenz (die von der Amplitude nicht davon abhängt , ).

Ist zusätzlich eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft ( Dämpfung ) vorhanden, wird der harmonische Oszillator als gedämpfter Oszillator bezeichnet . Abhängig vom Reibungskoeffizienten kann das System:

Die Grenzlösung zwischen einem unterdämpften und einem überdämpften Schwinger tritt bei einem bestimmten Wert des Reibungskoeffizienten auf und wird als kritisch gedämpft bezeichnet .

Liegt eine externe zeitabhängige Kraft vor, wird der harmonische Oszillator als angetriebener Oszillator bezeichnet .

Mechanische Beispiele sind Pendel (mit kleinen Auslenkungswinkeln ), mit Federn verbundene Massen und akustische Systeme . Andere analoge Systeme umfassen elektrische harmonische Oszillatoren wie RLC-Schaltungen . Das Modell des harmonischen Oszillators ist in der Physik sehr wichtig, da jede Masse, die im stabilen Gleichgewicht einer Kraft ausgesetzt ist, als harmonischer Oszillator für kleine Schwingungen wirkt. Harmonische Oszillatoren kommen in der Natur weit verbreitet vor und werden in vielen künstlichen Geräten wie Uhren und Funkschaltungen genutzt. Sie sind die Quelle praktisch aller sinusförmigen Schwingungen und Wellen.

Einfacher harmonischer Oszillator

Harmonischer Masse-Feder-Oszillator
Einfache harmonische Bewegung

Ein einfacher harmonischer Oszillator ist ein Oszillator, der weder angetrieben noch gedämpft wird . Es besteht aus einer Masse m , die eine einzige Kraft F erfährt , die die Masse in Richtung des Punktes x  = 0 zieht und nur von der Lage x der Masse und einer Konstanten k abhängt . Kräftegleichgewicht ( Newtons zweites Gesetz ) für das System ist

Wenn wir diese Differentialgleichung lösen , finden wir, dass die Bewegung durch die Funktion beschrieben wird

wo

Die Bewegung ist periodisch und wiederholt sich sinusförmig mit konstanter Amplitude A . Die Bewegung eines einfachen harmonischen Oszillators wird neben seiner Amplitude durch seine Periode , die Zeit für eine einzelne Schwingung oder seine Frequenz , die Anzahl der Zyklen pro Zeiteinheit charakterisiert . Die Position zu einem bestimmten Zeitpunkt t hängt auch von der Phase φ ab , die den Startpunkt auf der Sinuswelle bestimmt. Periode und Frequenz werden durch die Größe der Masse m und die Kraftkonstante k bestimmt , während Amplitude und Phase durch die Ausgangslage und Geschwindigkeit bestimmt werden .

Geschwindigkeit und Beschleunigung eines einfachen harmonischen Oszillators schwingen mit der gleichen Frequenz wie die Position, jedoch mit verschobenen Phasen. Die Geschwindigkeit ist maximal für die Verschiebung Null, während die Beschleunigung der Verschiebung entgegengesetzt ist.

Die potentielle Energie, die in einem einfachen harmonischen Oszillator an Position x gespeichert ist, ist

Gedämpfter harmonischer Oszillator

Abhängigkeit des Systemverhaltens vom Wert des Dämpfungsverhältnisses ζ
Videoclip, der einen gedämpften harmonischen Oszillator zeigt, der aus einem Dynamikwagen zwischen zwei Federn besteht. Ein Beschleunigungsmesser oben auf dem Wagen zeigt die Größe und Richtung der Beschleunigung an.

Bei echten Oszillatoren verlangsamt Reibung oder Dämpfung die Bewegung des Systems. Aufgrund der Reibungskraft nimmt die Geschwindigkeit proportional zur wirkenden Reibungskraft ab. Während bei einem einfachen nicht angetriebenen harmonischen Oszillator die einzige Kraft, die auf die Masse wirkt, die Rückstellkraft ist, gibt es bei einem gedämpften harmonischen Oszillator zusätzlich eine Reibungskraft, die immer in eine der Bewegung entgegengesetzte Richtung wirkt. In vielen schwingenden Systemen kann die Reibungskraft F f proportional zur Geschwindigkeit v des Objekts modelliert werden: F f = − cv , wobei c als viskoser Dämpfungskoeffizient bezeichnet wird .

Das Kräftegleichgewicht ( 2. Newtonsches Gesetz ) für gedämpfte harmonische Oszillatoren ist dann

die in die Form umgeschrieben werden können

wo

heißt "ungedämpfte Kreisfrequenz des Oszillators",
wird als "Dämpfungsverhältnis" bezeichnet.
Sprungantwort eines gedämpften harmonischen Oszillators; Kurven werden für drei Werte von μ = ω 1 = ω 0 1 −  ζ 2 aufgetragen . Die Zeit ist in Einheiten der Abklingzeit τ = 1 / ( ζω 0 ) .

Der Wert des Dämpfungsverhältnisses ζ bestimmt maßgeblich das Verhalten des Systems. Ein gedämpfter harmonischer Oszillator kann sein:

  • Überdämpft ( ζ > 1): Das System kehrt ( exponentiell abklingt ) in den stationären Zustand zurück, ohne zu schwingen. Größere Werte des Dämpfungsverhältnisses ζ kehren langsamer ins Gleichgewicht zurück.
  • Kritisch gedämpft ( ζ = 1): Das System kehrt so schnell wie möglich in den stationären Zustand zurück, ohne zu schwingen (obwohl ein Überschwingen auftreten kann, wenn die Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null ist). Dies wird häufig für die Dämpfung von Systemen wie Türen gewünscht.
  • Untergedämpft ( ζ < 1): Das System schwingt (mit einer etwas anderen Frequenz als im ungedämpften Fall), wobei die Amplitude allmählich auf Null sinkt. Die Kreisfrequenz des unterdämpften harmonischen Oszillators ergibt sich aus dem exponentiellen Abklingen des unterdämpften harmonischen Oszillators ist gegeben durch

Der Q-Faktor eines gedämpften Oszillators ist definiert als

Q steht in Beziehung zum Dämpfungsverhältnis durch die Gleichung

Angetriebene harmonische Oszillatoren

Angetriebene harmonische Oszillatoren sind gedämpfte Oszillatoren, die weiter durch eine von außen aufgebrachte Kraft F ( t ) beeinflusst werden.

Das zweite Newtonsche Gesetz hat die Form

Es wird normalerweise in die Form umgeschrieben

Diese Gleichung kann für jede treibende Kraft exakt gelöst werden, indem die Lösungen z ( t ) verwendet werden, die die nicht erzwungene Gleichung erfüllen

und die sich als gedämpfte Sinusschwingungen ausdrücken lassen:

in dem Fall , in dem & zgr;  ≤ 1. Die Amplitude A und Phase & phgr; das Verhalten zu bestimmen , erforderlich , um die Anfangsbedingungen zu entsprechen.

Schritteingabe

Im Fall ζ  < 1 und einer Einheitsschritteingabe mit  x (0) = 0:

Die Lösung ist

mit Phase φ gegeben durch

Die Zeit , einen Oszillator veränderte äußere Bedingungen anpassen muss , ist in der Größenordnung τ  = 1 / ( ζω 0 ). In der Physik wird die Anpassung als Relaxation bezeichnet und τ wird als Relaxationszeit bezeichnet.

In der Elektrotechnik wird ein Vielfaches von τ als Einschwingzeit bezeichnet , dh die Zeit, die benötigt wird, um sicherzustellen, dass das Signal innerhalb einer festen Abweichung vom Endwert liegt, typischerweise innerhalb von 10 %. Der Begriff Überschwingen bezieht sich auf das Ausmaß, in dem das Ansprechmaximum den Endwert überschreitet, und Unterschwingen bezieht sich auf das Ausmaß, in dem die Antwort den Endwert für Zeiten nach dem Ansprechmaximum unterschreitet.

Sinusförmige Antriebskraft

Stationäre Amplitudenänderung mit relativer Frequenz und Dämpfung eines angetriebenen einfachen harmonischen Oszillators . Dieses Diagramm wird auch als harmonisches Oszillatorspektrum oder Bewegungsspektrum bezeichnet.

Bei einer sinusförmigen Antriebskraft:

wobei die Antriebsamplitude, und ist die Antriebsfrequenz für einen sinusförmigen Antriebsmechanismus. Diese Art von System wird in AC -gesteuerten RLC - Schaltungen ( Widerstands - Induktor - Kondensator ) und die angetriebenen Federsysteme mit inneren mechanischem Widerstand oder externen Luftwiderstand .

Die allgemeine Lösung ist eine Summe aus einer Übergangslösung , die von den Anfangsbedingungen abhängt, und einem stationären Zustand , der von den Anfangsbedingungen unabhängig ist und nur von der Antriebsamplitude , der Antriebsfrequenz , der ungedämpften Kreisfrequenz und dem Dämpfungsverhältnis abhängt .

Die stationäre Lösung ist proportional zur treibenden Kraft mit einer induzierten Phasenänderung :

wo

der Absolutwert der Impedanz- oder linearen Antwortfunktion ist und

ist die Phase der Schwingung relativ zur Antriebskraft. Der Phasenwert wird normalerweise zwischen –180° und 0 angenommen (dh er stellt eine Phasenverzögerung sowohl für positive als auch für negative Werte des arctan-Arguments dar).

Für eine bestimmte Antriebsfrequenz, die Resonanz oder Resonanzfrequenz genannt wird , ist die Amplitude (für eine gegebene ) maximal. Dieser Resonanzeffekt tritt nur bei , dh bei stark unterdämpften Systemen auf. Bei stark unterdämpften Systemen kann der Wert der Amplitude in der Nähe der Resonanzfrequenz recht groß werden.

Die Übergangslösungen sind die gleichen wie beim ungezwungenen ( ) gedämpften harmonischen Oszillator und repräsentieren die Systemreaktion auf andere Ereignisse, die zuvor aufgetreten sind. Die transienten Lösungen sterben typischerweise schnell genug ab, dass sie ignoriert werden können.

Parametrische Oszillatoren

Ein parametrischer Oszillator ist ein angetriebener harmonischer Oszillator, bei dem die Antriebsenergie durch Variieren der Parameter des Oszillators, wie etwa der Dämpfungs- oder Rückstellkraft, bereitgestellt wird. Ein bekanntes Beispiel für parametrische Oszillation ist „Pumpen“ auf einem Spielplatz Schaukel . Eine Person auf einer bewegten Schaukel kann die Amplitude der Schwingungen der Schaukel ohne äußere Antriebskraft (Schub) erhöhen, indem sie das Trägheitsmoment der Schaukel durch Hin- und Herschaukeln ("Pumpen") oder abwechselndes Stehen und Hocken verändert, im Rhythmus mit den Schwingungen der Schaukel. Die Variation der Parameter treibt das System an. Beispiele für Parameter, die variiert werden können, sind Resonanzfrequenz und Dämpfung .

Parametrische Oszillatoren werden in vielen Anwendungen verwendet. Der klassische parametrische Varaktor- Oszillator schwingt, wenn die Kapazität der Diode periodisch variiert wird. Die Schaltung, die die Kapazität der Diode variiert, wird "Pumpe" oder "Treiber" genannt. In der Mikrowellenelektronik arbeiten parametrische Oszillatoren auf Wellenleiter- / YAG- Basis auf die gleiche Weise. Der Designer variiert einen Parameter periodisch, um Schwingungen zu induzieren.

Als rauscharme Verstärker wurden parametrische Oszillatoren insbesondere im Funk- und Mikrowellenfrequenzbereich entwickelt. Das thermische Rauschen ist minimal, da eine Reaktanz (kein Widerstand) variiert wird. Eine weitere übliche Verwendung ist die Frequenzumsetzung, zB die Umwandlung von Audio- in Radiofrequenzen. Zum Beispiel kann der optische parametrische Oszillator wandelt eine Eingangslaserwelle in zwei Ausgangswellen von niedriger Frequenz ( ).

Parametrische Resonanz tritt in einem mechanischen System auf, wenn ein System parametrisch angeregt wird und bei einer seiner Resonanzfrequenzen schwingt. Die parametrische Erregung unterscheidet sich vom Erzwingen, da die Aktion als zeitvariable Änderung eines Systemparameters auftritt. Dieser Effekt unterscheidet sich von der regulären Resonanz, da er das Instabilitätsphänomen aufweist .

Universelle Oszillatorgleichung

Die gleichung

ist als universelle Oszillatorgleichung bekannt , da sich alle linearen Schwingsysteme zweiter Ordnung auf diese Form zurückführen lassen. Dies geschieht durch Nichtdimensionalisierung .

Wenn die Antriebsfunktion f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt c τ ) = cos( ωτ ) ist, wobei ω  =  ωt c , wird die Gleichung

Die Lösung dieser Differentialgleichung besteht aus zwei Teilen: dem "transienten" und dem "stationären".

Übergangslösung

Die Lösung basierend auf der Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung ist für beliebige Konstanten c 1 und c 2

Die transiente Lösung ist unabhängig von der erzwingenden Funktion.

Stationäre Lösung

Wenden Sie die " Methode der komplexen Variablen " an, indem Sie die folgende Hilfsgleichung lösen und dann den Realteil ihrer Lösung finden:

Angenommen, die Lösung hat die Form

Seine Ableitungen von nullter bis zweiter Ordnung sind

Einsetzen dieser Größen in die Differentialgleichung ergibt

Dividieren durch den Exponentialterm auf der linken Seite ergibt

Die Gleichsetzung von Real- und Imaginärteil führt zu zwei unabhängigen Gleichungen

Amplitudenteil

Bode-Diagramm des Frequenzgangs eines idealen harmonischen Oszillators

Quadrieren und Addieren beider Gleichungen ergibt

Deswegen,

Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem Theorieteil zur Resonanz sowie dem "Größenteil" der RLC-Schaltung . Diese Amplitudenfunktion ist besonders wichtig für die Analyse und das Verständnis des Frequenzgangs von Systemen zweiter Ordnung.

Phasenteil

Um nach φ aufzulösen , dividiere beide Gleichungen, um zu erhalten

Diese Phasenfunktion ist besonders wichtig für die Analyse und das Verständnis des Frequenzgangs von Systemen zweiter Ordnung.

Komplettlösung

Die Kombination der Amplituden- und Phasenanteile ergibt die stationäre Lösung

Die Lösung der ursprünglichen universellen Oszillatorgleichung ist eine Überlagerung (Summe) der transienten und stationären Lösungen:

Eine ausführlichere Beschreibung zur Lösung der obigen Gleichung finden Sie unter Lineare ODEs mit konstanten Koeffizienten .

Äquivalente Systeme

Harmonische Oszillatoren, die in einer Reihe von Bereichen der Technik vorkommen, sind insofern äquivalent, als ihre mathematischen Modelle identisch sind (siehe die universelle Oszillatorgleichung oben). Unten ist eine Tabelle, die analoge Größen in vier harmonischen Oszillatorsystemen in Mechanik und Elektronik zeigt. Werden analogen Parametern in derselben Zeile der Tabelle numerisch gleiche Werte gegeben, ist das Verhalten der Oszillatoren – ihre Ausgangswellenform, Resonanzfrequenz, Dämpfungsfaktor usw. – gleich.

Translationale Mechanik Rotationsmechanik Serie RLC-Schaltung Parallele RLC-Schaltung
Position Winkel Aufladen Flussverbindung
Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Strom Stromspannung
Masse Trägheitsmoment Induktivität Kapazität
Schwung Drehimpuls Flussverbindung Aufladen
Federkonstante Torsionskonstante Elastizität Magnetische Reluktanz
Dämpfung Rotationsreibung Widerstand Leitfähigkeit
Antriebskraft Antriebsmoment Stromspannung Strom
Ungedämpfte Resonanzfrequenz :
Dämpfungsverhältnis :
Differentialgleichung:

Anwendung auf eine konservative Kraft

Das Problem des einfachen harmonischen Oszillators tritt in der Physik häufig auf, da sich eine Masse im Gleichgewicht unter dem Einfluss einer konservativen Kraft im Grenzbereich kleiner Bewegungen wie ein einfacher harmonischer Oszillator verhält.

Eine konservative Kraft ist eine Kraft, die mit einer potentiellen Energie verbunden ist . Die Potential-Energie-Funktion eines harmonischen Oszillators ist

Bei einer willkürlichen Potential-Energie-Funktion kann man eine Taylor-Entwicklung in Bezug auf ein Energieminimum ( ) durchführen, um das Verhalten kleiner Störungen aus dem Gleichgewicht heraus zu modellieren.

Da es sich um ein Minimum handelt, muss die erste Ableitung, die bei ausgewertet wird , null sein, sodass der lineare Term herausfällt:

Der konstante Term V ( x 0 ) ist willkürlich und kann daher entfallen, und eine Koordinatentransformation ermöglicht es, die Form des einfachen harmonischen Oszillators zurückzugewinnen:

Somit kann man bei einer gegebenen willkürlichen Potentialenergiefunktion mit einer nicht verschwindenden zweiten Ableitung die Lösung des einfachen harmonischen Oszillators verwenden, um eine Näherungslösung für kleine Störungen um den Gleichgewichtspunkt zu liefern.

Beispiele

Einfaches Pendel

Ein einfaches Pendel zeigt unter den Bedingungen ohne Dämpfung und kleiner Amplitude eine annähernd einfache harmonische Bewegung.

Unter der Annahme , keine Dämpfung, die Differentialgleichung ein einfaches Pendel mit der Länge regeln , wo die lokale ist Erdbeschleunigung ist

Wenn die maximale Auslenkung des Pendels klein ist, können wir die Näherung verwenden und stattdessen die Gleichung betrachten

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist

wobei und Konstanten sind, die von den Anfangsbedingungen abhängen. Unter Verwendung als Anfangsbedingungen und wird die Lösung gegeben durch

wobei der größte Winkel ist, den das Pendel erreicht (d. h. die Amplitude des Pendels). Die Periode , die Zeit für eine vollständige Schwingung, wird durch den Ausdruck

was eine gute Annäherung an die tatsächliche Periode ist, wenn sie klein ist. Beachten Sie, dass in dieser Näherung die Periode unabhängig von der Amplitude ist . Stellt in der obigen Gleichung die Kreisfrequenz dar.

Feder-Masse-System

Feder-Masse-System im Gleichgewicht (A), komprimierten (B) und gedehnten (C) Zuständen

Wenn eine Feder durch eine Masse gedehnt oder gestaucht wird, entwickelt die Feder eine Rückstellkraft. Das Hookesche Gesetz gibt das Verhältnis der Kraft an, die von der Feder ausgeübt wird, wenn die Feder um eine bestimmte Länge zusammengedrückt oder gestreckt wird:

wobei F die Kraft, k die Federkonstante und x die Verschiebung der Masse gegenüber der Gleichgewichtslage ist. Das Minuszeichen in der Gleichung zeigt an, dass die von der Feder ausgeübte Kraft immer entgegen der Auslenkung wirkt (dh die Kraft wirkt immer in Richtung Null) und verhindert so, dass die Masse ins Unendliche abfliegt.

Durch die Verwendung von Kraftbilanzen oder einer Energiemethode kann leicht gezeigt werden, dass die Bewegung dieses Systems durch die folgende Differentialgleichung gegeben ist:

Letzteres ist Newtons zweites Bewegungsgesetz .

Wenn die Anfangsverschiebung A ist und es keine Anfangsgeschwindigkeit gibt, ist die Lösung dieser Gleichung gegeben durch

Bei einer idealen masselosen Feder liegt die Masse am Ende der Feder. Wenn die Feder selbst Masse hat, muss ihre wirksame Masse in berücksichtigt werden .

Energievariation im Feder-Dämpfungssystem

Hinsichtlich der Energie haben alle Systeme zwei Arten von Energie: potentielle Energie und kinetische Energie . Wenn eine Feder gedehnt oder gestaucht wird, speichert sie elastische potentielle Energie, die dann in kinetische Energie umgewandelt wird. Die potentielle Energie innerhalb einer Feder wird durch die Gleichung bestimmt

Wenn die Feder gedehnt oder gestaucht wird, wird die kinetische Energie der Masse in potentielle Energie der Feder umgewandelt. Unter der Annahme, dass der Bezugspunkt in der Gleichgewichtsposition definiert ist, ist aufgrund der Energieerhaltung die kinetische Energie der Masse Null, wenn die Feder ihre maximale potentielle Energie erreicht. Wenn die Feder losgelassen wird, versucht sie, ins Gleichgewicht zurückzukehren, und all ihre potentielle Energie wandelt sich in kinetische Energie der Masse um.

Begriffsdefinitionen

Symbol Definition Maße SI-Einheiten
Beschleunigung der Masse m/s 2
Spitzenamplitude der Schwingung m
Viskositätsdämpfungskoeffizient N·s/m
Frequenz Hz
Antriebskraft n
Beschleunigung der Schwerkraft an der Erdoberfläche m/s 2
Imaginäre Einheit,
Federkonstante N/m
Masse kg
Qualitätsfaktor
Schwingungsdauer S
Zeit S
Im Oszillator gespeicherte potentielle Energie J
Position der Masse m
Dämpfungsverhältnis
Phasenverschiebung rad
Winkelfrequenz rad/s
Eigenresonanzkreisfrequenz rad/s

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links