Hyperbolische Geometrie - Hyperbolic geometry

Geraden durch einen gegebenen Punkt P und asymptotisch zur Geraden R
Ein Dreieck, das in eine sattelförmige Ebene (ein hyperbolisches Paraboloid ) eingetaucht ist , zusammen mit zwei divergierenden ultraparallelen Linien

In der Mathematik , hyperbolische Geometrie (auch genannt Lobachevskian Geometrie oder Bolyai - Lobachevskian Geometrie ) ist eine nicht-euklidische Geometrie . Das parallele Postulat der euklidischen Geometrie wird ersetzt durch:

Für jede gegebene Gerade R und Punkt P, die nicht auf R liegt , gibt es in der Ebene, die sowohl die Gerade R als auch den Punkt P enthält, mindestens zwei verschiedene Geraden durch P , die R nicht schneiden .

(Vergleichen Sie die oben mit Playfair Axiom , die modernen Version von Euklid ‚s parallel Postulat .)

Hyperbolische ebene Geometrie ist auch die Geometrie von Sattelflächen und pseudosphärischen Flächen , Flächen mit einer konstanten negativen Gaußschen Krümmung .

Eine moderne Anwendung der hyperbolischen Geometrie findet sich in der speziellen Relativitätstheorie , insbesondere im Minkowski-Modell .

Als Geometer zum ersten Mal erkannten, dass sie mit etwas anderem als der Standard-Euklidischen Geometrie arbeiteten, beschrieben sie ihre Geometrie unter vielen verschiedenen Namen; Felix Klein gab dem Fach schließlich den Namen hyperbolische Geometrie , um es in die heute selten verwendete Folge elliptische Geometrie ( Kugelgeometrie ), parabolische Geometrie ( euklidische Geometrie ) und hyperbolische Geometrie einzuordnen. In der ehemaligen Sowjetunion wird sie allgemein als Lobatschewski-Geometrie bezeichnet, benannt nach einem ihrer Entdecker, dem russischen Geometer Nikolai Lobatschewski .

Auf dieser Seite geht es hauptsächlich um die 2-dimensionale (planare) hyperbolische Geometrie und die Unterschiede und Ähnlichkeiten zwischen euklidischer und hyperbolischer Geometrie. Siehe hyperbolischen Raum für weitere Informationen über die hyperbolische Geometrie erweitert auf drei und mehr Dimensionen.

Eigenschaften

Beziehung zur euklidischen Geometrie

Vergleich elliptischer, euklidischer und hyperbolischer Geometrien in zwei Dimensionen

Die hyperbolische Geometrie ist der euklidischen Geometrie näher verwandt, als es scheint: Der einzige axiomatische Unterschied ist das Parallelpostulat . Wenn das Parallelpostulat aus der euklidischen Geometrie entfernt wird, ist die resultierende Geometrie absolute Geometrie . Es gibt zwei Arten von absoluter Geometrie, die euklidische und die hyperbolische. Alle Sätze der absoluten Geometrie, einschließlich der ersten 28 Sätze des ersten Buches von Euklids Elementen , sind in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie gültig. Die Sätze 27 und 28 des ersten Buches von Euklids Elementen beweisen die Existenz paralleler/nicht schneidender Linien.

Dieser Unterschied hat auch viele Konsequenzen: Konzepte, die in der euklidischen Geometrie äquivalent sind, sind in der hyperbolischen Geometrie nicht äquivalent; neue Konzepte müssen eingeführt werden. Darüber hinaus hat die hyperbolische Geometrie aufgrund des Parallelitätswinkels einen absoluten Maßstab , eine Beziehung zwischen Abstands- und Winkelmessungen.

Linien

Einzelne Geraden in der hyperbolischen Geometrie haben genau die gleichen Eigenschaften wie einzelne Geraden in der euklidischen Geometrie. Beispielsweise definieren zwei Punkte eindeutig eine Linie, und Liniensegmente können unendlich verlängert werden.

Zwei sich schneidende Linien haben dieselben Eigenschaften wie zwei sich schneidende Linien in der euklidischen Geometrie. Zum Beispiel können sich zwei unterschiedliche Linien in nicht mehr als einem Punkt schneiden, sich schneidende Linien bilden gleiche entgegengesetzte Winkel und benachbarte Winkel von sich schneidenden Linien ergänzen sich .

Wenn eine dritte Linie eingeführt wird, kann es Eigenschaften von sich schneidenden Linien geben, die sich von sich schneidenden Linien in der euklidischen Geometrie unterscheiden. Beispielsweise gibt es bei zwei sich schneidenden Geraden unendlich viele Geraden, die keine der gegebenen Geraden schneiden.

Diese Eigenschaften sind alle unabhängig vom verwendeten Modell , auch wenn die Linien radikal anders aussehen können.

Nicht schneidende / parallele Linien

Linien durch einen gegebenen Punkt P und asymptotisch zur Linie R .

Nicht schneidende Linien in der hyperbolischen Geometrie haben auch Eigenschaften, die sich von sich nicht schneidenden Linien in der euklidischen Geometrie unterscheiden :

Für jede Gerade R und jeden Punkt P, der nicht auf R liegt , gibt es in der Ebene, die die Geraden R und den Punkt P enthält, mindestens zwei verschiedene Geraden durch P , die R nicht schneiden .

Dies impliziert, dass es durch P unendlich viele koplanare Geraden gibt, die R nicht schneiden .

Diese sich nicht schneidenden Linien werden in zwei Klassen unterteilt:

  • Zwei der Linien ( x und y im Diagramm) sind begrenzende Parallelen (manchmal auch kritisch parallel, horoparallel oder einfach parallel genannt): Es gibt eine in Richtung jedes der idealen Punkte an den "Enden" von R , die sich asymptotisch R . nähern , immer näher an R herankommen , es aber nie treffen.
  • Alle anderen sich nicht schneidenden Linien haben einen Punkt mit minimalem Abstand und divergieren von beiden Seiten dieses Punktes und werden als ultraparallel bezeichnet , parallel divergierend oder manchmal nicht schneidend.

Einige Geometer verwenden einfach den Ausdruck " parallele Linien", um " begrenzende parallele Linien" zu bedeuten , wobei ultraparallele Linien nur bedeuten , dass sie sich nicht schneiden .

Diese begrenzenden Parallelen bilden mit PB einen Winkel θ ; dieser Winkel hängt nur von der Gaußschen Krümmung der Ebene und dem Abstand PB ab und wird als Parallelitätswinkel bezeichnet .

Für ultraparallele Linien besagt der ultraparallele Satz , dass es in der hyperbolischen Ebene eine eindeutige Linie gibt, die senkrecht zu jedem Paar ultraparalleler Linien steht.

Kreise und Scheiben

In der hyperbolischen Geometrie ist der Umfang eines Kreises mit Radius r größer als .

Sei , wo ist die Gaußsche Krümmung der Ebene. In der hyperbolischen Geometrie ist negativ, also hat die Quadratwurzel eine positive Zahl.

Dann ist der Umfang eines Kreises mit Radius r gleich:

Und die Fläche der beiliegenden Scheibe ist:

Daher ist in der hyperbolischen Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Radius immer strikt größer als , obwohl es durch Auswahl eines ausreichend kleinen Kreises beliebig eng gemacht werden kann.

Wenn die Gaußsche Krümmung der Ebene −1 ist, dann ist die geodätische Krümmung eines Kreises mit dem Radius r :

Hyperzyklen und Horozyklen

Hypercycle und Pseudogon im Poincare-Scheibenmodell

In der hyperbolischen Geometrie gibt es keine Linie, deren Punkte alle gleich weit von einer anderen Linie entfernt sind. Stattdessen liegen die Punkte, die alle den gleichen orthogonalen Abstand von einer gegebenen Linie haben, auf einer Kurve, die als Hyperzyklus bezeichnet wird .

Eine weitere spezielle Kurve ist der Horocyclus , eine Kurve, deren Normalenradien ( senkrechte Linien) alle parallel zueinander begrenzen (alle konvergieren asymptotisch in eine Richtung zum gleichen idealen Punkt , dem Mittelpunkt des Horocyclus).

Durch jedes Punktpaar gibt es zwei Horozyklen. Die Mittelpunkte der Horozyklen sind die idealen Punkte der Mittelsenkrechten des Liniensegments zwischen ihnen.

Bei gegebenen drei verschiedenen Punkten liegen sie alle entweder auf einer Linie, einem Hyperzyklus , einem Horozyklus oder einem Kreis.

Die Länge des Liniensegments ist die kürzeste Länge zwischen zwei Punkten. Die Bogenlänge eines Hyperzyklus, der zwei Punkte verbindet, ist länger als die des Liniensegments und kürzer als die eines Horozyklus, der dieselben zwei Punkte verbindet. Die Bogenlänge beider Horozyklen, die zwei Punkte verbinden, ist gleich. Die Bogenlänge eines Kreises zwischen zwei Punkten ist größer als die Bogenlänge eines Horocyclus, der zwei Punkte verbindet.

Wenn die Gaußsche Krümmung der Ebene –1 beträgt, ist die geodätische Krümmung eines Horocyclus 1 und eines Hypercyclus zwischen 0 und 1.

Dreiecke

Im Gegensatz zu euklidischen Dreiecken, bei denen sich die Winkel immer zu π Radiant (180°, ein gerader Winkel ) addieren , ist in der hyperbolischen Geometrie die Summe der Winkel eines hyperbolischen Dreiecks immer strikt kleiner als π Radiant (180°, ein gerader Winkel ). Die Differenz wird als Defekt bezeichnet .

Die Fläche eines hyperbolischen Dreiecks wird durch seinen Defekt im Bogenmaß multipliziert mit R 2 gegeben . Folglich haben alle hyperbolischen Dreiecke eine Fläche kleiner oder gleich R 2 π. Die Fläche eines hyperbolischen idealen Dreiecks, in dem alle drei Winkel 0° betragen, entspricht diesem Maximum.

Wie in der euklidischen Geometrie hat jedes hyperbolische Dreieck einen Inkreis . Wenn in der hyperbolischen Geometrie alle drei Eckpunkte auf einem Horocyclus oder Hypercyclus liegen , dann hat das Dreieck keinen umschriebenen Kreis .

Wie in der sphärischen und elliptischen Geometrie müssen in der hyperbolischen Geometrie, wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sie kongruent sein.

Regelmäßiges Apeirogon

ein Apeirogon und ein umschriebener Horozyklus im Poincare-Scheibenmodell

Ein besonderes Polygon in der hyperbolischen Geometrie ist das regelmäßige Apeirogon , ein gleichförmiges Polygon mit unendlich vielen Seiten.

In der euklidischen Geometrie besteht die einzige Möglichkeit, ein solches Polygon zu konstruieren, darin, dass die Seitenlängen gegen Null gehen und das Apeirogon nicht von einem Kreis zu unterscheiden ist, oder die Innenwinkel zu 180 Grad neigen und sich das Apeirogon einer geraden Linie nähert.

In der hyperbolischen Geometrie hat ein regelmäßiges Apeirogon jedoch Seiten beliebiger Länge (dh es bleibt ein Polygon).

Die Seiten- und Winkelhalbierenden sind je nach Seitenlänge und Winkel zwischen den Seiten begrenzend oder parallel divergierend (siehe Zeilen oben ). Wenn die Winkelhalbierenden parallel begrenzend sind, kann das Apeirogon von konzentrischen Horozyklen eingeschrieben und umschrieben werden .

Wenn die Winkelhalbierenden parallel divergieren, kann ein Pseudogon (deutlich verschieden von einem Apeirogon) in Hyperzyklen eingeschrieben werden (alle Scheitelpunkte haben den gleichen Abstand einer Linie, die Achse, auch die Mittelpunkte der Seitensegmente sind alle gleich weit von der gleichen Achse entfernt. )

Tessellationen

Rhombitriheptagonale Kachelung der hyperbolischen Ebene, gesehen im Poincaré-Scheibenmodell

Wie die euklidische Ebene ist es auch möglich, die hyperbolische Ebene mit regelmäßigen Polygonen als Flächen zu tesselieren .

Es gibt unendlich viele gleichmäßige Kacheln basierend auf den Schwarz-Dreiecken ( p q r ) wobei 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1, wobei p ,  q ,  r jeweils Ordnungen der Reflexionssymmetrie an drei Punkten des sind fundamentales Domänendreieck , die Symmetriegruppe ist eine hyperbolische Dreiecksgruppe . Es gibt auch unendlich viele gleichmäßige Kacheln, die nicht aus Schwarz-Dreiecken erzeugt werden können, einige benötigen beispielsweise Vierecke als Fundamentalbereiche.

Standardisierte Gaußsche Krümmung

Obwohl die hyperbolische Geometrie für jede Fläche mit konstanter negativer Gaußscher Krümmung gilt , wird üblicherweise von einer Skala ausgegangen, in der die Krümmung K −1 ist.

Dadurch werden einige Formeln einfacher. Einige Beispiele sind:

  • Die Fläche eines Dreiecks ist gleich seinem Winkelfehler im Bogenmaß .
  • Die Fläche eines Horocyclus-Sektors entspricht der Länge seines Horocyclusbogens.
  • Ein Bogen eines horocycle so dass eine Linie , die tangential an einem Endpunkt ist , parallel zu begrenzen , der den Radius durch den anderen Endpunkt hat eine Länge von 1.
  • Das Verhältnis der Bogenlängen zwischen zwei Radien zweier konzentrischer Horozyklen, bei denen die Horozyklen einen Abstand von 1 haben, beträgt e  : 1.

Kartesische Koordinatensysteme

In der hyperbolischen Geometrie ist die Winkelsumme eines Vierecks immer kleiner als 360 Grad, und hyperbolische Rechtecke unterscheiden sich stark von euklidischen Rechtecken, da es keine äquidistanten Linien gibt, so dass ein echtes euklidisches Rechteck von zwei Linien und zwei Hyperzyklen umgeben sein müsste . All dies verkompliziert Koordinatensysteme.

Es gibt jedoch verschiedene Koordinatensysteme für die hyperbolische Ebenengeometrie. Alle basieren darauf, einen Punkt (den Ursprung) auf einer gewählten gerichteten Linie (der x- Achse) zu wählen, und danach gibt es viele Auswahlmöglichkeiten.

Die Lobatschewski-Koordinaten x und y werden durch Fallenlassen einer Senkrechten auf die x- Achse gefunden. x ist die Beschriftung des Fußes der Senkrechten. y ist der Abstand entlang der Senkrechten des gegebenen Punktes von seinem Fuß (positiv auf einer Seite und negativ auf der anderen).

Ein anderes Koordinatensystem misst die Entfernung vom Punkt zum Horocycle durch den um den Mittelpunkt zentrierten Ursprung und die Länge entlang dieses Horocycles.

Andere Koordinatensysteme verwenden das unten beschriebene Klein-Modell oder das Poincare-Scheibenmodell und nehmen die euklidischen Koordinaten als hyperbolisch.

Distanz

Konstruieren Sie ein kartesisches Koordinatensystem wie folgt. Wählen Sie eine Linie (die x -Achse) in der hyperbolischen Ebene (mit einer standardisierten Krümmung von −1) und beschriften Sie die Punkte darauf mit ihrem Abstand von einem Ursprung ( x =0) Punkt auf der x -Achse (positiv auf einer Seite und negativ auf der anderen). Für jeden Punkt in der Ebene kann man die Koordinaten x und y definieren, indem man eine Senkrechte auf die x- Achse legt. x ist die Beschriftung des Fußes der Senkrechten. y ist der Abstand entlang der Senkrechten des gegebenen Punktes von seinem Fuß (positiv auf einer Seite und negativ auf der anderen). Dann ist der Abstand zwischen zwei solchen Punkten

Diese Formel lässt sich aus den Formeln über hyperbolische Dreiecke ableiten .

Der entsprechende metrische Tensor ist: .

In diesem Koordinatensystem stehen Geraden entweder senkrecht zur x -Achse (mit Gleichung x = eine Konstante) oder werden durch Gleichungen der Form

wobei A und B reelle Parameter sind, die die Gerade charakterisieren.

Geschichte

Seit der Veröffentlichung von Euklids Elementen um 300 v. Chr. Unternahmen viele Geometer Versuche, das Parallelpostulat zu beweisen . Einige versuchten es zu beweisen, indem sie ihre Negation annahmen und versuchten, einen Widerspruch abzuleiten . Unter diesen waren an erster Stelle Proclus , Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám , Nasīr al-Dīn al-Tūsī , Witelo , Gersonides , Alfonso und später Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis , Johann Heinrich Lambert und Legendre . Ihre Versuche waren zum Scheitern verurteilt (wie wir heute wissen, ist das Parallelpostulat nicht aus den anderen Postulaten beweisbar), aber ihre Bemühungen führten zur Entdeckung der hyperbolischen Geometrie.

Die Sätze von Alhacen, Khayyam und al-Tūsī über Vierecke , einschließlich des Ibn al-Haytham-Lambert-Vierecks und des Khayyam-Saccheri-Vierecks , waren die ersten Sätze über die hyperbolische Geometrie. Ihre Arbeiten zur hyperbolischen Geometrie hatten einen erheblichen Einfluss auf ihre Entwicklung bei späteren europäischen Geometern, darunter Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis und Saccheri.

Im 18. Jahrhundert führte Johann Heinrich Lambert die hyperbolischen Funktionen ein und berechnete die Fläche eines hyperbolischen Dreiecks .

Entwicklungen des 19. Jahrhunderts

Im 19. Jahrhundert wurde die hyperbolische Geometrie von Nikolai Ivanovich Lobachevsky , János Bolyai , Carl Friedrich Gauß und Franz Taurinus ausgiebig erforscht . Im Gegensatz zu ihren Vorgängern, die nur das Parallelpostulat aus den Axiomen der euklidischen Geometrie eliminieren wollten, erkannten diese Autoren, dass sie eine neue Geometrie entdeckt hatten. Gauss schrieb 1824 in einem Brief an Franz Taurinus, dass er es gebaut habe, aber Gauss veröffentlichte sein Werk nicht. Gauß nannte es " nichteuklidische Geometrie ", was mehrere moderne Autoren veranlasste, "nichteuklidische Geometrie" und "hyperbolische Geometrie" weiterhin als Synonyme zu betrachten. Taurinus veröffentlichte 1826 Ergebnisse zur hyperbolischen Trigonometrie, argumentierte, dass die hyperbolische Geometrie selbstkonsistent ist, glaubte aber immer noch an die besondere Rolle der euklidischen Geometrie. Das vollständige System der hyperbolischen Geometrie wurde 1829/1830 von Lobatschewski veröffentlicht, während Bolyai es unabhängig entdeckte und 1832 veröffentlichte.

1868 Eugenio Beltrami bereitgestellt Modelle (siehe unten) der hyperbolischen Geometrie und verwendete dies , dass die hyperbolische Geometrie war konsistent zu beweisen , wenn und nur wenn die euklidische Geometrie war.

Der Begriff "hyperbolische Geometrie" wurde 1871 von Felix Klein eingeführt. Klein folgte einer Initiative von Arthur Cayley , um die Transformationen der projektiven Geometrie zu verwenden, um Isometrien zu erzeugen . Die Idee verwendet einen konischen Abschnitt oder eine Quadrik , um eine Region zu definieren, und ein Kreuzverhältnis , um eine Metrik zu definieren . Die projektiven Transformationen, die den Kegelschnitt oder die Quadrik stabil verlassen, sind die Isometrien. "Klein zeigte, dass, wenn das Cayley-Absolute eine reelle Kurve ist, der Teil der projektiven Ebene in seinem Inneren isometrisch zur hyperbolischen Ebene ist ..."

Weitere Informationen zur Geschichte finden Sie im Artikel über nichteuklidische Geometrie und in den Referenzen Coxeter und Milnor .

Philosophische Konsequenzen

Die Entdeckung der hyperbolischen Geometrie hatte wichtige philosophische Konsequenzen. Vor ihrer Entdeckung betrachteten viele Philosophen (zum Beispiel Hobbes und Spinoza ) philosophische Strenge im Sinne der „geometrischen Methode“ und bezogen sich dabei auf die in Euklids Elemente verwendete Denkmethode .

Kant kam in der Kritik der reinen Vernunft zu dem Schluss, dass Raum (in der euklidischen Geometrie ) und Zeit vom Menschen nicht als objektive Merkmale der Welt entdeckt werden, sondern Teil eines unvermeidlichen systematischen Rahmens für die Organisation unserer Erfahrungen sind.

Gauss soll aus Angst vor dem „Aufruhr der Böotier “ nichts über hyperbolische Geometrie veröffentlicht haben , was seinen Status als princeps mathematicorum (lateinisch „der Fürst der Mathematiker“) ruinieren würde . Der "Aufruhr der Böotier" kam und ging und gab den Anstoß zu großen Verbesserungen in mathematischer Strenge , analytischer Philosophie und Logik . Die hyperbolische Geometrie wurde schließlich als konsistent bewiesen und ist daher eine weitere gültige Geometrie.

Geometrie des Universums (nur räumliche Dimensionen)

Da die euklidische, hyperbolische und elliptische Geometrie alle konsistent sind, stellt sich die Frage: Welches ist die wirkliche Geometrie des Raums, und wenn er hyperbolisch oder elliptisch ist, wie ist seine Krümmung?

Lobatschewsky hatte bereits versucht, die Krümmung des Universums zu messen, indem er die Parallaxe von Sirius maß und Sirius als den idealen Punkt eines Parallelitätswinkels behandelte . Er erkannte, dass seine Messungen nicht genau genug waren , um eine definitive Antwort zu geben, kam jedoch zu dem Schluss, dass die absolute Länge bei einer hyperbolischen Geometrie des Universums mindestens das Millionenfache des Durchmessers der Erdbahn beträgt (2 000 000  AE , 10 Parsec ). Einige argumentieren, dass seine Messungen methodisch fehlerhaft waren.

Henri Poincaré kam mit seinem Kugel-Welt- Gedankenexperiment zu dem Schluss, dass Alltagserfahrungen andere Geometrien nicht unbedingt ausschließen.

Die Geometrisierungsvermutung liefert eine vollständige Liste von acht Möglichkeiten für die grundlegende Geometrie unseres Raums. Das Problem bei der Bestimmung, welche davon zutrifft, besteht darin, dass wir, um eine endgültige Antwort zu erhalten, in der Lage sein müssen, extrem große Formen zu betrachten – viel größer als alles auf der Erde oder vielleicht sogar in unserer Galaxie.

Geometrie des Universums (spezielle Relativitätstheorie)

Die spezielle Relativitätstheorie stellt Raum und Zeit gleich, so dass man die Geometrie einer einheitlichen Raumzeit betrachtet, anstatt Raum und Zeit getrennt zu betrachten. Die Minkowski-Geometrie ersetzt die Galileische Geometrie (das ist der dreidimensionale euklidische Raum mit der Zeit der Galileischen Relativität ).

In der Relativitätstheorie, anstatt euklidische, elliptische und hyperbolische Geometrien zu berücksichtigen, sind die geeigneten zu berücksichtigenden Geometrien der Minkowski-Raum , der de Sitter-Raum und der Anti-de-Sitter-Raum , entsprechend der Null-, positiven bzw. negativen Krümmung.

Die hyperbolische Geometrie tritt durch die Schnelligkeit in die spezielle Relativitätstheorie ein , die für Geschwindigkeit steht und durch einen hyperbolischen Winkel ausgedrückt wird . Das Studium dieser Geschwindigkeitsgeometrie wurde kinematische Geometrie genannt . Der Raum der relativistischen Geschwindigkeiten hat eine dreidimensionale hyperbolische Geometrie, wobei die Distanzfunktion aus den relativen Geschwindigkeiten "naher" Punkte (Geschwindigkeiten) bestimmt wird.

Physikalische Realisierungen der hyperbolischen Ebene

Die hyperbolische Ebene ist eine Ebene, in der jeder Punkt ein Sattelpunkt ist . Es gibt verschiedene Pseudosphären im euklidischen Raum, die einen endlichen Bereich mit konstanter negativer Gaußscher Krümmung haben.

Nach dem Satz von Hilbert ist es nicht möglich, eine vollständige hyperbolische Ebene (eine vollständige reguläre Fläche mit konstanter negativer Gaußscher Krümmung ) isometrisch in einen dreidimensionalen euklidischen Raum einzutauchen .

Andere nützliche Modelle der hyperbolischen Geometrie existieren im euklidischen Raum, in dem die Metrik nicht erhalten bleibt. Ein besonders bekanntes Papiermodell basierend auf der Pseudosphäre geht auf William Thurston zurück .

Eine Sammlung gehäkelter hyperbolischer Flugzeuge, die einem Korallenriff nachempfunden sind , vom Institute For Figuring
Eine Koralle mit ähnlicher Geometrie am Great Barrier Reef

Die Kunst des Häkelns wurde verwendet (siehe Mathematik und Faserkunst § Stricken und Häkeln ), um hyperbolische Ebenen zu demonstrieren, die erste solche Demonstration wurde von Daina Taimiņa durchgeführt .

Im Jahr 2000 demonstrierte Keith Henderson ein schnell herzustellendes Papiermodell, das als „ hyperbolischer Fußball “ (genauer gesagt eine abgeschnittene dreieckige Kachelung der Ordnung-7 ) bezeichnet wird.

Anweisungen zur Herstellung einer hyperbolischen Steppdecke, entworfen von Helaman Ferguson , wurden von Jeff Weeks zur Verfügung gestellt .

Modelle der hyperbolischen Ebene

Es gibt verschiedene pseudosphärische Oberflächen , die über einen großen Bereich eine konstante negative Gaußsche Krümmung aufweisen, wobei die Pseudosphäre die bekannteste ist.

Bei anderen Modellen ist es jedoch einfacher, hyperbolische Geometrie zu erstellen.

Poincaré-Scheibenmodell mit abgeschnittener triheptagonaler Kachelung
Linien durch einen bestimmten Punkt und parallel zu einer bestimmten Linie, dargestellt im Poincaré-Scheibenmodell

Es gibt vier Modelle, die üblicherweise für die hyperbolische Geometrie verwendet werden: das Klein-Modell , das Poincaré-Scheibenmodell , das Poincaré-Halbebenenmodell und das Lorentz- oder Hyperboloid-Modell . Diese Modelle definieren eine hyperbolische Ebene, die den Axiomen einer hyperbolischen Geometrie genügt. Trotz ihrer Namen wurden die ersten drei oben genannten als Modelle des hyperbolischen Raums von Beltrami eingeführt , nicht von Poincaré oder Klein . Alle diese Modelle sind auf weitere Dimensionen erweiterbar.

Das Beltrami-Klein-Modell

Das Beltrami-Klein-Modell , auch bekannt als projektives Scheibenmodell, Kleinsches Modell und Klein-Modell , ist nach Eugenio Beltrami und Felix Klein benannt .

Für die beiden Dimensionen verwendet dieses Modell das Innere des Einheitskreises für die vollständige hyperbolische Ebene , und die Sehnen dieses Kreises sind die hyperbolischen Linien.

Für höhere Dimensionen verwendet dieses Modell das Innere der Einheitskugel , und die Akkorde dieser n- Kugel sind die hyperbolischen Linien.

Das Poincaré-Scheibenmodell

Das Poincaré-Scheibenmodell , auch als konformes Scheibenmodell bekannt, verwendet ebenfalls das Innere des Einheitskreises , aber Linien werden durch Kreisbögen dargestellt, die orthogonal zum Grenzkreis sind, plus Durchmesser des Grenzkreises.

  • Dieses Modell behält Winkel bei und ist dadurch konform . Alle Isometrien innerhalb dieses Modells sind daher Möbius-Transformationen .
  • Kreise, die sich vollständig innerhalb der Scheibe befinden, bleiben Kreise, obwohl der euklidische Mittelpunkt des Kreises näher am Mittelpunkt der Scheibe liegt als der hyperbolische Mittelpunkt des Kreises.
  • Horozyklen sind Kreise innerhalb der Scheibe, die den Randkreis tangieren , abzüglich des Berührungspunktes.
  • Hyperzyklen sind Sehnen mit offenem Ende und Kreisbögen innerhalb der Scheibe, die in nicht orthogonalen Winkeln auf dem Grenzkreis enden.

Das Poincaré-Halbflugzeug-Modell

Das Poincaré-Halbebenenmodell nimmt eine Hälfte der euklidischen Ebene, die durch eine Linie B der Ebene begrenzt wird, als Modell der hyperbolischen Ebene. Die Linie B ist nicht im Modell enthalten.

Die euklidische Ebene kann als eine Ebene mit dem kartesischen Koordinatensystem angesehen werden und die x-Achse wird als Linie B genommen und die Halbebene ist die obere Hälfte ( y > 0) dieser Ebene.

  • Hyperbolische Linien sind dann entweder zu B orthogonale Halbkreise oder zu B senkrechte Strahlen .
  • Die Länge eines Intervalls auf einem Strahl ist logarithmisch gegeben, also invariant unter einer homothetischen Transformation
  • Wie das Poincaré-Scheibenmodell behält dieses Modell Winkel bei und ist somit konform . Alle Isometrien innerhalb dieses Modells sind daher Möbius-Transformationen der Ebene.
  • Das Halbebenenmodell ist die Grenze des Poincaré-Scheibenmodells, dessen Grenze B an demselben Punkt tangiert, während der Radius des Scheibenmodells gegen Unendlich geht.

Das Hyperboloid-Modell

Das Hyperboloid-Modell oder Lorentz-Modell verwendet ein 2-dimensionales Rotationshyperboloid (aus zwei Blättern, aber unter Verwendung eines) eingebettet in den 3-dimensionalen Minkowski-Raum . Dieses Modell wird im Allgemeinen Poincaré zugeschrieben, aber Reynolds sagt, dass Wilhelm Killing dieses Modell 1885 verwendet hat

  • Dieses Modell hat eine direkte Anwendung auf die spezielle Relativitätstheorie , da der Minkowski 3-Raum ein Modell für die Raumzeit ist , das eine räumliche Dimension unterdrückt. Man kann das Hyperboloid nehmen, um die Ereignisse darzustellen, die verschiedene sich bewegende Beobachter, die von einem einzigen Punkt in einer Raumebene nach außen strahlen, in einer festen Eigenzeit erreichen .
  • Der hyperbolische Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Hyperboloid kann dann mit der relativen Geschwindigkeit zwischen den beiden entsprechenden Beobachtern identifiziert werden .
  • Das Modell verallgemeinert direkt auf eine zusätzliche Dimension, in der sich die dreidimensionale hyperbolische Geometrie auf den Minkowski-4-Raum bezieht.

Das Hemisphärenmodell

Das Hemisphärenmodell wird nicht oft als alleiniges Modell verwendet, aber es dient als nützliches Werkzeug zur Visualisierung von Transformationen zwischen den anderen Modellen.

Das Hemisphärenmodell verwendet die obere Hälfte der Einheitskugel :

Die hyperbolischen Linien sind Halbkreise orthogonal zur Grenze der Hemisphäre.

Das Hemisphärenmodell ist Teil einer Riemannschen Kugel , und verschiedene Projektionen ergeben verschiedene Modelle der hyperbolischen Ebene:

Siehe weiter: Verbindung zwischen den Modellen (unten)

Das Gans-Modell

1966 schlug David Gans in der Zeitschrift American Mathematical Monthly ein abgeflachtes Hyperboloidmodell vor . Es ist eine orthographische Projektion des Hyperboloidmodells auf die xy-Ebene. Dieses Modell wird nicht so häufig verwendet wie andere Modelle, ist aber dennoch sehr nützlich für das Verständnis der hyperbolischen Geometrie.

Das Bandmodell

Das Bandmodell verwendet einen Teil der euklidischen Ebene zwischen zwei parallelen Linien. Der Abstand wird entlang einer Linie durch die Mitte des Bandes beibehalten. Unter der Annahme, dass das Band durch gegeben ist , ist die Metrik durch gegeben .

Verbindung zwischen den Modellen

Poincaré-Scheiben-, Halbkugel- und Hyperboloid-Modelle werden durch stereographische Projektion von −1 in Beziehung gesetzt . Das Beltrami-Klein-Modell ist eine orthographische Projektion aus einem hemisphärischen Modell. Poincaré-Halbebenenmodell, hier projiziert vom hemisphärischen Modell durch Strahlen vom linken Ende des Poincaré-Scheibenmodells.

Alle Modelle beschreiben im Wesentlichen den gleichen Aufbau. Der Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass sie verschiedene Koordinatendiagramme darstellen , die auf demselben metrischen Raum , nämlich der hyperbolischen Ebene, liegen. Das charakteristische Merkmal der hyperbolischen Ebene selbst ist, dass sie eine konstante negative Gaußsche Krümmung hat , die gegenüber dem verwendeten Koordinatendiagramm indifferent ist. Die Geodäten sind ähnlich invariant, dh Geodäten werden unter Koordinatentransformation auf Geodäten abgebildet. Die hyperbolische Geometrie wird im Allgemeinen in Bezug auf die Geodäten und deren Schnittpunkte auf der hyperbolischen Ebene eingeführt.

Sobald wir ein Koordinatendiagramm (eines der "Modelle") ausgewählt haben, können wir es immer in einen euklidischen Raum derselben Dimension einbetten , aber die Einbettung ist eindeutig nicht isometrisch (da die Krümmung des euklidischen Raums 0 ist). Der hyperbolische Raum kann durch unendlich viele verschiedene Diagramme dargestellt werden; aber die Einbettungen in den euklidischen Raum aufgrund dieser vier spezifischen Karten zeigen einige interessante Eigenschaften.

Da die vier Modelle denselben metrischen Raum beschreiben, kann jedes in das andere umgewandelt werden.

Siehe zum Beispiel:

Isometrien der hyperbolischen Ebene

Jede Isometrie ( Transformation oder Bewegung ) der hyperbolischen Ebene zu sich selbst kann als Komposition von höchstens drei Spiegelungen realisiert werden . Im n- dimensionalen hyperbolischen Raum können bis zu n +1 Reflexionen erforderlich sein. (Dies gilt auch für euklidische und kugelförmige Geometrien, aber die folgende Klassifizierung ist anders.)

Alle Isometrien der hyperbolischen Ebene können in diese Klassen eingeteilt werden:

  • Orientierungserhaltung
    • die Identitätsisometrie – nichts bewegt sich; null Reflexionen; null Freiheitsgrade .
    • Umkehrung durch einen Punkt (halbe Drehung) – zwei Spiegelungen durch zueinander senkrechte Linien, die durch den gegebenen Punkt gehen, dh eine Drehung um 180 Grad um den Punkt; zwei Freiheitsgrade .
    • Drehung um einen normalen Punkt — zwei Reflexionen durch Linien, die durch den gegebenen Punkt gehen (einschließlich Umkehrung als Sonderfall); Punkte bewegen sich auf Kreisen um das Zentrum; drei Freiheitsgrade.
    • "Rotation" um einen idealen Punkt (horolation) — zwei Reflexionen durch Linien, die zum idealen Punkt führen; Punkte bewegen sich entlang von Horocycles, die um den idealen Punkt zentriert sind; zwei Freiheitsgrade.
    • Translation entlang einer geraden Linie — zwei Reflexionen durch Linien senkrecht zur gegebenen Linie; Punkte außerhalb der gegebenen Linie bewegen sich entlang von Hyperzyklen; drei Freiheitsgrade.
  • Orientierungsumkehr
    • Reflexion durch eine Linie – eine Reflexion; zwei Freiheitsgrade.
    • kombinierte Reflexion durch eine Linie und Translation entlang derselben Linie – die Reflexion und Translation kommutieren; drei Reflexionen erforderlich; drei Freiheitsgrade.

Hyperbolische Geometrie in der Kunst

MC Eschers berühmte Drucke Circle Limit III und Circle Limit IV veranschaulichen das konforme Scheibenmodell ( Poincaré-Scheibenmodell ) recht gut. Die weißen Linien in III sind nicht ganz geodätisch (sie sind Hyperzyklen ), aber sie liegen ihnen nahe. Man kann auch ganz deutlich die negative Krümmung der hyperbolischen Ebene durch ihre Wirkung auf die Winkelsumme in Dreiecken und Quadraten erkennen.

Zum Beispiel gehört in Circle Limit III jeder Scheitelpunkt zu drei Dreiecken und drei Quadraten. In der euklidischen Ebene würden ihre Winkel 450° betragen; dh ein Kreis und ein Viertel. Daraus sehen wir, dass die Winkelsumme eines Dreiecks in der hyperbolischen Ebene kleiner als 180° sein muss. Eine weitere sichtbare Eigenschaft ist das exponentielle Wachstum . In Circle Limit III sieht man beispielsweise, dass die Anzahl der Fische im Abstand von n vom Zentrum exponentiell ansteigt. Die Fische haben eine gleiche hyperbolische Fläche, daher muss die Fläche einer Kugel mit Radius n in n exponentiell ansteigen .

Die Kunst des häkeln wird verwendet hyperbolische Ebene zu demonstrieren (Bild oben) mit dem ersten Wesen gemacht von Daina Taimina , dessen Buch Häkeln Adventures mit hyperbolischen Planes gewannen 2009 Anbieter- / Diagram - Preis für Oddest Titel des Jahres .

HyperRogue ist ein Roguelike- Spiel, das auf verschiedenen Kacheln der hyperbolischen Ebene spielt .

Höhere Abmessungen

Hyperbolische Geometrie ist nicht auf 2 Dimensionen beschränkt; für jede höhere Anzahl von Dimensionen existiert eine hyperbolische Geometrie.

Homogene Struktur

Der hyperbolische Raum der Dimension n ist ein Spezialfall eines Riemannschen symmetrischen Raumes nicht kompakten Typs, da er isomorph zum Quotienten

Die orthogonale Gruppe O(1, n ) wirkt durch normerhaltende Transformationen auf den Minkowski-Raum R 1, n , und sie wirkt transitiv auf das Zweiblatthyperboloid der Norm-1-Vektoren. Zeitähnliche Linien (dh solche mit Tangenten positiver Norm) durch den Ursprung gehen durch antipodische Punkte im Hyperboloid, so dass der Raum solcher Linien ein Modell des hyperbolischen n- Raums ergibt . Der Stabilisator einer bestimmten Linie ist isomorph zum Produkt der orthogonalen Gruppen O( n ) und O(1), wobei O( n ) auf den Tangentialraum eines Punktes im Hyperboloid wirkt und O(1) die Linie widerspiegelt durch den Ursprung. Viele der elementaren Konzepte der hyperbolischen Geometrie können in linearen algebraischen Begriffen beschrieben werden: geodätische Pfade werden durch Schnitte mit Ebenen durch den Ursprung beschrieben, Diederwinkel zwischen Hyperebenen können durch innere Produkte von Normalenvektoren beschrieben werden und hyperbolische Reflexionsgruppen können explizit angegeben werden Matrix-Realisierungen.

In kleinen Dimensionen gibt es außergewöhnliche Isomorphismen von Lie-Gruppen, die zusätzliche Möglichkeiten bieten, Symmetrien hyperbolischer Räume zu berücksichtigen. In Dimension 2 beispielsweise erlauben die Isomorphismen SO + (1, 2) ≅ PSL(2, R ) ≅ PSU(1, 1) , das Modell der oberen Halbebene als Quotienten SL(2, R )/SO (2) und das Poincaré-Scheibenmodell als Quotient SU(1, 1)/U(1) . In beiden Fällen wirken die Symmetriegruppen durch fraktionierte lineare Transformationen, da beide Gruppen die orientierungserhaltenden Stabilisatoren in PGL(2, C ) der jeweiligen Unterräume der Riemannschen Kugel sind. Die Cayley-Transformation führt nicht nur ein Modell der hyperbolischen Ebene zum anderen, sondern realisiert den Isomorphismus von Symmetriegruppen als Konjugation in einer größeren Gruppe. In Dimension 3 wird die fraktionelle lineare Wirkung von PGL(2, C ) auf die Riemannsche Kugel mit der Wirkung auf den konformen Rand des hyperbolischen 3-Raums identifiziert, die durch den Isomorphismus O + (1, 3) ≅ PGL(2, C ) . Dies ermöglicht es, Isometrien des hyperbolischen 3-Raums zu studieren, indem man spektrale Eigenschaften repräsentativer komplexer Matrizen berücksichtigt. Zum Beispiel sind parabolische Transformationen im oberen Halbraummodell zu starren Translationen konjugiert, und sie sind genau die Transformationen, die durch unipotente obere Dreiecksmatrizen dargestellt werden können.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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Externe Links