Homologie (Mathematik) - Homology (mathematics)

In der Mathematik ist Homologie eine allgemeine Methode, um eine Folge von algebraischen Objekten wie abelsche Gruppen oder Module mit anderen mathematischen Objekten wie topologischen Räumen zu assoziieren . Homologiegruppen wurden ursprünglich in der algebraischen Topologie definiert . Ähnliche Konstruktionen sind in einer Vielzahl anderer Kontexte verfügbar, wie z. B. abstrakte Algebra , Gruppen , Lie-Algebren , Galois-Theorie und algebraische Geometrie .

Die ursprüngliche Motivation für die Definition von Homologiegruppen war die Beobachtung, dass zwei Formen durch Untersuchung ihrer Löcher unterschieden werden können. Zum Beispiel ist ein Kreis keine Scheibe, weil der Kreis ein Loch hat, während die Scheibe massiv ist, und die gewöhnliche Kugel ist kein Kreis, weil die Kugel ein zweidimensionales Loch umschließt, während der Kreis ein eindimensionales Loch umschließt. Da ein Loch jedoch "nicht da" ist, ist es nicht sofort offensichtlich, wie ein Loch definiert oder verschiedene Arten von Löchern unterschieden werden können. Homologie war ursprünglich eine strenge mathematische Methode zur Definition und Kategorisierung von Löchern in einer Mannigfaltigkeit . Grob gesagt, ein Kreislauf ist eine geschlossene Mannigfaltigkeit, eine Grenze ein Zyklus ist , der auch die Grenze einer Mannigfaltigkeit ist und eine Homologie Klasse (die ein Loch darstellt) ist eine Äquivalenzklasse von Zyklen modulo Grenzen. Eine Homologieklasse wird also durch einen Kreis repräsentiert, der nicht die Grenze irgendeiner Untermannigfaltigkeit ist: Der Kreis stellt ein Loch dar, nämlich eine hypothetische Mannigfaltigkeit, deren Grenze dieser Kreis wäre, der aber "nicht da ist".

Es gibt viele verschiedene Homologietheorien. Ein bestimmter Typ eines mathematischen Objekts, wie beispielsweise ein topologischer Raum oder eine Gruppe , kann eine oder mehrere assoziierte Homologietheorien haben. Wenn das zugrunde liegende Objekt eine geometrische Interpretation wie topologische Räume hat, repräsentiert die n- te Homologiegruppe das Verhalten in der Dimension n . Die meisten Homologiegruppen oder Module können als abgeleitete Funktoren auf geeigneten abelschen Kategorien formuliert werden , die das Versagen eines Funktors messen, um genau zu sein . Aus dieser abstrakten Perspektive werden Homologiegruppen durch Objekte einer abgeleiteten Kategorie bestimmt .

Hintergrund

Ursprünge

Man kann sagen, dass die Homologietheorie mit der Euler-Polyederformel oder der Euler-Charakteristik beginnt . Es folgten Riemanns Definition der numerischen Invarianten der Gattung und der n- fachen Verbundenheit 1857 und Bettis Beweis 1871 der Unabhängigkeit der „Homologiezahlen“ von der Wahl der Basis.

Die Homologie selbst wurde entwickelt, um Mannigfaltigkeiten nach ihren Zyklen zu analysieren und zu klassifizieren – geschlossene Schleifen (oder allgemeiner Untermannigfaltigkeiten), die auf eine gegebene n- dimensionale Mannigfaltigkeit gezeichnet werden können, aber nicht kontinuierlich ineinander verformt werden. Diese Zyklen werden manchmal auch als Schnitte angesehen, die wieder zusammengeklebt werden können, oder als Reißverschlüsse, die geschlossen und gelöst werden können. Zyklen werden nach Dimension klassifiziert. Beispielsweise stellt eine auf einer Fläche gezeichnete Linie einen 1-Zyklus, eine geschlossene Schleife oder (1-Mannigfaltigkeit) dar, während eine durch eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit geschnittene Fläche ein 2-Zyklus ist.

Oberflächen

Zyklen auf einer 2-Kugel
Zyklen auf einem Torus
Zyklen auf einer Kleinflasche
Zyklen auf einer halbkugelförmigen projektiven Ebene

Auf der gewöhnlichen Kugel kann der Kreis b im Diagramm auf den Pol geschrumpft werden, und sogar der äquatoriale Großkreis a kann auf die gleiche Weise geschrumpft werden. Der Satz der Jordan-Kurve zeigt, dass jeder beliebige Kreis wie c auf ähnliche Weise auf einen Punkt geschrumpft werden kann. Alle Zyklen auf der Kugel können daher kontinuierlich ineinander überführt werden und gehören derselben Homologieklasse an. Sie sollen homolog zu Null sein. Das Schneiden eines Verteilers entlang eines zu Null homologen Zyklus trennt den Verteiler in zwei oder mehr Komponenten. Wenn Sie beispielsweise die Kugel entlang a schneiden, werden zwei Halbkugeln erzeugt.

Dies gilt im Allgemeinen nicht für Zyklen auf anderen Oberflächen. Der Torus weist Zyklen auf, die nicht kontinuierlich ineinander verformt werden können, beispielsweise kann im Diagramm keiner der Zyklen a , b oder c ineinander verformt werden. Insbesondere können die Zyklen a und b nicht auf einen Punkt geschrumpft werden, während Zyklus c dies kann, wodurch er homolog zu Null wird.

Wenn die Torusfläche sowohl entlang a als auch b geschnitten wird , kann sie geöffnet und zu einem Rechteck oder, noch bequemer, einem Quadrat abgeflacht werden. Ein gegenüberliegendes Seitenpaar repräsentiert den Schnitt entlang a , und das andere gegenüberliegende Paar repräsentiert den Schnitt entlang b .

Die Kanten des Quadrats können dann auf unterschiedliche Weise wieder zusammengeklebt werden. Das Quadrat kann verdreht werden, damit sich die Kanten in die entgegengesetzte Richtung treffen, wie durch die Pfeile in der Abbildung gezeigt. Bis zur Symmetrie gibt es vier verschiedene Arten, die Seiten zu kleben, die jeweils eine andere Oberfläche erzeugen:

Die vier Möglichkeiten, ein Quadrat zu einer geschlossenen Fläche zu verkleben: Einfachpfeile zusammenkleben und Doppelpfeile zusammenkleben.

ist die Klein-Flasche , die ein Torus mit einer Drehung darin ist (Die Drehung ist im quadratischen Diagramm als Umkehrung des unteren Pfeils zu sehen). Es ist ein Theorem, dass die neu verklebte Oberfläche sich selbst schneiden muss (wenn sie in den euklidischen 3-Raum eingetaucht ist ). Wie der Torus können die Zyklen a und b nicht geschrumpft werden, während c es sein kann. Aber im Gegensatz zum Torus wird beim Folgen von b vorwärts rechts herum und rückwärts links und rechts umgekehrt, weil b zufällig die Drehung überquert, die einem Join gegeben ist. Wenn auf einer Seite von b ein äquidistanter Schnitt gemacht wird, kehrt es auf der anderen Seite zurück und umrundet die Oberfläche ein zweites Mal, bevor es zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt und einen verdrehten Möbius-Streifen ausschneidet . Da auf diese Weise lokal links und rechts beliebig umorientiert werden kann, wird die Fläche als Ganzes als nicht orientierbar bezeichnet.

Die projektive Ebene hat beide Verbindungen verdreht. Die ungeschnittene Form, die im Allgemeinen als Boy-Oberfläche dargestellt wird , ist visuell komplex, so dass im Diagramm eine halbkugelförmige Einbettung gezeigt wird, in der antipodische Punkte um den Rand wie A und A′ als der gleiche Punkt identifiziert werden. Auch hier sind a und b nicht schrumpfbar, während c es ist. Aber diesmal vertauschen sowohl a als auch b links und rechts.

Zyklen können zusammengefügt oder zusammengefügt werden, so wie a und b auf dem Torus waren, als er aufgeschnitten und abgeflacht wurde. In der Kleinschen Flasche Diagramm, eine geht um einen Weg , und - eine geht um die entgegengesetzte Richtung. Wenn eine der als Schnitt gedacht wird, dann - eine kann als ein Klebevorgang gedacht werden. Durch einen Schnitt und anschließendes erneutes Kleben ändert sich die Oberfläche nicht, also a + (− a ) = 0.

Betrachten wir nun zwei a -Zyklen. Da die Klein-Flasche nicht ausrichtbar ist, können Sie eine von ihnen um die Flasche herum (entlang des b- Zyklus) transportieren, und sie kommt als − a zurück . Dies liegt daran, dass die Klein-Flasche aus einem Zylinder besteht, dessen a- Zyklus-Enden mit entgegengesetzter Ausrichtung zusammengeklebt sind. Daher 2 a = a + a = a + (− a ) = 0. Dieses Phänomen wird Torsion genannt . In ähnlicher Weise entsteht in der projektiven Ebene durch zweimaliges Befolgen des nicht schrumpfbaren Kreises b bemerkenswerterweise ein trivialer Kreis, der auf einen Punkt geschrumpft werden kann ; das heißt, b + b = 0. Weil b muß etwa doppelt gefolgt werden , um einen Null - Zyklus zu erreichen, wird die Oberfläche gesagt ist jedoch einen Torsionskoeffizient von 2. haben, einen folgenden b -Zyklus etwa doppelt in der Flasche Klein gibt einfach b + b = 2 b , da dieser Zyklus in einer torsionsfreien Homologieklasse lebt. Dies entspricht der Tatsache, dass im Grundpolygon der Klein-Flasche nur ein Seitenpaar verdreht verklebt ist, während in der Projektionsebene beide Seiten verdreht sind.

Ein Quadrat ist ein kontrahierbarer topologischer Raum , was bedeutet, dass er triviale Homologie besitzt. Folglich trennen ihn zusätzliche Schnitte. Das Quadrat ist nicht die einzige Form in der Ebene, die in eine Fläche geklebt werden kann. Das Verkleben von gegenüberliegenden Seiten eines Achtecks ​​zum Beispiel erzeugt eine Oberfläche mit zwei Löchern. Tatsächlich können alle geschlossenen Flächen durch Kleben der Seiten eines Polygons erzeugt werden, und alle ebenen Polygone (2 n -Ecke) können geklebt werden, um verschiedene Mannigfaltigkeiten zu bilden. Umgekehrt kann eine geschlossene Fläche mit n Nicht-Null-Klassen in ein 2 n -Eck geschnitten werden. Auch Variationen sind möglich, beispielsweise kann auch ein Sechseck zu einem Torus verklebt werden.

Die erste erkennbare Homologietheorie wurde von Henri Poincaré in seiner wegweisenden Arbeit „ Analysis situs “, J. Ecole polytech, veröffentlicht. (2) 1 . 1-121 (1895). Das Papier führte Homologieklassen und Beziehungen ein. Die möglichen Konfigurationen orientierbarer Kreise werden durch die Betti-Zahlen der Mannigfaltigkeit klassifiziert (Betti-Zahlen sind eine Verfeinerung der Euler-Charakteristik). Die Klassifizierung der nicht orientierbaren Zyklen erfordert zusätzliche Informationen über Torsionsbeiwerte.

Die vollständige Einteilung der 1- und 2-Verteiler ist in der Tabelle angegeben.

Topologische Eigenschaften geschlossener 1- und 2-Mannigfaltigkeiten
Verteiler Euler Nr. ,
χ
Orientierungsfähigkeit Betti-Zahlen Torsionskoeffizient
(1-dimensional)
Symbol Name b 0 b 1 b 2
Kreis (1-mannig) 0 Orientierbar 1 1 N / A N / A
Kugel 2 Orientierbar 1 0 1 Keiner
Voller Kreis (dh Scheibe; 2-Mannigfaltigkeit) Nicht orientierbar 1 0 0
Vollkugel (dh Kugel) Nicht orientierbar 1 0 0
Torus 0 Orientierbar 1 2 1 Keiner
Projektive Ebene 1 Nicht orientierbar 1 0 0 2
Kleinflasche 0 Nicht orientierbar 1 1 0 2
2-Loch Torus -2 Orientierbar 1 4 1 Keiner
g- Lochtorus ( g ist die Gattung ) 2 − 2 g Orientierbar 1 2 g 1 Keiner
Kugel mit c- Kreuzkappen 2 − c Nicht orientierbar 1 c − 1 0 2
2-Verteiler mit g-  Löchern und c-  Kreuzkappen ( c  >  0) 2   (2 g  + c )  Nicht orientierbar 1 (2 g  + c ) − 1    0 2
Anmerkungen
  1. Bei einer nicht orientierbaren Oberfläche entspricht ein Loch zwei Kreuzkappen.
  2. Jede 2-Mannigfaltigkeit ist die zusammenhängende Summe von g tori und c projektiven Ebenen. Für die Kugel gilt g = c = 0.

Verallgemeinerung

Eine Mannigfaltigkeit mit Rand oder offener Mannigfaltigkeit unterscheidet sich topologisch von einer geschlossenen Mannigfaltigkeit und kann durch einen Schnitt in jede geeignete geschlossene Mannigfaltigkeit erzeugt werden. Zum Beispiel wird die Scheibe oder 1-Kugel von einem Kreis begrenzt . Es kann erzeugt werden, indem man einen trivialen Zyklus in einer beliebigen 2-Mannigfaltigkeit durchschneidet und das Stück entfernt hält, indem man die Kugel durchbohrt und die Punktion weit streckt oder indem man die projektive Ebene durchschneidet. Es kann auch als Ausfüllen des Kreises in der Ebene angesehen werden.

Wenn zwei Zyklen kontinuierlich ineinander verformt werden können, erzeugt das Schneiden entlang eines Zyklus die gleiche Form wie das Schneiden entlang des anderen, bis hin zu einem gewissen Biegen und Dehnen. In diesem Fall werden die beiden Zyklen als homolog bezeichnet oder liegen in der gleichen Homologieklasse . Wenn außerdem ein Zyklus kontinuierlich in eine Kombination anderer Zyklen verformt werden kann, ist das Schneiden entlang des Anfangszyklus dasselbe wie das Schneiden entlang der Kombination anderer Zyklen. Zum Beispiel ist das Schneiden entlang einer 8 gleichbedeutend mit dem Schneiden entlang ihrer beiden Lappen. In diesem Fall wird die Figur 8 als homolog zur Summe ihrer Keulen bezeichnet.

Zwei offene Mannigfaltigkeiten mit ähnlichen Grenzen (bis auf einige Biegungen und Dehnungen) können zusammengeklebt werden, um eine neue Mannigfaltigkeit zu bilden, die ihre zusammenhängende Summe ist.

Diese geometrische Analyse von Mannigfaltigkeiten ist nicht streng. Auf der Suche nach erhöhter Strenge entwickelte Poincaré die simpliziale Homologie einer triangulierten Mannigfaltigkeit und schuf einen sogenannten Kettenkomplex . Diese Kettenkomplexe (da stark verallgemeinert) bilden die Grundlage für die meisten modernen Homologiebehandlungen.

Bei solchen Behandlungen muss ein Zyklus nicht kontinuierlich sein: Ein 0-Zyklus ist eine Menge von Punkten, und das Schneiden entlang dieses Zyklus entspricht dem Durchstechen des Verteilers. Ein 1-Zyklus entspricht einer Menge geschlossener Schleifen (ein Bild der 1-Mannigfaltigkeit ). Auf einer Oberfläche führt das Schneiden entlang eines 1-Zyklus entweder zu getrennten Teilen oder zu einer einfacheren Form. Ein 2-Zyklus entspricht einer Sammlung von eingebetteten Oberflächen wie einer Kugel oder einem Torus usw.

Emmy Noether und unabhängig voneinander Leopold Vietoris und Walther Mayer entwickelten die Theorie der algebraischen Homologiegruppen im Zeitraum 1925–28 weiter. Die neue kombinatorische Topologie behandelte topologische Klassen formal als abelsche Gruppen . Homologiegruppen sind endlich erzeugte abelsche Gruppen, und Homologieklassen sind Elemente dieser Gruppen. Die Betti-Zahlen der Mannigfaltigkeit sind der Rang des freien Teils der Homologiegruppe, und die nicht orientierbaren Kreise werden durch den Torsionsteil beschrieben.

Die anschließende Verbreitung von Homologiegruppen brachte einen Wechsel der Terminologie und Sichtweise von der „kombinatorischen Topologie“ zur „ algebraischen Topologie “. Die algebraische Homologie bleibt die primäre Methode zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten.

Informelle Beispiele

Die Homologie eines topologischen Raums X ist eine Menge topologischer Invarianten von X, dargestellt durch seine Homologiegruppen represented

wobei die Homologiegruppe informell die Anzahl der k- dimensionalen Löcher in X beschreibt . Ein 0-dimensionales Loch ist einfach eine Lücke zwischen zwei Komponenten . Beschreibt folglich die pfadbezogenen Komponenten von X .

Der Kreis oder die 1-Kugel
Die 2-Kugel ist die Hülle, nicht das Innere einer Kugel

Eine eindimensionale Kugel ist ein Kreis . Es hat eine einzelne verbundene Komponente und ein eindimensionales Loch, aber keine höherdimensionalen Löcher. Die entsprechenden Homologiegruppen sind angegeben als

wobei ist die Gruppe der ganzen Zahlen und ist die triviale Gruppe . Die Gruppe stellt eine endlich erzeugte abelsche Gruppe dar , wobei ein einzelner Generator das in einem Kreis enthaltene eindimensionale Loch darstellt.

Eine zweidimensionale Kugel hat eine einzelne verbundene Komponente, keine eindimensionalen Löcher, ein zweidimensionales Loch und keine höherdimensionalen Löcher. Die entsprechenden Homologiegruppen sind

Im Allgemeinen sind die Homologiegruppen für eine n -dimensionale Kugel

Die Vollscheibe oder 2-Kugel
Der Torus

Eine zweidimensionale Kugel ist eine feste Scheibe. Er hat eine einzelne pfadverbundene Komponente, aber im Gegensatz zum Kreis keine eindimensionalen oder höherdimensionalen Löcher. Die entsprechenden Homologiegruppen sind alle trivial außer . Im Allgemeinen gilt für eine n -dimensionale Kugel

Der Torus ist als Produkt zweier Kreise definiert . Der Torus hat eine einzelne pfadverbundene Komponente, zwei unabhängige eindimensionale Löcher (durch Kreise in Rot und Blau gekennzeichnet) und ein zweidimensionales Loch als Inneres des Torus. Die entsprechenden Homologiegruppen sind

Die beiden unabhängigen eindimensionalen Löcher bilden unabhängige Generatoren in einer endlich erzeugten abelschen Gruppe, ausgedrückt als Produktgruppe

Für die projektive Ebene P zeigt eine einfache Rechnung (wo ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2):

entspricht, wie in den vorherigen Beispielen, der Tatsache, dass es eine einzige verbundene Komponente gibt. ist ein neues Phänomen: Intuitiv entspricht es der Tatsache, dass es eine einzige nicht kontrahierbare "Schleife" gibt, aber wenn wir die Schleife zweimal machen, wird sie auf Null kontrahierbar. Dieses Phänomen wird Torsion genannt .

Aufbau von Homologiegruppen

Die Konstruktion beginnt mit einem Objekt wie einem topologischen Raum X , auf dem man zunächst einen Kettenkomplex C ( X ) definiert, der Informationen über X kodiert . Ein Kettenkomplex ist eine Folge von abelschen Gruppen oder Modulen . verbunden durch Homomorphismen, die Randoperatoren genannt werden . Das ist,

wobei 0 die triviale Gruppe bezeichnet und für i < 0. Es ist auch erforderlich, dass die Zusammensetzung von zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Randoperatoren trivial ist. Das heißt für alle n ,

dh die konstante Abbildung, die jedes Element von an die Gruppenidentität in sendet. Die Aussage, dass die Grenze einer Grenze trivial ist, ist äquivalent zu der Aussage, dass wo das Bild des Randoperators und seines Kerns bezeichnet . Elemente von werden Grenzen genannt und Elemente von werden Zyklen genannt .

Da jede Kettengruppe C n abelsch ist, sind alle ihre Untergruppen normal. Dann , weil eine Untergruppe von C n , ist abelian, und da deshalb eine normale Untergruppe von . Dann kann man die Quotientengruppe bilden

nennt man die n- te Homologiegruppe von X . Die Elemente von H n ( X ) werden Homologieklassen genannt . Jede Homologieklasse ist eine Äquivalenzklasse über Zyklen und zwei Zyklen in derselben Homologieklasse werden als homolog bezeichnet .

Ein Kettenkomplex heißt exakt, wenn das Bild der ( n + 1)-ten Abbildung immer gleich dem Kern der n- ten Abbildung ist. Die Homologiegruppen von X messen daher, "wie weit" der mit X verbundene Kettenkomplex von der Exaktheit entfernt ist.

Die reduzierten Homologiegruppen eines Kettenkomplexes C ( X ) sind definiert als Homologien des erweiterten Kettenkomplexes

wobei der Randoperator ist

für eine Kombination von Punkten, die die festen Generatoren von C 0 sind . Die reduzierten Homologie Gruppen fallen mit für die zusätzliche in der Kette Komplex stellt die einzigartige Karte aus dem leeren simplex bis X .

Die Berechnung der Zyklus- und Randgruppen ist normalerweise ziemlich schwierig, da sie eine sehr große Anzahl von Generatoren haben. Auf der anderen Seite gibt es Tools, die die Aufgabe erleichtern.

Die simplizialer Homologie Gruppen H n ( X ) ein Simplizialkomplex X werden unter Verwendung des Simplexkette definierter C ( X ), wobei C n ( X ) , um die freien abelschen Gruppe durch das erzeugte n -simplices von X . Einzelheiten finden Sie in der vereinfachten Homologie .

Die singulären Homologie Gruppen H n ( X ) werden für jeden topologischen Raum definiert , X , und stimmen mit den simplizialer Homologiegruppen für eine Simplizialkomplex.

Kohomologiegruppen sind den Homologiegruppen formal ähnlich: man beginnt mit einem Kokettenkomplex , der dem Kettenkomplex gleicht , dessen Pfeile jedoch jetzt mit zunehmendem n anstatt abnehmendem n zeigen ; dann werden die Gruppen von Kozyklen und von coboundaries ergeben sich aus der gleichen Beschreibung. Die n- te Kohomologiegruppe von X ist dann die Quotientengruppe

in Analogie zur n- ten Homologiegruppe.

Homologie vs. Homotopie

Homotopiegruppen ähneln Homologiegruppen darin, dass sie "Löcher" in einem topologischen Raum darstellen können. Zwischen der ersten Homotopiegruppe und der ersten Homologiegruppe besteht eine enge Verbindung : Letztere ist die Abelianisierung der ersteren. Daher wird gesagt, dass "Homologie eine kommutative Alternative zur Homotopie ist". Die höheren Homotopiegruppen sind abelsch und verwandt mit den Homologiegruppen nach dem Satz von Hurewicz , können aber wesentlich komplizierter sein. Zum Beispiel werden die Homotopiegruppen von Sphären kaum verstanden und sind im Gegensatz zu der einfachen Beschreibung, die oben für die Homologiegruppen gegeben wurde, nicht allgemein bekannt.

Als Beispiel sei X die Acht . Seine erste Homotopiegruppe ist die Gruppe der gerichteten Schleifen, die an einem vorbestimmten Punkt (zB seinem Zentrum) beginnen und enden. Sie entspricht der freien Gruppe von Rang 2, die nicht kommutativ ist: Schleifen um den ganz linken und dann ganz rechts herumliegenden Kreis unterscheiden sich von dem Schleifen um den ganz rechten Kreis und dann um den ganz links herumliegenden Kreis. Im Gegensatz dazu ist seine erste Homologiegruppe die Gruppe von Schnitten in einer Oberfläche. Diese Gruppe ist kommutativ, da (informell) das Schneiden des ganz linken und dann des ganz rechten Zyklus zum gleichen Ergebnis führt wie das Schneiden des ganz rechten und dann des ganz linken Zyklus.

Arten von Homologie

Die verschiedenen Typen der Homologietheorie entstehen durch die Abbildung von Funktoren aus verschiedenen Kategorien mathematischer Objekte in die Kategorie der Kettenkomplexe. In jedem Fall definiert die Zusammensetzung des Funktors von Objekten zu Kettenkomplexen und des Funktors von Kettenkomplexen zu Homologiegruppen den gesamten Homologiefunktor für die Theorie.

Einfache Homologie

Die Motivierung Beispiel stammt aus der algebraischen Topologie : die simplizialer Homologie eines Simplizialkomplex X . Hier ist die Kettengruppe C n die freie abelsche Gruppe oder das Modul, deren Generatoren die n- dimensional orientierten Simplexe von X sind . Die Orientierung wird erfasst, indem die Scheitelpunkte des Komplexes geordnet werden und ein orientierter Simplex als n- Tupel seiner Scheitelpunkte in aufsteigender Reihenfolge (dh in der Scheitelpunktordnung des Komplexes, wo der te Scheitelpunkt im Tupel erscheint) ausgedrückt wird. Die Abbildung von C n auf C n−1 heißt Boundary-Mapping und sendet das Simplex

zur formellen Summe

die als 0 betrachtet wird, wenn Dieses Verhalten der Generatoren einen Homomorphismus auf allen C n wie folgt induziert . Schreiben Sie ein gegebenes Element als die Summe der Generatoren, wobei die Menge der n- Simplexe in X ist und die m i Koeffizienten aus dem Ring sind, über den C n definiert ist (normalerweise ganze Zahlen, sofern nicht anders angegeben). Dann definiere

Die Dimension der n- ten Homologie von X stellt sich als die Anzahl der "Löcher" in X in der Dimension n heraus . Sie kann berechnet werden, indem Matrixdarstellungen dieser Grenzabbildungen in Smith-Normalform gebracht werden .

Singuläre Homologie

Unter Verwendung eines simplizialen Homologiebeispiels als Modell kann man eine singuläre Homologie für jeden topologischen Raum X definieren . Ein Kettenkomplex für X wird dadurch definiert, dass C n die freie abelsche Gruppe (oder das freie Modul) ist, deren Generatoren alle kontinuierliche Abbildungen von n- dimensionalen Simplizes in X sind . Die Homomorphismen ∂ n ergeben sich aus den Randabbildungen von Simplexen.

Gruppenhomologie

In der abstrakten Algebra verwendet man Homologie, um abgeleitete Funktoren zu definieren , zum Beispiel die Tor-Funktoren . Hier beginnt man mit einem kovarianten additiven Funktor F und einem Modul X . Der Kettenkomplex für X ist wie folgt definiert: Finde zuerst einen freien Modul und einen surjektiven Homomorphismus Dann findet man einen freien Modul und einen surjektiven Homomorphismus Auf diese Weise kann eine Folge von freien Modulen und Homomorphismen definiert werden. Durch Anwenden des Funktors F auf diese Sequenz erhält man einen Kettenkomplex; die Homologie dieses Komplexes hängt nur von F und X und ist per Definition die n -te Funktors abgeleiteter F , angewendet X .

Eine übliche Anwendung der Gruppen(Ko)homologie besteht darin, die möglichen Erweiterungsgruppen E , die einen gegebenen G -Modul M enthalten, als normale Untergruppe zu klassifizieren und eine gegebene Quotientengruppe G zu haben , so dass

Andere Homologietheorien

Homologiefunktionen

Kettenkomplexe bilden eine Kategorie : Ein Morphismus vom Kettenkomplex ( ) zum Kettenkomplex ( ) ist eine Folge von Homomorphismen derart, dass für alle n . Die n- te Homologie H n kann als kovarianter Funktor von der Kategorie der Kettenkomplexe bis zur Kategorie der abelschen Gruppen (oder Module) angesehen werden.

Wenn der Kettenkomplex kovariant vom Objekt X abhängt (das heißt, jeder Morphismus induziert einen Morphismus vom Kettenkomplex von X zum Kettenkomplex von Y ), dann sind die H n kovariante Funktoren aus der Kategorie, zu der X gehört in die Kategorie der abelschen Gruppen (oder Module).

Der einzige Unterschied zwischen Homologie und Kohomologie besteht darin, dass in der Kohomologie die Kettenkomplexe kontravariante von X abhängen , und dass daher die Homologiegruppen (die in diesem Zusammenhang als Kohomologiegruppen bezeichnet und mit H n bezeichnet werden ) kontravariante Funktoren aus der Kategorie bilden, die X gehört in die Kategorie der abelschen Gruppen oder Module.

Eigenschaften

Wenn ( ) ein Kettenkomplex ist, bei dem alle bis auf endlich viele A n Null sind und die anderen endlich erzeugte abelsche Gruppen (oder endlichdimensionale Vektorräume) sind, dann können wir die Euler-Charakteristik definieren

(unter Verwendung des Rangs bei abelschen Gruppen und der Hamel-Dimension bei Vektorräumen). Es zeigt sich, dass die Euler-Charakteristik auch auf Homologieebene berechnet werden kann:

und insbesondere in der algebraischen Topologie bietet dies zwei Möglichkeiten, die wichtige Invariante für das Objekt X zu berechnen, das den Kettenkomplex hervorgebracht hat.

Jede kurze exakte Sequenz

von Kettenkomplexen führt zu einer langen exakten Sequenz von Homologiegruppen

Alle Abbildungen in dieser langen exakten Folge werden durch die Abbildungen zwischen den Kettenkomplexen induziert, mit Ausnahme der Abbildungen. Letztere werden verbindende Homomorphismen genannt und werden durch das Zick-Zack-Lemma bereitgestellt . Dieses Lemma kann auf vielfältige Weise auf die Homologie angewendet werden, die bei der Berechnung von Homologiegruppen hilft, wie z. B. die Theorien der relativen Homologie und Mayer-Vietoris-Sequenzen .

Anwendungen

Anwendung in der reinen Mathematik

Bemerkenswerte Theoreme, die mit Homologie bewiesen wurden, umfassen die folgenden:

  • Der Fixpunktsatz von Brouwer : Wenn f eine stetige Abbildung von der Kugel B n auf sich selbst ist, dann gibt es einen Fixpunkt mit
  • Invarianz der Domäne : Wenn U eine ist offene Teilmenge von und ist eine injektive stetige Abbildung , dann offen ist , und f ist eine homeomorphism zwischen U und V .
  • Das Hairy-Ball-Theorem : Jedes Vektorfeld auf der 2-Sphäre (oder allgemeiner der 2k- Sphäre für alle ) verschwindet irgendwann.
  • Der Satz von Borsuk-Ulam : Jede stetige Funktion von einer n- Sphäre in den euklidischen n- Raum bildet ein Paar antipodischer Punkte auf denselben Punkt ab. (Zwei Punkte auf einer Kugel werden als antipodal bezeichnet, wenn sie vom Mittelpunkt der Kugel in genau entgegengesetzten Richtungen liegen.)
  • Dimensionsinvarianz: wenn nicht leere offene Teilmengen und homöomorph sind, dann

Anwendung in Naturwissenschaften und Technik

In der topologischen Datenanalyse werden Datensätze als Punktwolkenstichproben einer Mannigfaltigkeit oder algebraischen Varietät betrachtet, die in den euklidischen Raum eingebettet ist . Durch die Verknüpfung der nächsten Nachbarpunkte in der Wolke zu einer Triangulation wird eine simpliziale Approximation der Mannigfaltigkeit erzeugt und ihre simpliziale Homologie kann berechnet werden. Das Auffinden von Techniken zur robusten Berechnung von Homologie unter Verwendung verschiedener Triangulationsstrategien über mehrere Längenskalen ist das Thema der persistenten Homologie .

In Sensornetzwerken können Sensoren Informationen über ein Ad-hoc-Netzwerk übermitteln, das sich zeitlich dynamisch ändert. Um den globalen Kontext dieses Satzes lokaler Messungen und Kommunikationspfade zu verstehen, ist es nützlich, die Homologie der Netzwerktopologie zu berechnen , um beispielsweise Lücken in der Abdeckung zu bewerten.

In der dynamischen Systemtheorie in der Physik betrachtete Poincaré als einer der ersten das Zusammenspiel zwischen der invarianten Mannigfaltigkeit eines dynamischen Systems und seinen topologischen Invarianten. Die Morsetheorie setzt die Dynamik eines Gradientenflusses auf einer Mannigfaltigkeit beispielsweise mit seiner Homologie in Beziehung. Die Floer-Homologie erweiterte dies auf unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten. Das KAM-Theorem stellte fest, dass periodische Bahnen komplexen Bahnen folgen können; insbesondere können sie Geflechte bilden , die mit der Floer-Homologie untersucht werden können.

In einer Klasse von Finite-Elemente-Methoden müssen Randwertprobleme für Differentialgleichungen mit dem Hodge-Laplace-Operator möglicherweise auf topologisch nichttrivialen Domänen gelöst werden, zum Beispiel in elektromagnetischen Simulationen . In diesen Simulationen wird die Lösung unterstützt, indem die Kohomologieklasse der Lösung basierend auf den gewählten Randbedingungen und der Homologie der Domäne festgelegt wird. FEM-Domänen können trianguliert werden, woraus die simpliziale Homologie berechnet werden kann.

Software

Zur Berechnung von Homologiegruppen endlicher Zellkomplexe wurden verschiedene Softwarepakete entwickelt. Linbox ist eine C++- Bibliothek zum Ausführen schneller Matrixoperationen, einschließlich der Smith-Normalform ; es ist sowohl mit Gap als auch mit Maple verbunden . Chomp , CAPD::Redhom und Perseus sind ebenfalls in C++ geschrieben. Alle drei implementieren Vorverarbeitungsalgorithmen, die auf einfacher Homotopie-Äquivalenz und diskreter Morse-Theorie basieren , um homologieerhaltende Reduktionen der Eingangszellkomplexe durchzuführen, bevor auf Matrixalgebra zurückgegriffen wird. Kenzo ist in Lisp geschrieben und kann zusätzlich zur Homologie auch verwendet werden, um Präsentationen von Homotopiegruppen von endlichen simplizialen Komplexen zu generieren . Gmsh enthält einen Homologie-Solver für Finite-Elemente-Netze, der Kohomologie- Basen erzeugen kann, die direkt von Finite-Elemente-Software verwendet werden können.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links