Rumpf-weißes Modell - Hull–White model

In der Finanzmathematik ist das Hull-White-Modell ein Modell zukünftiger Zinssätze . In seiner allgemeinsten Formulierung gehört es zur Klasse der No-Arbitrage-Modelle, die in die heutige Zinsstruktur passen. Die mathematische Beschreibung der Entwicklung zukünftiger Zinssätze lässt sich relativ einfach auf einen Baum oder ein Gitter übertragen und so können Zinsderivate wie Bermuda-Swaptions im Modell bewertet werden.

Das erste Hull-White-Modell wurde 1990 von John C. Hull und Alan White beschrieben . Das Modell ist noch heute auf dem Markt beliebt.

Das Model

Ein-Faktor-Modell

Das Modell ist ein Kurzzinsmodell . Im Allgemeinen hat es die folgende Dynamik:

${\displaystyle dr(t)=\left[\theta(t)-\alpha(t)r(t)\right]\,dt+\sigma(t)\,dW(t).}$

Unter Praktikern herrscht eine gewisse Unklarheit darüber, welche Parameter im Modell genau zeitabhängig sind oder welchen Namen das Modell jeweils zu geben hat. Die am häufigsten akzeptierte Namenskonvention ist die folgende:

• ${\displaystyle\theta}$hat t (Zeit)-Abhängigkeit — das Hull-White-Modell .
• ${\displaystyle\theta}$und sind beide zeitabhängig – das erweiterte Vasicek-Modell .${\displaystyle\alpha}$

Zwei-Faktor-Modell

Das zweifaktorielle Hull-White-Modell ( Hull 2006 :657–658) enthält einen zusätzlichen Störungsterm, dessen Mittelwert auf Null zurückgeht, und hat die Form:

${\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta(t)+u-\alpha(t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma_{1}( t)\,dW_{1}(t),}$

wobei hat einen Anfangswert von 0 und folgt dem Prozess: ${\displaystyle \displaystyle u}$

${\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma_{2}\,dW_{2}(t)}$

Analyse des Einfaktormodells

Für den Rest dieses Artikels übernehmen wir nur hat t -Abhängigkeit. Wenn Sie den stochastischen Term für einen Moment vernachlässigen, beachten Sie, dass für die Änderung von r negativ ist, wenn r derzeit "groß" ist (größer als und positiv, wenn der aktuelle Wert klein ist. Das heißt, der stochastische Prozess ist ein Ornstein-Uhlenbeck- Mittelwert-umkehrender Prozess Prozess . ${\displaystyle\theta}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle\theta(t)/\alpha)}$

θ wird aus der anfänglichen Zinsstrukturkurve berechnet , die die aktuelle Zinsstruktur der Zinssätze beschreibt. Üblicherweise bleibt α als Benutzereingabe übrig (beispielsweise kann es aus historischen Daten geschätzt werden). σ wird durch Kalibrierung auf eine Reihe von Caplets und Swaptions bestimmt, die auf dem Markt leicht handelbar sind.

Wenn , , und konstant sind, kann das Lemma von Itô verwendet werden, um zu beweisen, dass ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\theta}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha}}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+ \sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

die Verteilung hat

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal{N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta}{\alpha}}\left(1-e ^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha}}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}$

wo ist die Normalverteilung mit Mittelwert und Varianz . ${\displaystyle {\mathcal{N}}(\mu,\sigma^{2})}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Wann ist zeitabhängig, ${\displaystyle\theta(t)}$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (st)}\theta (s)ds+\sigma e^ {-\alpha t}\int_{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

die Verteilung hat

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal{N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (st) }\theta(s)ds,{\frac{\sigma^{2}}{2\alpha}}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}$

Anleihenbewertung nach dem Hull-White-Modell

Es stellt sich heraus, dass der Zeit- S- Wert der T- Fälligkeits- Discount-Anleihe eine Verteilung hat (hier die affine Laufzeitstruktur beachten !)

${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}$

wo

${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha(TS))}{\alpha}},}$

${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2 }(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha^{3}}}\right).}$

Beachten Sie, dass ihre Terminalverteilung für log-normal verteilt ist . ${\displaystyle P(S,T)}$

Derivatpreise

Indem wir als Numeraire die Zeit- S- Anleihe wählen (was einem Wechsel zum S- Forward-Maß entspricht), erhalten wir aus dem Fundamentalsatz der Arbitrage-freien Preisbildung den Wert zum Zeitpunkt t eines Derivats, das zum Zeitpunkt S ausbezahlt wird .

${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb{E}_{S}[V(S)\mid {\mathcal{F}}(t)].}$

Hier ist die Erwartung in Bezug auf das Vorwärtsmaß . Darüber hinaus zeigen Standardarbitrageargumente, dass der Termin T- Forward-Preis für eine Auszahlung zum Zeitpunkt T gegeben durch V(T) erfüllen muss , also ${\displaystyle \mathbb{E}_{S}}$${\displaystyle F_{V}(t,T)}$${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}$

${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb{E}_{T}[V(T)\mid {\mathcal{F}}(t)].}$

Somit ist es möglich, viele Derivate V allein in Abhängigkeit von einer einzigen Bindung analytisch zu bewerten, wenn man im Hull-White-Modell arbeitet. Zum Beispiel bei einem Anleihe-Put${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle V(S)=(KP(S,T))^{+}.}$

Da lognormalverteilt ist, zeigt die allgemeine Berechnung, die für das Black-Scholes-Modell verwendet wird , dass ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {E}_{S}[(KP(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}) ,}$

wo

${\displaystyle d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma_{P}^{2}S/2}{\sigma_{P}{\sqrt {S}}}} }$

und

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma_{P}{\sqrt {S}}.}$

Der heutige Wert (mit wieder multipliziertem P (0, S ) und t auf 0 gesetzt ist also:

${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}$

Hier ist die Standardabweichung (relative Volatilität) der Log-Normalverteilung für . Ein ziemlich beträchtlicher Teil der Algebra zeigt, dass sie mit den ursprünglichen Parametern über ${\displaystyle \sigma_{P}}$${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (TS))){\sqrt {\frac { 1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}$

Beachten Sie, dass diese Erwartung im S- Bindungs-Maß gemacht wurde, während wir für den ursprünglichen Hull-White-Prozess überhaupt kein Maß angegeben haben. Dies spielt keine Rolle – die Volatilität ist das Einzige, was zählt und ist messunabhängig.

Da Zinsobergrenzen/-untergrenzen den Anleihe-Puts bzw. -Calls entsprechen, zeigt die obige Analyse, dass Obergrenzen und Untergrenzen im Hull-White-Modell analytisch bepreist werden können. Jamshidians Trick gilt für Hull-White (da der heutige Wert einer Swaption im Hull-White-Modell eine monotone Funktion des heutigen Short-Kurses ist). Daher reicht es auch aus, zu wissen, wie man Caps bewertet, um Swaptions zu bewerten. Auch wenn es sich bei dem Basiswert nicht um einen (zukunftsgerichteten) LIBOR-Terminzins handelt, zeigt Turfus (2020), wie diese Formel einfach modifiziert werden kann, um die zusätzliche Konvexität zu berücksichtigen .

Swaptions können auch direkt bepreist werden, wie in Henrard (2003) beschrieben. Direkte Implementierungen sind in der Regel effizienter.

Monte-Carlo-Simulation, Bäume und Gitter

Die Bewertung von Vanilla-Instrumenten wie Caps und Swaptions ist jedoch in erster Linie für die Kalibrierung nützlich. Die eigentliche Verwendung des Modells besteht darin, etwas exotischere Derivate wie Bermuda-Swaptions auf einem Gitter oder andere Derivate in einem Mehrwährungskontext wie Quanto Constant Maturity Swaps zu bewerten, wie beispielsweise in Brigo und Mercurio (2001) erläutert. Die effiziente und exakte Monte-Carlo-Simulation des Hull-White-Modells mit zeitabhängigen Parametern kann leicht durchgeführt werden, siehe Ostrovski (2013) und (2016).

Prognose

Obwohl Einzelfaktormodelle wie Vasicek, CIR und das Hull-White-Modell für die Preisbildung entwickelt wurden, hat die neuere Forschung ihr Potenzial in Bezug auf Prognosen gezeigt. In Orlando et al. (2018, 2019) wurde eine neue Methode zur Vorhersage zukünftiger Zinssätze namens CIR# bereitgestellt. Die Idee besteht neben der Umwandlung eines zur Preisbildung verwendeten Short-Rate-Modells in ein Prognosewerkzeug in einer geeigneten Aufteilung des Datensatzes in Untergruppen gemäß einer gegebenen Verteilung ). Darin wurde gezeigt, wie die genannte Partitionierung es ermöglicht, statistisch signifikante zeitliche Veränderungen der Zinsvolatilität zu erfassen. nach dem genannten Ansatz haben Orlando et al. (2021) ) vergleicht das Hull-White-Modell mit dem CIR-Modell hinsichtlich der Vorhersage und Vorhersage der Zinsdirektionalität.

Siehe auch

• Vasicek-Modell
• Cox-Ingersoll-Ross-Modell
• Schwarz-Karasinski-Modell

Verweise

Hauptreferenzen

• John Hull und Alan White, "Using Hull-White Interest Rate Trees", Journal of Derivatives , Vol. 3, Nr. 3 (Frühjahr 1996), S. 26–36
• John Hull und Alan White, „Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models I“, Journal of Derivatives , Herbst 1994, S. 7–16.
• John Hull und Alan White, „Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models II“, Journal of Derivatives , Winter 1994, S. 37–48.
• John Hull und Alan White, „The pricing of options on Interest Rate Caps and Floors using the Hull-White model“ in Advanced Strategies in Financial Risk Management , Kapitel 4, S. 59–67.
• John Hull und Alan White, "One Factor Interest Rate Models and the Valuation of Interest Rate Derivatives Securities", Journal of Financial and Quantitative Analysis , Bd. 28, Nr. 2, (Juni 1993) S. 235–254.
• John Hull und Alan White, "Pricing Interest Rate derivative Securities", The Review of Financial Studies , Band 3, Nr. 4 (1990), S. 573–592.

andere Referenzen

• Hull, John C. (2006). „Zinsderivate: Modelle des Short Rate“. Optionen, Futures und andere Derivate (6. Aufl.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall . S.  657 –658. ISBN 0-13-149908-4. LCCN  2005047692 . OCLC  60321487 .
• Damiano Brigo , Fabio Mercurio (2001). Zinsmodelle — Theorie und Praxis mit Smile, Inflation und Kredit (2. Aufl. 2006 Aufl.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Henrid, Marc (2003). „Explicit Bond Option and Swaption Formula in Heath-Jarrow-Morton One Factor Model“, International Journal of Theoretical and Applied Finance , 6(1), 57–72. Vordruck-SSRN .
• Henrid, Marc (2009). Effizienter Swaptions-Preis im Hull-White-Einfaktormodell, arXiv, 0901.1776v1. Vordruck arXiv .
• Ostrowski, Wladimir (2013). Effiziente und genaue Simulation des Hull-White-Modells, Preprint SSRN.
• Ostrowski, Wladimir (2016). Effiziente und exakte Simulation der Gaußschen affinen Zinsmodelle., International Journal of Financial Engineering, Vol. 2, No. 3, Nr. 02. , Vordruck SSRN.
• Puschkarski, Eugen. Implementierung des No-Arbitrage-Termstrukturmodells von Hull-White , Diplomarbeit, Center for Central European Financial Markets
• Turfus, Colin (2020). Caplet-Preisgestaltung mit rückwärtsgerichteten Kursen., Preprint SSRN.
• Letian Wang, Hull-White-Modell , Fixed Income Quant Group, DTCC (detailliertes numerisches Beispiel und Ableitung)