Paraboloid - Paraboloid

Paraboloid der Revolution

In der Geometrie ist ein Paraboloid eine quadratische Fläche , die genau eine Symmetrieachse und kein Symmetriezentrum hat . Der Begriff "Paraboloid" leitet sich von Parabel ab , was sich auf einen Kegelschnitt bezieht , der eine ähnliche Symmetrieeigenschaft hat.

Jeder ebene Schnitt eines Paraboloids durch eine Ebene parallel zur Symmetrieachse ist eine Parabel. Das Paraboloid ist hyperbolisch, wenn jeder zweite ebene Schnitt entweder eine Hyperbel oder zwei sich kreuzende Linien (bei einem Schnitt durch eine Tangentialebene) ist. Das Paraboloid ist elliptisch, wenn jeder andere nichtleere Ebenenschnitt entweder eine Ellipse oder ein einzelner Punkt (im Fall eines Schnitts durch eine Tangentialebene) ist. Ein Paraboloid ist entweder elliptisch oder hyperbolisch.

Äquivalent kann ein Paraboloid als eine quadratische Fläche definiert werden, die kein Zylinder ist und eine implizite Gleichung aufweist, deren Teil vom Grad zwei über die komplexen Zahlen in zwei verschiedene lineare Faktoren faktorisiert werden kann. Das Paraboloid ist hyperbolisch, wenn die Faktoren real sind; elliptisch, wenn die Faktoren komplex konjugiert sind .

Ein elliptisches Paraboloid hat die Form einer ovalen Tasse und hat einen maximalen oder minimalen Punkt, wenn seine Achse vertikal ist. In einem geeigneten Koordinatensystem mit den drei Achsen x , y und z lässt es sich durch die Gleichung

wobei a und b Konstanten sind, die das Krümmungsniveau in der xz- bzw. yz- Ebene bestimmen. In dieser Position öffnet sich das elliptische Paraboloid nach oben.

Hyperbolisches Paraboloid

Ein hyperbolisches Paraboloids (nicht mit einem verwechselt werden Hyperboloid ) ist eine doppelt Regelfläche wie ein förmigen Sattel . In einem geeigneten Koordinatensystem lässt sich ein hyperbolisches Paraboloid durch die Gleichung

In dieser Position öffnet sich das hyperbolische Paraboloid entlang der x- Achse nach unten und entlang der y- Achse nach oben (d. h. die Parabel in der Ebene x = 0 öffnet sich nach oben und die Parabel in der Ebene y = 0 öffnet sich nach unten).

Jedes Paraboloid (elliptisch oder hyperbolisch) ist eine Translationsfläche , wie sie durch eine sich bewegende Parabel erzeugt werden kann, die von einer zweiten Parabel geleitet wird.

Eigenschaften und Anwendungen

Elliptisches Paraboloid

Polygonnetz eines kreisförmigen Paraboloids
Kreisförmiges Paraboloid

In einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem hat ein elliptisches Paraboloid die Gleichung

Wenn a = b , ist ein elliptisches Paraboloid ein kreisförmiges Paraboloid oder Rotationsparaboloid . Es ist eine Rotationsfläche, die durch Drehen einer Parabel um ihre Achse erhalten wird.

Offensichtlich enthält ein kreisförmiges Paraboloid Kreise. Dies gilt auch im allgemeinen Fall (siehe Rundschreiben ).

Aus der Sicht der projektiven Geometrie , ein elliptisches Paraboloid ist ein Ellipsoid , das ist Tangente an die Ebene im Unendlichen .

Ebene Abschnitte

Die ebenen Abschnitte eines elliptischen Paraboloids können sein:

  • eine Parabel , wenn die Ebene parallel zur Achse ist,
  • ein Punkt , wenn die Ebene eine Tangentialebene ist .
  • eine Ellipse oder leer , andernfalls.

Parabolischer Reflektor

Auf der Achse eines kreisförmigen Paraboloids befindet sich ein Punkt, der Brennpunkt (oder Brennpunkt ) genannt wird, so dass, wenn das Paraboloid ein Spiegel ist, Licht (oder andere Wellen) von einer Punktquelle im Brennpunkt in einen parallelen Strahl reflektiert wird , parallel zur Achse des Paraboloids. Dies funktioniert auch umgekehrt: Ein parallel zur Achse des Paraboloids paralleler Lichtstrahl wird im Brennpunkt konzentriert. Für einen Beweis siehe Parabel § Beweis der reflektierenden Eigenschaft .

Daher wird die Form eines kreisförmigen Paraboloids in der Astronomie häufig für Parabolreflektoren und Parabolantennen verwendet.

Die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit ist ebenfalls ein kreisförmiges Paraboloid. Dies wird in Flüssigkeitsspiegelteleskopen und bei der Herstellung von festen Teleskopspiegeln verwendet (siehe Drehofen ).

Hyperbolisches Paraboloid

Ein hyperbolisches Paraboloid mit darin enthaltenen Linien
Pringles frittierte Snacks haben die Form eines hyperbolischen Paraboloids.

Das hyperbolische Paraboloid ist eine Doppelregelfläche : Es enthält zwei Familien von zueinander schiefen Linien . Die Linien in jeder Familie verlaufen parallel zu einer gemeinsamen Ebene, aber nicht zueinander. Daher ist das hyperbolische Paraboloid ein Konoid .

Diese Eigenschaften charakterisieren hyperbolische Paraboloide und werden in einer der ältesten Definitionen von hyperbolischen Paraboloiden verwendet: Ein hyperbolisches Paraboloid ist eine Fläche, die durch eine sich bewegende Linie erzeugt werden kann, die parallel zu einer festen Ebene verläuft und zwei feste Schräglinien kreuzt .

Diese Eigenschaft macht es einfach, ein hyperbolisches Paraboloid aus einer Vielzahl von Materialien und für verschiedene Zwecke herzustellen, von Betondächern bis hin zu Snacks. Insbesondere gebratene Snacks von Pringles ähneln einem abgeschnittenen hyperbolischen Paraboloid.

Ein hyperbolisches Paraboloid ist eine Sattelfläche , da seine Gaußsche Krümmung an jedem Punkt negativ ist. Obwohl es sich um eine Regelfläche handelt, ist sie daher nicht entwickelbar .

Aus der Sicht der projektiven Geometrie , ein hyperbolisches Paraboloids ist ein Hyperboloid , das ist Tangente an die Ebene im Unendlichen .

Ein hyperbolisches Paraboloid der Gleichung oder (dies ist bis auf eine Drehung der Achsen gleich ) kann in Analogie zu rechteckigen Hyperbeln als rechteckiges hyperbolisches Paraboloid bezeichnet werden .

Ebene Abschnitte
Ein hyperbolisches Paraboloid mit Hyperbeln und Parabeln

Ein ebener Schnitt eines hyperbolischen Paraboloids mit Gleichung

kann sein

  • eine Linie , wenn die Ebene parallel zur z- Achse ist und eine Gleichung der Form hat ,
  • eine Parabel , wenn die Ebene parallel zur z -Achse ist und der Schnitt keine Linie ist,
  • ein Paar sich schneidender Linien , wenn die Ebene eine Tangentialebene ist ,
  • eine Hyperbel , sonst.
STL hyperbolisches Paraboloid-Modell

Beispiele in der Architektur

Satteldächer sind oft hyperbolische Paraboloide, da sie leicht aus geraden Materialabschnitten konstruiert werden können. Einige Beispiele:

Zylinder zwischen elliptischen und hyperbolischen Paraboloiden

elliptisches Paraboloid, parabolischer Zylinder, hyperbolisches Paraboloid

Der Bleistift der elliptischen Paraboloide

und der Bleistift der hyperbolischen Paraboloide

sich der gleichen Oberfläche nähern

für , das ist ein parabolischer Zylinder (siehe Bild).

Krümmung

Das elliptische Paraboloid, einfach parametrisiert als

hat Gaußsche Krümmung

und mittlere Krümmung

die beide immer positiv sind, ihr Maximum im Ursprung haben, kleiner werden, wenn sich ein Punkt auf der Oberfläche weiter vom Ursprung entfernt, und asymptotisch gegen Null gehen, wenn sich dieser Punkt unendlich vom Ursprung entfernt.

Das hyperbolische Paraboloid, wenn parametrisiert als

hat Gaußsche Krümmung

und mittlere Krümmung

Geometrische Darstellung des Einmaleins

Wenn das hyperbolische Paraboloid

wird um einen Winkel von gedreht π/4in + z- Richtung (nach der Rechte-Hand-Regel ) ergibt sich die Fläche

und wenn a = b dann vereinfacht sich dies zu

.

Mit a = 2 schließlich sehen wir, dass das hyperbolische Paraboloid

ist kongruent zur Oberfläche

die man sich als geometrische Darstellung ( sozusagen ein dreidimensionaler Nomograph ) eines Einmaleins vorstellen kann .

Die beiden paraboloiden 2 → ℝ Funktionen

und

sind harmonisch konjugiert und bilden zusammen die analytische Funktion

das ist die analytische Fortsetzung der ℝ → ℝ parabolischen Funktion f ( x ) =x 2/2.

Abmessungen einer Paraboloid-Schale

Die Abmessungen einer symmetrischen Paraboloidschüssel sind durch die Gleichung

wobei F die Brennweite ist, D die Tiefe der Schüssel (gemessen entlang der Symmetrieachse vom Scheitelpunkt bis zur Randebene) und R der Radius des Randes ist. Sie müssen alle dieselbe Längeneinheit haben . Sind zwei dieser drei Längen bekannt, kann mit dieser Gleichung die dritte berechnet werden.

Eine komplexere Berechnung ist erforderlich, um den Durchmesser der Schale zu ermitteln, der entlang ihrer Oberfläche gemessen wird . Dies wird manchmal als "linearer Durchmesser" bezeichnet und entspricht dem Durchmesser einer flachen, kreisförmigen Materialplatte, normalerweise Metall, die die richtige Größe hat, um geschnitten und gebogen zu werden, um die Schüssel herzustellen. Für die Berechnung sind zwei Zwischenergebnisse hilfreich: P = 2 F (oder das Äquivalent: P =R 2/2 D) Und Q = P 2 + R 2 , wobei F , D und R wie oben definiert sind. Der Durchmesser der Schale, entlang der Oberfläche gemessen, ergibt sich dann zu

wobei ln x den natürlichen Logarithmus von x bedeutet , dh seinen Logarithmus zur Basis e .

Das Volumen der Schale, die Flüssigkeitsmenge, die sie aufnehmen könnte, wenn der Rand waagerecht und der Scheitelpunkt unten wäre (zB das Fassungsvermögen eines paraboloiden Woks ), wird durch

wobei die Symbole wie oben definiert sind. Dies kann mit den Formeln für die Volumina eines Zylinders ( π R 2 D ), einer Halbkugel (/3R 2 D , wobei D = R ) und ein Kegel (π/3R 2 D ). π R 2 ist die Aperturfläche der Schüssel, die vom Rand umschlossene Fläche, die proportional zur Sonnenlichtmenge ist, die eine Reflektorschüssel auffangen kann. Die Oberfläche einer Parabolantenne für eine Verwendung der Fläche Formel gefunden werden Rotationsfläche , die verleiht

Siehe auch

Verweise

Externe Links

  • Medien im Zusammenhang mit Paraboloid bei Wikimedia Commons