Hausdorff-Raum - Hausdorff space

In Topologie und verwandten Zweigen der Mathematik , ein Raum Hausdorff , getrennten Raum oder T ₂ Raum ist ein topologischer Raum in dem für beliebige zwei verschiedene Punkte existieren Nachbarschaften jedes welche disjunkt voneinander sind. Von den vielen Trennungsaxiomen , die einem topologischen Raum auferlegt werden können, wird die "Hausdorff-Bedingung" (T ₂ ) am häufigsten verwendet und diskutiert. Es impliziert die Eindeutigkeit der Grenzen von Folgen , Netzen und Filtern .

Hausdorff-Räume sind nach Felix Hausdorff benannt , einem der Begründer der Topologie. Hausdorffs ursprüngliche Definition eines topologischen Raums (1914) enthielt die Hausdorff-Bedingung als Axiom .

Definitionen

Die Punkte x und y, getrennt durch ihre jeweiligen Nachbarschaften U und V.

Punkte und in einem topologischen Raum können durch Nachbarschaften getrennt , wenn es existiert eine Nachbarschaft von und eine Nachbarschaft von so dass und sind disjunkt ( ). ist ein Hausdorff-Raum, wenn alle verschiedenen Punkte in paarweise nachbarschaftsseparierbar sind. Diese Bedingung ist das dritte Trennungsaxiom (nach ), weshalb Hausdorff-Räume auch Räume genannt werden. Das durch den Namen getrennte Leerzeichen wird ebenfalls verwendet. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{0},T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

Ein verwandter, aber schwächerer Begriff ist der eines vorregulären Raums . ist ein präregulärer Raum, wenn zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte durch disjunkte Nachbarschaften getrennt werden können. Präreguläre Räume werden auch Räume genannt . ${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{1}}$

Die Beziehung zwischen diesen beiden Bedingungen ist wie folgt. Ein topologischer Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er sowohl präregulär (dh topologisch unterscheidbare Punkte sind durch Nachbarschaften getrennt) als auch Kolmogorov (dh verschiedene Punkte sind topologisch unterscheidbar) ist. Ein topologischer Raum ist genau dann präregulär, wenn sein Kolmogorov-Quotient Hausdorff ist.

Äquivalenzen

Für einen topologischen Raum ist Folgendes äquivalent: ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$ ist ein Hausdorff-Raum.
• Grenzen der Netze in sind einzigartig.${\displaystyle X}$
• Die Grenzen der Filter auf sind einzigartig.${\displaystyle X}$
• Jede Singleton-Menge ist gleich dem Durchschnitt aller abgeschlossenen Umgebungen von . (Eine abgeschlossene Umgebung von ist eine abgeschlossene Menge , die eine offene Menge enthält, die x enthält .)${\displaystyle \{x\}\subset X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Die Diagonale ist geschlossen als eine Teilmenge des Produktraumes .${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$

Beispiele und Nicht-Beispiele

Fast alle in der Analyse vorkommenden Räume sind Hausdorff; am wichtigsten ist, dass die reellen Zahlen (unter der standardmäßigen metrischen Topologie auf reellen Zahlen) ein Hausdorff-Raum sind. Allgemeiner gesagt sind alle metrischen Räume Hausdorff. Tatsächlich haben viele Anwendungsbereiche in der Analysis, wie topologische Gruppen und topologische Mannigfaltigkeiten , die Hausdorff-Bedingung explizit in ihren Definitionen angegeben.

Ein einfaches Beispiel für eine Topologie, die T _{1 ist,} aber nicht Hausdorff ist, ist die auf einer unendlichen Menge definierte kofinite Topologie .

Pseudometrische Räume sind typischerweise keine Hausdorff- Räume , aber sie sind präregulär, und ihre Verwendung in der Analyse erfolgt normalerweise nur bei der Konstruktion von Hausdorff -Eichräumen . In der Tat, wenn Analytiker einen Nicht-Hausdorff-Raum durchqueren, ist dieser wahrscheinlich immer noch zumindest vorregulär, und dann ersetzen sie ihn einfach durch seinen Kolmogorov-Quotient, der Hausdorff ist.

Nicht-präreguläre Räume sind dagegen in der abstrakten Algebra und der algebraischen Geometrie viel häufiger anzutreffen , insbesondere als die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät oder dem Spektrum eines Rings . Sie tauchen auch in der Modelltheorie der intuitionistischen Logik auf : Jede vollständige Heyting-Algebra ist die Algebra offener Mengen eines topologischen Raums, aber dieser Raum muss nicht präregulär sein, geschweige denn Hausdorff, und ist es in der Regel auch nicht. Das verwandte Konzept der Scott-Domäne besteht auch aus nicht-präregulären Räumen.

Während die Existenz eindeutiger Grenzen für konvergente Netze und Filter impliziert, dass ein Raum Hausdorff ist, gibt es Nicht-Hausdorff-T ₁ -Räume, in denen jede konvergente Folge einen eindeutigen Grenzwert hat.

Eigenschaften

Unterräume und Produkte von Hausdorff-Räumen sind Hausdorff, aber Quotientenräume von Hausdorff-Räumen müssen nicht Hausdorff sein. Tatsächlich kann jeder topologische Raum als Quotient eines Hausdorff-Raums realisiert werden.

Hausdorff-Räume sind T ₁ , was bedeutet, dass alle Singletons abgeschlossen sind. In ähnlicher Weise sind vorreguläre Räume R ₀ . Jeder Hausdorff-Raum ist ein Sober-Raum, obwohl die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt.

Eine weitere schöne Eigenschaft von Hausdorff-Räumen ist, dass kompakte Mengen immer geschlossen sind. Für Nicht-Hausdorff-Räume kann es sein, dass alle kompakten Mengen abgeschlossene Mengen sind (z. B. die koabzählbare Topologie auf einer überzählbaren Menge) oder nicht (z. B. die kofinite Topologie auf einer unendlichen Menge und der Sierpiński-Raum ).

Die Definition eines Hausdorff-Raumes besagt, dass Punkte durch Nachbarschaften getrennt werden können. Es stellt sich heraus, dass dies etwas scheinbar Stärkeres impliziert: In einem Hausdorff-Raum kann jedes Paar disjunkter kompakter Mengen auch durch Umgebungen getrennt werden, d. h. es gibt eine Umgebung einer Menge und eine Umgebung der anderen, so dass die beiden Nachbarschaften sind unzusammenhängend. Dies ist ein Beispiel für die allgemeine Regel, dass sich kompakte Mengen oft wie Punkte verhalten.

Kompaktheitsbedingungen zusammen mit Präregularität implizieren oft stärkere Trennungsaxiome. Zum Beispiel ist jeder lokal kompakte präreguläre Raum vollständig regulär . Kompakte präreguläre Räume sind normal , dh sie erfüllen das Lemma von Urysohn und den Tietze-Erweiterungssatz und haben Partitionen der Einheit , die lokal endlichen offenen Hüllen untergeordnet sind . Die Hausdorff-Versionen dieser Aussagen sind: Jeder lokal kompakte Hausdorff-Raum ist Tychonoff und jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normaler Hausdorff.

Die folgenden Ergebnisse sind einige technische Eigenschaften bezüglich Karten ( kontinuierlich und anders) zu und von Hausdorff-Räumen.

Sei eine stetige Funktion und sei Hausdorff. Dann ist der Graph von , , eine abgeschlossene Teilmenge von . ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$${\displaystyle X\times Y}$

Sei eine Funktion und ihr Kern als Unterraum von . ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$${\displaystyle X\times X}$

• Wenn stetig und Hausdorff ist, dann ist abgeschlossen.${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ker(f)}$
• Wenn eine offene Surjektion und geschlossen ist, dann ist Hausdorff.${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle Y}$
• Wenn eine stetige, offene Surjektion (dh eine offene Quotientenabbildung) ist, dann ist Hausdorff genau dann, wenn abgeschlossen ist.${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$

Sind kontinuierliche Karten und ist Hausdorff dann ist der Equalizer in geschlossen . Daraus folgt, dass wenn Hausdorff ist und und stimmen auf eine dichte Teilmenge von then überein . Mit anderen Worten, stetige Funktionen in Hausdorff-Räume werden durch ihre Werte auf dichten Teilmengen bestimmt. ${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=g}$

Lassen Sie sein ein geschlossenes Surjektion , so dass ist kompakt für alle . Dann ist Hausdorff so . ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Sei eine Quotientenabbildung mit einem kompakten Hausdorff-Raum. Dann sind äquivalent: ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle Y}$ ist Hausdorff.
• ${\displaystyle f}$ist eine geschlossene Karte .
• ${\displaystyle \ker(f)}$ ist geschlossen.

Präregularität versus Regelmäßigkeit

Alle regulären Räume sind präregulär, ebenso alle Hausdorff-Räume. Es gibt viele Ergebnisse für topologische Räume, die sowohl für reguläre als auch für Hausdorff-Räume gelten. Meistens gelten diese Ergebnisse für alle vorregulären Räume; sie wurden für reguläre und Hausdorff-Räume getrennt aufgeführt, da die Idee der vorregulären Räume später kam. Andererseits gelten die Ergebnisse, bei denen es um Regularität geht, im Allgemeinen nicht auch für nichtreguläre Hausdorff-Räume.

Es gibt viele Situationen, in denen eine andere Bedingung topologischer Räume (wie Parakompaktheit oder lokale Kompaktheit ) Regularität impliziert, wenn Präregularität erfüllt ist. Solche Bedingungen gibt es oft in zwei Versionen: einer regulären Version und einer Hausdorff-Version. Obwohl Hausdorff-Räume im Allgemeinen nicht regulär sind, wird ein Hausdorff-Raum, der auch (sagen wir) lokal kompakt ist, regulär sein, weil jeder Hausdorff-Raum präregulär ist. Aus einer bestimmten Sicht kommt es in diesen Situationen also eher auf die Präregularität als auf die Regelmäßigkeit an. Definitionen werden jedoch in der Regel immer noch im Sinne der Regelmäßigkeit formuliert, da diese Bedingung besser bekannt ist als die Präregularität.

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie unter Geschichte der Trennungsaxiome .

Varianten

Die Begriffe "Hausdorff", "getrennt" und "präregulär" können auch auf solche Varianten topologischer Räume wie uniforme Räume , Cauchy-Räume und Konvergenzräume angewendet werden . Die Besonderheit, die das Konzept in all diesen Beispielen vereint, ist, dass Grenzen von Netzen und Filtern (sofern vorhanden) eindeutig (für getrennte Räume) oder bis auf topologische Ununterscheidbarkeit (für präreguläre Räume) eindeutig sind.

Wie sich herausstellt, sind einheitliche Räume und allgemeiner Cauchy-Räume immer präregulär, sodass die Hausdorff-Bedingung in diesen Fällen auf die T ₀ -Bedingung reduziert wird. Dies sind auch die Räume, in denen Vollständigkeit Sinn macht, und Hausdorffness ist in diesen Fällen ein natürlicher Begleiter der Vollständigkeit. Konkret ist ein Raum genau dann vollständig, wenn jedes Cauchy-Netz mindestens einen Grenzwert hat, während ein Raum genau dann Hausdorff ist, wenn jedes Cauchy-Netz höchstens einen Grenzwert hat (da überhaupt nur Cauchy-Netze Grenzwerte haben können).

Algebra der Funktionen

Die Algebra stetiger (reeller oder komplexer) Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum ist eine kommutative C*-Algebra , und umgekehrt kann man mit dem Banach-Stone-Theorem die Topologie des Raums aus den algebraischen Eigenschaften seiner Algebra stetiger Funktionen gewinnen. Dies führt zur nichtkommutativen Geometrie , bei der man nichtkommutative C*-Algebren als Repräsentanten von Algebren von Funktionen auf einem nichtkommutativen Raum betrachtet.

Akademischer Humor

• Die Hausdorff-Bedingung wird durch das Wortspiel veranschaulicht, dass in Hausdorff-Räumen zwei beliebige Punkte durch offene Mengen voneinander "abgekapselt" werden können .
• Im Mathematischen Institut der Universität Bonn , in dem Felix Hausdorff forschte und lehrte, gibt es einen bestimmten Raum, der als Hausdorff-Raum bezeichnet wird . Dies ist ein Wortspiel, denn Raum bedeutet auf Deutsch sowohl Raum als auch Raum .

Siehe auch

• Quasitopologischer Raum
• Schwacher Hausdorff-Raum
• Fixpunktraum , ein Hausdorff-Raum X, so dass jede stetige Funktion f  : X → X einen Fixpunkt hat.

Anmerkungen

Verweise

• Arkhangelskii, AV, LS Pontryagin , Allgemeine Topologie I , (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN  3-540-18178-4 .
• Bourbaki ; Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie , Addison-Wesley (1966).
• "Hausdorff-Raum" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Willard, Stephen (2004). Allgemeine Topologie . Dover-Publikationen. ISBN 0-486-43479-6.