Homotopiegruppe - Homotopy group

In der Mathematik werden Homotopiegruppen in der algebraischen Topologie verwendet , um topologische Räume zu klassifizieren . Die erste und einfachste Homotopiegruppe ist die Fundamentalgruppe , die Informationen über Schleifen in einem Raum aufzeichnet . Intuitiv zeichnen Homotopiegruppen Informationen über die Grundform oder Löcher eines topologischen Raums auf.

Um die n- te Homotopiegruppe zu definieren, werden die basispunkterhaltenden Abbildungen von einer n- dimensionalen Kugel (mit Basispunkt ) in einen gegebenen Raum (mit Basispunkt) in Äquivalenzklassen , Homotopieklassen genannt, gesammelt . Zwei Abbildungen sind homotop, wenn eine kontinuierlich in die andere verformt werden kann. Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe , die als n- te Homotopiegruppe bezeichnet wird , des gegebenen Raums X mit Basispunkt. Topologische Räume mit unterschiedlichen Homotopiegruppen sind nie äquivalent ( homöomorph ), aber topologische Räume, die nicht homöomorph sind, können dieselben Homotopiegruppen haben.

Der Begriff der Homotopie von Pfaden wurde von Camille Jordan eingeführt .

Einführung

In der modernen Mathematik ist es üblich , eine zu studieren Kategorie durch Zuordnen zu jedem Objekt dieser Kategorie einer einfachere Aufgabe , die noch ausreichende Informationen über das Objekt von Interesse behält. Homotopiegruppen sind eine solche Möglichkeit, Gruppen topologischen Räumen zuzuordnen .

Ein Torus
Eine Kugel

Diese Verbindung zwischen Topologie und Gruppen ermöglicht es Mathematikern, Erkenntnisse aus der Gruppentheorie auf die Topologie anzuwenden . Wenn beispielsweise zwei topologische Objekte unterschiedliche Homotopiegruppen haben, können sie nicht dieselbe topologische Struktur haben – eine Tatsache, die nur mit topologischen Mitteln schwer zu beweisen sein kann. Zum Beispiel unterscheidet sich der Torus von der Kugel : Der Torus hat ein "Loch"; die Kugel nicht. Da sich die Kontinuität (der Grundbegriff der Topologie) jedoch nur mit der lokalen Struktur befasst, kann es schwierig sein, den offensichtlichen globalen Unterschied formal zu definieren. Die Homotopiegruppen enthalten jedoch Informationen über die globale Struktur.

Zum Beispiel: Die erste Homotopiegruppe des Torus ist

weil die universelle Hülle des Torus die euklidische Ebene ist, die auf den Torus abgebildet wird. Hier ist der Quotient eher in der Kategorie der topologischen Räume als Gruppen oder Ringe. Andererseits erfüllt die Kugel :
weil jede Schleife zu einer konstanten Abbildung zusammengezogen werden kann (siehe dazu Homotopiegruppen von Kugeln und kompliziertere Beispiele für Homotopiegruppen).

Daher ist der Torus nicht homöomorph zur Kugel.

Definition

In der n- Sphäre wählen wir einen Basispunkt a . Für einen Raum X mit Basispunkt b definieren wir die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen

die den Basispunkt a auf den Basispunkt b abbilden . Insbesondere sind die Äquivalenzklassen durch Homotopien gegeben, die auf dem Basispunkt der Kugel konstant sind. Äquivalent definiert als die Gruppe von Homotopieklassen von Abbildungen vom n- Würfel bis X , die die Grenze des n- Würfels zu b nehmen .
Zusammensetzung in der Grundgruppe

Für die Homotopieklassen bilden Sie eine

Gruppe . Um die Gruppenoperation zu definieren, erinnern Sie sich daran, dass in der Fundamentalgruppe das Produkt zweier Schleifen durch die Einstellung . definiert wird

Die Idee der Komposition in der Fundamentalgruppe besteht darin, den ersten und den zweiten Weg nacheinander zu gehen oder äquivalent ihre beiden Domänen zusammenzusetzen. Das Kompositionskonzept, das wir für die n- te Homotopiegruppe wollen, ist das gleiche, außer dass die Domänen, die wir zusammenkleben, jetzt Würfel sind und wir sie entlang einer Fläche kleben müssen. Wir definieren daher die Summe der Abbildungen durch die Formel

Definieren Sie für die entsprechende Definition in Bezug auf Sphären die Summe der Abbildungen , die mit

h zusammengesetzt werden soll , wobei die Abbildung von der Keilsumme von zwei n -Sphären, die den Äquator kollabiert, und h die Abbildung aus der Keilsumme von zwei n . ist -spheres zu X , die als f auf der ersten Sphäre und als g auf der zweiten definiert ist.

Wenn dann ist

abelian . Des Weiteren führen, ähnlich wie bei der Fundamentalgruppe, für einen pfadbezogenen Raum zwei beliebige Basispunktwahlen zu isomorphem

Es ist verlockend zu versuchen, die Definition von Homotopiegruppen durch Weglassen der Basispunkte zu vereinfachen, aber dies funktioniert normalerweise nicht für Räume, die nicht einfach zusammenhängen , selbst für pfadbezogene Räume. Die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von einer Kugel zu einem pfadverbundenen Raum ist nicht die Homotopiegruppe, sondern im Wesentlichen die Menge der Bahnen der Fundamentalgruppe auf der Homotopiegruppe und hat im Allgemeinen keine natürliche Gruppenstruktur.

Ein Ausweg aus diesen Schwierigkeiten wurde gefunden, indem Gruppoide mit höherer Homotopie von gefilterten Räumen und von n- Raumwürfeln definiert wurden. Diese beziehen sich auf relative Homotopiegruppen bzw. auf n- adische Homotopiegruppen. Ein Satz höherer Homotopie von van Kampen ermöglicht es dann, einige neue Informationen über Homotopiegruppen und sogar über Homotopietypen abzuleiten. Weitere Hintergrundinformationen und Referenzen finden Sie unter "Höherdimensionale Gruppentheorie" und in den folgenden Referenzen.

Lange exakte Abfolge einer Fibration

Sei eine basispunkterhaltende Serre-Fibration mit Faser, d. h. eine Karte, die die Homotopie-Lifting-Eigenschaft in Bezug auf CW-Komplexe besitzt . Angenommen, B ist pfadzusammenhängend. Dann gibt es eine lange exakte Folge von Homotopiegruppen

Hier sind die Abbildungen keine Gruppenhomomorphismen, weil sie keine Gruppen sind, aber sie sind genau in dem Sinne, dass das Bild dem Kernel entspricht .

Beispiel: die Hopf-Faser . Sei B gleich und E gleich Sei p die Hopf-Fibration , die Faser hat Aus der langen exakten Folge

und die Tatsache , dass für die wir finden für Insbesondere

Im Falle einer Deckelfläche, wenn die Faser diskret ist, haben wir das isomorph für dass embeds injektiv in für alle positiven und dass die Untergruppe von derjenigen entspricht , die Einbettung von Nebenklassen in hat Bijektion mit den Elementen der Faser.

Wenn die Fibration die Mapping-Faser ist oder die Kofibration der Mapping-Kegel ist , dann ist die resultierende exakte (oder dual, koexakte) Sequenz durch die Puppe-Sequenz gegeben .

Homogene Räume und Sphären

Es gibt viele Realisierungen von Kugeln als homogene Räume , die gute Werkzeuge für die Berechnung von Homotopiegruppen von Lie-Gruppen und die Klassifizierung von Hauptbündeln auf Räumen aus Kugeln bieten.

Spezielle orthogonale Gruppe

Es gibt eine Fibration

die lange exakte Sequenz angeben

die die Homotopiegruppen niedriger Ordnung von for berechnet, da ist -verbunden. Insbesondere gibt es eine Fibration

deren untere Homotopiegruppen explizit berechnet werden können. Da und da ist die Fibration

wir haben für diese Verwendung, und die Tatsache , dass die die Verwendung berechnet werden kann Postnikov System haben wir die lange exakte Sequenz

Da haben wir auch die mittlere Zeile, da die Verbindungskarte trivial ist. Außerdem können wir wissen, hat zwei Torsion.

Anwendung auf Kugelbündel

Milnor nutzte die Tatsache , um insbesondere 3-Sphären-Bündel zu klassifizieren , er war in der Lage, exotische Kugeln zu finden , die glatte Mannigfaltigkeiten sind, die als Milnor-Kugeln nur homöomorph bis nicht diffeomorph bezeichnet werden . Man beachte , dass jede Kugel Bündel kann von einem konstruiert werden - Vektorbündeln , die Strukturgruppe aufweisen , da die Struktur eines haben kann orientierten Riemannschen Mannigfaltigkeit .

Komplexer projektiver Raum

Es gibt eine Fibration

wo ist die Einheitskugel in Diese Sequenz kann verwendet werden, um die einfache Verbundenheit von für alle zu zeigen

Berechnungsmethoden

Die Berechnung der Homotopiegruppen ist im Allgemeinen viel schwieriger , als einige der anderen homotopy Invarianten in der algebraischen Topologie gelernt. Im Gegensatz zum Seifert-van-Kampen-Theorem für die Fundamentalgruppe und dem Exzisionstheorem für singuläre Homologie und Kohomologie gibt es keine einfache bekannte Methode, die Homotopiegruppen eines Raums durch Aufteilung in kleinere Räume zu berechnen. In den 1980er Jahren entwickelte Methoden, die einen Satz vom van Kampen-Typ für Gruppoide höherer Homotopie beinhalten, haben jedoch neue Berechnungen von Homotopietypen und damit von Homotopiegruppen ermöglicht. Ein Beispielergebnis finden Sie in der Arbeit von Ellis und Mikhailov aus dem Jahr 2010.

Für einige Räume, wie z. B. tori , sind alle höheren Homotopiegruppen (d. h. zweite und höhere Homotopiegruppen) trivial . Dies sind die sogenannten asphärischen Räume . Trotz intensiver Forschung zur Berechnung der Homotopiegruppen von Kugeln ist jedoch selbst in zwei Dimensionen keine vollständige Liste bekannt. Um auch nur die vierte Homotopiegruppe von einem zu berechnen, sind viel fortgeschrittenere Techniken erforderlich, als die Definitionen vermuten lassen. Zu diesem Zweck wurde insbesondere die Spektralsequenz von Serre konstruiert.

Bestimmte Homotopiegruppen von n -zusammenhängender Räume können durch Vergleich mit berechnet werden Homologiegruppen über den Hurewicz Theorems .

Eine Liste von Methoden zur Berechnung von Homotopiegruppen

Relative Homotopiegruppen

Es gibt auch eine nützliche Verallgemeinerung von Homotopiegruppen, die als relative Homotopiegruppen für ein Paar bezeichnet werden, wobei A ein Unterraum von ist

Die Konstruktion wird durch die Beobachtung motiviert, dass es für eine Inklusion eine induzierte Karte auf jeder Homotopiegruppe gibt, die im Allgemeinen keine Injektion ist. Tatsächlich sind Elemente des Kernels bekannt, indem man einen Repräsentanten betrachtet und eine basierende Homotopie auf die Konstantenabbildung nimmt, oder mit anderen Worten, während die Beschränkung auf jede andere Randkomponente von trivial ist. Daher haben wir folgende Konstruktion:

Die Elemente einer solchen Gruppe sind Homotopieklassen von basierten Abbildungen , die die Grenze in A tragen . Zwei Abbildungen heißen relativ zu A homotop , wenn sie homotopisch sind durch eine basispunkterhaltende Homotopie, so dass für jedes p in und t in dem Element in A ist . Beachten Sie, dass gewöhnliche Homotopiegruppen für den Sonderfall wiederhergestellt werden, in dem das Singleton den Basispunkt enthält.

Diese Gruppen sind abelsch , bilden aber die obere Gruppe eines gekreuzten Moduls mit unterster Gruppe

Es gibt auch eine lange genaue Sequenz von relativen Homotopiegruppen, die über die Puppe-Sequenz erhalten werden können :

Verwandte Begriffe

Die Homotopiegruppen sind grundlegend für die Homotopietheorie , die wiederum die Entwicklung von Modellkategorien stimulierte . Es ist möglich, abstrakte Homotopiegruppen für simpliziale Mengen zu definieren .

Homologiegruppen ähneln Homotopiegruppen darin, dass sie "Löcher" in einem topologischen Raum darstellen können. Homotopiegruppen sind jedoch normalerweise nicht kommutativ und oft sehr komplex und schwer zu berechnen. Im Gegensatz dazu sind Homologiegruppen kommutativ (wie auch die höheren Homotopiegruppen). Daher wird manchmal gesagt, dass "Homologie eine kommutative Alternative zur Homotopie ist". In einem topologischen Raum wird seine n- te Homotopiegruppe normalerweise mit bezeichnet und seine n- te Homologiegruppe wird normalerweise mit bezeichnet

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise