Hurwitz-Polynom - Hurwitz polynomial

In der Mathematik ist ein Hurwitz-Polynom , benannt nach Adolf Hurwitz , ein Polynom, dessen Wurzeln (Nullen) in der linken Halbebene der komplexen Ebene oder auf der imaginären Achse liegen, dh der Realteil jeder Wurzel ist Null oder Negativ. Ein solches Polynom muss Koeffizienten haben , die positive reelle Zahlen sind . Der Begriff ist manchmal auf Polynome beschränkt, deren Wurzeln Realteile haben, die streng negativ sind, mit Ausnahme der imaginären Achse (dh eines stabilen Hurwitz- Polynoms ).

Eine Polynomfunktion P ( s ) einer komplexen Variablen s heißt Hurwitz, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. P ( s ) ist real, wenn s real ist.

2. Die Wurzeln von P ( s ) haben Realteile, die Null oder negativ sind.

Hurwitzpolynom sind wichtig bei der Steuerung der Systemtheorie , weil sie die repräsentieren charakteristische Gleichungen der stabilen linearer Systeme . Ob ein Polynom Hurwitz ist, kann durch Lösen der Gleichung zum Finden der Wurzeln oder aus den Koeffizienten ohne Lösen der Gleichung durch das Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium bestimmt werden .

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für ein Hurwitz-Polynom ist:

${\ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1.}$

Die einzige wirkliche Lösung ist -1, weil es als Faktoren gilt

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2}.}$

Im Allgemeinen sind alle quadratischen Polynome mit positiven Koeffizienten Hurwitz. Dies folgt direkt aus der quadratischen Formel :

${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}.}$

Wenn die Diskriminante b ² −4 ac kleiner als Null ist, hat das Polynom zwei komplexkonjugierte Lösungen mit dem Realteil - b / 2 a , der für positiv a und b negativ ist . Wenn die Diskriminante gleich Null ist, gibt es zwei übereinstimmende reale Lösungen bei - b / 2 a . Wenn schließlich die Diskriminante größer als Null ist, gibt es zwei echte negative Lösungen, weil für positive a , b und c . ${\ displaystyle {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} <b}$

Eigenschaften

Damit ein Polynom Hurwitz ist, ist es notwendig, aber nicht ausreichend, dass alle seine Koeffizienten positiv sind (mit Ausnahme der quadratischen Polynome, was ebenfalls keine ausreichende Leistung impliziert). Eine notwendige und ausreichende Bedingung, dass ein Polynom Hurwitz ist, ist, dass es das Stabilitätskriterium Routh-Hurwitz erfüllt . Ein gegebenes Polynom kann unter Verwendung der Routh-Technik zur kontinuierlichen Fraktionsexpansion effizient auf Hurwitz getestet werden oder nicht.

Verweise

• Wayne H. Chen (1964) Lineares Netzwerkdesign und -synthese , Seite 63, McGraw Hill .