Harshad-Nummer - Harshad number

In der Mathematik ist eine Harshad Nummer (oder Niven Nummer ) in einer gegebenen Zahlenbasis ist eine ganze Zahl , das durch die teilbare Summe seiner Ziffern , wenn in dieser Basis geschrieben. Harshad-Zahlen zur Basis n werden auch als n- harshad (oder n -Niven ) Zahlen bezeichnet. Harshad-Zahlen wurden von DR Kaprekar , einem Mathematiker aus Indien, definiert . Das Wort "harshad" kommt aus dem Sanskrit harṣa (Freude) + da (geben), was Freude macht. Der Begriff "Niven-Zahl" entstand aus einem Vortrag von Ivan M. Niven auf einer Konferenz über Zahlentheorie im Jahr 1977. Alle ganzen Zahlen zwischen null und n sind n- harte Zahlen.

Definition

Mathematisch ausgedrückt sei X eine positive ganze Zahl mit m Ziffern, wenn sie zur Basis n geschrieben wird , und seien die Ziffern ( ). (Daraus folgt, dass entweder Null oder eine positive ganze Zahl bis zu sein muss .) X kann ausgedrückt werden als ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=0,1,\ldots,m-1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle X=\sum_{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.}$

X ist eine Harstad-Zahl zur Basis n, wenn:

${\displaystyle X\equiv 0{\bmod {\sum_{i=0}^{m-1}a_{i}}}.}$

Eine Zahl, die in jeder Zahlenbasis eine Harshad-Zahl ist, wird als All-Harshad-Zahl oder als All-Niven-Zahl bezeichnet . Es gibt nur vier reine Harshad-Zahlen: 1 , 2 , 4 und 6 (Die Zahl 12 ist eine Harshad-Zahl in allen Basen außer oktal ).

Beispiele

• Die Zahl 18 ist eine Harstad-Zahl zur Basis 10, da die Summe der Ziffern 1 und 8 9 ist (1 + 8 = 9) und 18 durch 9 teilbar ist .
• Die Hardy-Ramanujan-Zahl (1729) ist eine Harstad-Zahl zur Basis 10, da sie durch 19, die Summe ihrer Ziffern (1729 = 19 × 91), teilbar ist.
• Die Zahl 19 ist keine Harstad-Zahl zur Basis 10, da die Summe der Ziffern 1 und 9 10 ist (1 + 9 = 10) und 19 nicht durch 10 teilbar ist.
• Zur Basis 10 jede natürliche Zahl, die sich in der Form 9R _n a _n ausdrücken lässt , wobei die Zahl R _n aus n Kopien der einzelnen Ziffer 1 besteht, n > 0 und a _n eine positive ganze Zahl kleiner als 10 ⁿ und ein Vielfaches von n . ist , ist eine harte Zahl. (R. D'Amico, 2019). Die Zahl 9R ₃ a ₃ = 521478, wobei R ₃ = 111, n = 3 und a ₃ = 3 × 174 = 522 ist, ist eine Hardad-Zahl; tatsächlich haben wir: 521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314.
• Harshad-Zahlen zur Basis 10 bilden die Folge:

  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 140 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , ... (Sequenz A005349 im OEIS ).

Eigenschaften

Angesichts des Teilbarkeitstests für 9 könnte man versucht sein zu verallgemeinern, dass alle durch 9 teilbaren Zahlen auch Hardad-Zahlen sind. Aber um die Härte von n zu bestimmen , können die Ziffern von n nur einmal addiert werden und n muss durch diese Summe teilbar sein; andernfalls ist es keine Harstad-Zahl. Zum Beispiel, 99 ist keine Harshad Zahl, seit 9 + 9 = 18, und 99 von 18 nicht teilbar ist.

Die Basiszahl (und darüber hinaus ihre Potenzen) wird immer eine Harstad-Zahl in ihrer eigenen Basis sein, da sie als "10" und 1 + 0 = 1 dargestellt wird.

Alle Zahlen , deren Basis b Ziffer Summe teilt b -1 sind Harshad Zahlen in der Basis b .

Damit eine Primzahl auch eine Harstad-Zahl ist, muss sie kleiner oder gleich der Basiszahl sein, sonst addieren sich die Ziffern der Primzahl zu einer Zahl, die größer als 1 ist, aber kleiner als die Primzahl, und wird nicht teilbar. Zum Beispiel: 11 ist nicht zur Basis 10, weil die Summe ihrer Ziffern „11“ 1 + 1 = 2 ist und 11 nicht durch 2 teilbar ist; während in der Basis 12 die Zahl 11 als „Ɛ“ dargestellt werden kann, dessen Ziffernsumme ebenfalls ist. Da Ɛ durch sich selbst teilbar ist, ist es zur Basis 12 hardad.

Obwohl die Reihenfolge der Fakultäten mit Harstad-Zahlen zur Basis 10 beginnt, sind nicht alle Fakultäten Harstad-Zahlen. 432! ist das erste, das nicht ist. (432! hat Ziffernsumme = 3897 = 3 ² × 433 zur Basis 10, teilt also nicht 432!)

Kleinstes k , das eine Harstad-Zahl ist, sind ${\displaystyle k\cdot n}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (Sequenz A144261 im OEIS ).

Kleinstes k , das keine Harstad-Zahl ist, are ${\displaystyle k\cdot n}$

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (Sequenz A144262 im OEIS ).

Andere Basen

Die Harstad-Zahlen in der Basis 12 sind:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , 10, 1ᘔ, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, ᘔ0, ᘔ1, Ɛ0, 100, 10ᘔ, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1ᘔ0, 1Ɛ0, 1Ɛᘔ, 200, ...

wobei ᘔ für zehn steht und Ɛ für elf steht.

Die kleinsten k , die eine Harstad-Zahl zur Basis 12 sind, sind (in Basis 10 geschrieben): ${\displaystyle k\cdot n}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

Die kleinsten k , die keine Harstad-Zahl zur Basis 12 sind, sind (in Basis 10 geschrieben): ${\displaystyle k\cdot n}$

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

Ähnlich wie zur Basis 10 sind nicht alle Fakultäten harte Zahlen zur Basis 12. Nach 7! (= 5040 = 2Ɛ00 in Basis 12, mit Ziffernsumme 13 in Basis 12, und 13 teilt 7 nicht!), 1276! ist der nächste, der nicht ist. (1276! hat Ziffernsumme = 14201 = 11×1291 zur Basis 12, teilt also nicht 1276!)

Aufeinanderfolgende Hardad-Nummern

Maximale Durchläufe von aufeinanderfolgenden Harstad-Zahlen

Cooper und Kennedy haben 1993 bewiesen, dass keine 21 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen alle Harshad-Zahlen zur Basis 10 sind. Sie konstruierten auch unendlich viele 20-Tupel von aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, die alle 10-Harshad-Zahlen sind, von denen die kleinste 10 ^44363342786 überschreitet .

HG Grundman  ( 1994 ) erweiterte das Ergebnis von Cooper und Kennedy, um zu zeigen, dass es 2 b, aber nicht 2 b + 1 aufeinanderfolgende b- harte Zahlen gibt. Dieses Ergebnis wurde verstärkt, um zu zeigen, dass es unendlich viele Durchläufe von 2 b aufeinanderfolgenden b- harshad-Zahlen für b = 2 oder 3 von T. Cai  ( 1996 ) und für beliebiges b von Brad Wilson 1997 gibt.

In binär gibt es also unendlich viele Folgen von vier aufeinanderfolgenden Harstad-Zahlen und in ternär unendlich viele Folgen von sechs.

Im Allgemeinen verlaufen solche Maximalfolgen von N · b ^k − b bis N · b ^k + ( b − 1), wobei b die Basis ist, k eine relativ große Potenz ist und N eine Konstante ist. Wenn wir eine solche geeignet gewählte Folge gegeben haben, können wir sie wie folgt in eine größere umwandeln:

• Das Einfügen von Nullen in N ändert nichts an der Reihenfolge der digitalen Summen (genauso wie 21, 201 und 2001 alle 10-harte Zahlen sind).
• Wenn wir n Nullen nach der ersten Ziffer α einfügen (Wert αb ⁱ ), erhöhen wir den Wert von N um αb ⁱ ( b ⁿ − 1).
• Wenn wir sicherstellen können, dass b ⁿ − 1 durch alle Ziffernsummen in der Folge teilbar ist, bleibt die Teilbarkeit durch diese Summen erhalten.
• Wenn unsere Anfangsfolge so gewählt ist, dass die Ziffernsummen zu b teilerfremd sind , können wir alle diese Summen b ⁿ = 1 modulo lösen .
• Wenn das nicht so ist, aber der Teil jeder Ziffer Summe nicht coprime zu b dividieren alphaB ⁱ , dann wird Teilbarkeit noch aufrechterhalten.
• (Unbewiesen) Die Anfangssequenz ist so gewählt.

Somit liefert unsere Anfangsfolge eine unendliche Menge von Lösungen.

Erste Durchläufe von genau n aufeinanderfolgenden 10-stelligen Zahlen

Die kleinsten natürlichen Startläufe von genau n aufeinanderfolgenden 10-Harshad-Zahlen (dh kleinste x , die Harshad-Zahlen sind und es nicht sind) sind wie folgt (Sequenz A060159 im OEIS ): ${\displaystyle x,x+1,\cdots,x+n-1}$${\displaystyle x-1}$${\displaystyle x+n}$

Nach dem vorherigen Abschnitt existiert kein solches x für . ${\displaystyle n>20}$

Schätzen der Dichte der Harstad-Zahlen

Lassen wir die Anzahl der Harshad Zahlen bezeichnen , dann für jede gegebene , ${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle \leqx}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle x^{1-\varepsilon}\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}$

wie gezeigt von Jean-Marie De Koninck und Nicolas Doyon; außerdem haben De Koninck, Doyon und Kátai das bewiesen

${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},}$

wobei und der Begriff Big O-Notation verwendet . ${\displaystyle c=(14/27)\log 10\approx 1,1939}$${\displaystyle o(1)}$

Nivenmorphe Zahlen

A Nivenmorphic Nummer oder harshadmorphic Nummer für eine gegebene Zahlenbasis für eine ganze Zahl t , so dass es einige Harshad Nummer existiert N deren digit Summe ist t , und t , in dieser Basis geschrieben, beendet N in der gleichen Basis geschrieben.

Zum Beispiel ist 18 eine Nivenmorphic-Zahl für die Basis 10:

 16218 is a harshad number
 16218 has 18 as digit sum
    18 terminates 16218

Sandro Boscaro stellte fest, dass für die Basis 10 alle positiven ganzen Zahlen außer 11 Nivenmorphe Zahlen sind . Tatsächlich sind für eine gerade ganze Zahl n > 1 alle positiven ganzen Zahlen außer n +1 Nivenmorphe Zahlen für die Basis n , und für eine ungerade ganze Zahl n > 1 sind alle positiven ganzen Zahlen Nivenmorphe Zahlen für die Basis n . zB die Nivenmorphic Zahlen in der Basis 12 sind OEIS :  A011760 (alle positiven ganzen Zahlen außer 13).

Die kleinste Zahl mit Basis 10 Ziffern Summe n und terminiert n geschrieben in Basis 10 sind: (0 falls keine solche Zahl existiert)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 29949, 9999509988 ... (Sequenz A187924 im OEIS )

Mehrere Hardad-Zahlen

Bloem (2005) definiert eine mehrfache Hardad-Zahl als eine Hardad-Zahl, die, wenn sie durch die Summe ihrer Ziffern geteilt wird, eine andere Hardad-Zahl ergibt. Er gibt an, dass 6804 "MHN-4" ist, mit der Begründung, dass

${\displaystyle {\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}}$

(es ist nicht MHN-5 seit , aber 1 ist keine "andere" Hardad-Nummer) ${\displaystyle 1/1=1}$

und fuhr fort zu zeigen, dass 2016502858579884466176 MHN-12 ist. Die kleinere Zahl 10080000000000 = 1008·10 ¹⁰ ist ebenfalls MHN-12. Im Allgemeinen ist 1008·10 ⁿ MHN-( n +2).

Verweise

Externe Links

Weisstein, Eric W. "Harshad-Nummer" . MathWorld .