Hyperbolischer Raum - Hyperbolic space

Eine perspektivische Projektion einer dodekaedrischen Tessellation in H 3 .
Vier Dodekaeder treffen sich an jeder Kante und acht an jeder Ecke, wie die Würfel einer kubischen Tessellation in E 3

In der Mathematik ist ein hyperbolischer Raum ein homogener Raum mit einer konstanten negativen Krümmung , wobei die Krümmung in diesem Fall die Schnittkrümmung ist. Es ist hyperbolische Geometrie in mehr als 2 Dimensionen und wird aus unterschieden euklidischen Räumen mit Nullkrümmung , die definieren , die euklidische Geometrie , und elliptischen Räumen , die eine konstante positive Krümmung aufweisen.

Eingebettet in einen euklidischen Raum (höherer Dimension) ist jeder Punkt eines hyperbolischen Raums ein Sattelpunkt . Ein weiteres Unterscheidungseigenschaft ist die Menge an Raum durch die bedeckten n -Kugel in hyperbolischen n -Raum: es erhöht sich exponentiell mit Bezug auf den Radius der Kugel für große Radien, anstatt polynomial .

Formale Definition

Der hyperbolische n- Raum , mit H n bezeichnet , ist die maximal symmetrische, einfach zusammenhängende , n- dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter negativer Schnittkrümmung . Hyperbolischer Raum ist ein Raum mit hyperbolischer Geometrie . Es ist das negative Krümmungsanalogon der n- Kugel . Obwohl hyperbolischen Raum H n ist diffeomorph bis R n , gibt seinen negativen Krümmungs metric es sehr unterschiedliche geometrische Eigenschaften.

Der hyperbolische 2-Raum H 2 wird auch als hyperbolische Ebene bezeichnet .

Modelle des hyperbolischen Raums

Der hyperbolische Raum, der unabhängig von Nikolai Lobachevsky und János Bolyai entwickelt wurde , ist ein geometrischer Raum, der dem euklidischen Raum analog ist , jedoch so, dass Euklids paralleles Postulat nicht mehr als gültig angenommen wird. Stattdessen wird das Parallelpostulat durch die folgende Alternative (in zwei Dimensionen) ersetzt:

  • Gegeben eine beliebige Gerade L und ein Punkt P nicht auf L , gibt es mindestens zwei verschiedene Geraden, die durch P gehen, die L nicht schneiden .

Es ist dann ein Satz, dass es unendlich viele solcher Geraden durch P gibt . Dieses Axiom charakterisiert die hyperbolische Ebene bis auf die Isometrie noch nicht eindeutig ; es gibt eine zusätzliche Konstante, die Krümmung K < 0 , die angegeben werden muss. Es charakterisiert sie jedoch eindeutig bis zur Homothetie , d. h. bis zu Bijektionen, die den Abstandsbegriff nur um eine Gesamtkonstante ändern. Durch Wahl einer geeigneten Längenskala kann man also ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass K = −1 .

Modelle hyperbolischer Räume, die in flache (zB euklidische) Räume eingebettet werden können, können konstruiert werden. Insbesondere die Existenz von Modellräumen impliziert, dass das Parallelpostulat logisch unabhängig von den anderen Axiomen der euklidischen Geometrie ist.

Es gibt mehrere wichtige Modelle des hyperbolischen Raums: das Klein-Modell , das Hyperboloid-Modell , das Poincaré-Kugelmodell und das Poincaré-Halbraummodell . Diese modellieren alle dieselbe Geometrie in dem Sinne, dass zwei beliebige von ihnen durch eine Transformation in Beziehung gesetzt werden können, die alle geometrischen Eigenschaften des Raums, einschließlich der Isometrie , beibehält (jedoch nicht in Bezug auf die Metrik einer euklidischen Einbettung).

Hyperboloid-Modell

Das Hyperboloidmodell realisiert den hyperbolischen Raum als Hyperboloid in R n +1 = {( x 0 ,..., x n )| x iRi = 0,1, ..., n }. Das Hyperboloid ist der Ort H n von Punkten, deren Koordinaten

In diesem Modell ist eine Linie (oder Geodäte ) die Kurve, die durch den Schnittpunkt von H n mit einer Ebene durch den Ursprung in R n +1 gebildet wird .

Das Hyperboloidmodell ist eng mit der Geometrie des Minkowski-Raums verwandt . Die quadratische Form

welches das Hyperboloid definiert, polarisiert zur bilinearen Form

Der mit der Bilinearform B ausgestattete Raum R n +1 ist ein ( n + 1)-dimensionaler Minkowski-Raum R n ,1 .

Man kann einen Abstand auf dem Hyperboloidmodell assoziieren, indem man den Abstand zwischen zwei Punkten x und y auf H n definiert als

Diese Funktion erfüllt die Axiome eines metrischen Raums . Es wird durch die Wirkung der Lorentz-Gruppe auf R n ,1 erhalten . Daher wirkt die Lorentz-Gruppe als Transformationsgruppe, die die Isometrie auf H n bewahrt .

Klein-Modell

Ein alternatives Modell der hyperbolischen Geometrie befindet sich in einem bestimmten Bereich im projektiven Raum . Die Minkowski-Quadratform Q definiert eine Teilmenge U nRP n als Ortskurve von Punkten, für die Q ( x ) > 0 in den homogenen Koordinaten x ist . Das Gebiet U n ist das Klein-Modell des hyperbolischen Raums.

Die Linien dieses Modells sind die offenen Liniensegmente des umgebenden projektiven Raums, die in U n liegen . Der Abstand zwischen zwei Punkten x und y in U n ist definiert durch

Dies ist im projektiven Raum wohldefiniert, da das Verhältnis unter dem inversen hyperbolischen Kosinus homogen vom Grad 0 ist.

Dieses Modell hängt wie folgt mit dem Hyperboloidmodell zusammen. Jeder Punkt xU n entspricht eine Linie L x durch den Ursprung in R n + 1 , durch die Definition des projektiven Raumes. Diese Gerade schneidet das Hyperboloid H n in einem eindeutigen Punkt. Umgekehrt geht durch jeden Punkt auf H n eine eindeutige Linie durch den Ursprung (der ein Punkt im projektiven Raum ist). Diese Korrespondenz definiert eine Bijektion zwischen U n und H n . Es handelt sich um eine Isometrie, da die Auswertung von d ( x , y ) entlang Q ( x ) = Q ( y ) = 1 die Definition des für das Hyperboloidmodell gegebenen Abstands reproduziert.

Poincaré-Kugelmodell

Ein eng verwandtes Modellpaar hyperbolischer Geometrie sind die Poincaré-Kugel- und Poincaré-Halbraummodelle.

Das Kugelmodell stammt aus einer stereographischen Projektion des Hyperboloids im R n +1 auf die Hyperebene { x 0 = 0}. Im Detail sei S der Punkt in R n +1 mit Koordinaten (−1,0,0,...,0): der Südpol für die stereographische Projektion. Für jeden Punkt P auf dem Hyperboloid H n sei P der eindeutige Schnittpunkt der Geraden SP mit der Ebene { x 0 = 0}.

Damit ergibt sich eine bijektive Abbildung von H n in die Einheitskugel

in der Ebene { x 0 = 0}.

Die Geodäten in diesem Modell sind Halbkreise , die senkrecht zur Grenzkugel von B n stehen . Isometrien der Kugel werden durch sphärische Inversion in Hypersphären senkrecht zum Rand erzeugt.

Poincaré-Halbraummodell

Das Halbraummodell resultiert aus der Anwendung der Inversion in einem Kreis mit Mittelpunkt ein Randpunkt des Poincaré-Kugelmodells B n oben und einem Radius von dem doppelten Radius.

Dies schickt Kreise zu Kreisen und Linien und ist zudem eine konforme Transformation . Folglich sind die Geodäten des Halbraummodells Linien und Kreise senkrecht zur Grenzhyperebene.

Hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Jede vollständige , zusammenhängende , einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit konstanter negativer Krümmung −1 ist isometrisch zum reellen hyperbolischen Raum H n . Folglich ist die universelle Hülle jeder geschlossenen Mannigfaltigkeit M konstanter negativer Krümmung −1, also einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit , H n . Somit kann jedes solche M als H n /Γ geschrieben werden, wobei Γ eine torsionsfreie diskrete Gruppe von Isometrien auf H n ist . Das heißt, Γ ist ein Gitter in SO + ( n ,1) .

Riemann-Oberflächen

Zweidimensionale hyperbolische Flächen können auch nach der Sprache der Riemannschen Flächen verstanden werden . Nach dem Uniformisierungssatz ist jede Riemann-Fläche entweder elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch. Die meisten hyperbolischen Flächen haben eine nicht-triviale Fundamentalgruppe π 1 =Γ; die auf diese Weise entstehenden Gruppen werden als Fuchssche Gruppen bezeichnet . Der Quotientenraum H ² / Γ der oberen Halbebene modulo die Grundgruppe als bekannt Fuchsian Modell der hyperbolischen Oberfläche. Die Poincaré-Halbebene ist ebenfalls hyperbolisch, aber einfach zusammenhängend und nicht kompakt . Es ist die universelle Abdeckung der anderen hyperbolischen Flächen.

Die analoge Konstruktion für dreidimensionale hyperbolische Flächen ist das Kleinsche Modell .

Siehe auch

Verweise

  • A'Campo, Norbert und Papadopoulos, Athanase , (2012) Anmerkungen zur hyperbolischen Geometrie , in: Straßburg Master Class on Geometry, S. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 2, No. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 Seiten, SBN ISBN  978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171/105.
  • Ratcliffe, John G., Grundlagen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten , New York, Berlin. Springer-Verlag, 1994.
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  • Wolf, Joseph A. Räume konstanter Krümmung , 1967. Siehe Seite 67.
  • Hyperbolische Voronoi-Diagramme leicht gemacht, Frank Nielsen