Hyperboloid - Hyperboloid

Hyperboloid1.png
Hyperboloid eines Blattes
DoubleCone.png
konische Fläche dazwischen
Hyperboloid2.png
Hyperboloid aus zwei Blättern

In der Geometrie ist ein Rotationshyperboloid , manchmal auch als kreisförmiges Hyperboloid bezeichnet , die Oberfläche, die durch Drehen einer Hyperbel um eine ihrer Hauptachsen erzeugt wird . Ein Hyperboloid ist die Oberfläche von einem Rotationshyperboloid erhalten wird, indem es mittels gerichteter Verformen Skalierungen , oder allgemeiner, einer affinen Transformation .

Ein Hyperboloid ist eine quadratische Fläche , dh eine Fläche, die als Nullmenge eines Polynoms vom Grad zwei in drei Variablen definiert ist. Unter quadratischen Flächen ist ein Hyperboloid dadurch gekennzeichnet, dass es kein Kegel oder Zylinder ist, ein Symmetriezentrum hat und viele Ebenen in Hyperbeln schneidet . Ein Hyperboloid hat drei paarweise senkrechte Symmetrieachsen und drei paarweise senkrechte Symmetrieebenen .

Wählt man bei einem Hyperboloid ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Achsen die Symmetrieachsen des Hyperboloids sind und dessen Ursprung das Symmetriezentrum des Hyperboloids ist, dann kann das Hyperboloid durch eine der beiden folgenden Gleichungen definiert werden:

oder

Beide Flächen sind asymptotisch zum Kegel der Gleichung

Die Fläche ist genau dann ein Rotationshyperboloid, wenn sonst die Achsen eindeutig definiert sind ( bis auf den Austausch der x- Achse und der y- Achse).

Es gibt zwei Arten von Hyperboloiden. Im ersten Fall ( +1 auf der rechten Seite der Gleichung): ein einschichtiges Hyperboloid , auch hyperbolisches Hyperboloid genannt . Es ist eine zusammenhängende Fläche , die an jedem Punkt eine negative Gaußsche Krümmung hat. Dies impliziert, dass nahe jedem Punkt der Schnittpunkt des Hyperboloids und seiner Tangentialebene an dem Punkt aus zwei Kurvenzweigen besteht, die unterschiedliche Tangenten an den Punkt haben. Beim einschichtigen Hyperboloid sind diese Kurvenäste Linien und somit ist das einschichtige Hyperboloid eine zweigeteilte Fläche.

Im zweiten Fall ( −1 auf der rechten Seite der Gleichung): ein Zweiblatthyperboloid , auch elliptisches Hyperboloid genannt . Die Fläche hat zwei zusammenhängende Komponenten und an jedem Punkt eine positive Gaußsche Krümmung. Die Fläche ist also konvex in dem Sinne, dass die Tangentialebene an jedem Punkt die Fläche nur in diesem Punkt schneidet.

Parametrische Darstellungen

Animation eines Rotationshyperboloids

Kartesischen Koordinaten für die Hyperboloide können definiert werden, ähnlich wie bei Kugelkoordinaten , Haltbarkeit Azimutwinkel & thgr;[0, 2 π ) , aber Neigung ändert v in hyperbolischen trigonometrischen Funktionen :

Einflächiges Hyperboloid: v(−∞, ∞)

Zweiflächenhyperboloid: v[0, ∞)

Hyperboloid eines Blattes: Erzeugung durch eine rotierende Hyperbel (oben) und Linie (unten: rot oder blau)
Hyperboloid eines Blattes: ebene Schnitte

Die folgende parametrische Darstellung enthält Hyperboloide eines Blattes, zweier Blätter und ihres gemeinsamen Begrenzungskegels, jeweils mit der -Achse als Symmetrieachse:

  • Denn man erhält ein Hyperboloid von einem Blatt,
  • Für ein Hyperboloid aus zwei Blättern und
  • Für einen Doppelkegel.

Man kann eine parametrische Darstellung eines Hyperboloids mit einer anderen Koordinatenachse als Symmetrieachse erhalten, indem man die Position des Termes auf die entsprechende Komponente in der obigen Gleichung mischt.

Verallgemeinerte Gleichungen

Allgemeiner ausgedrückt wird ein willkürlich orientiertes Hyperboloid, das bei v zentriert ist, durch die Gleichung

in denen A eine ist Matrix und x , v sind Vektoren .

Die Eigenvektoren von A definieren die Hauptrichtungen des Hyperboloids und die Eigenwerte von A sind die Kehrwerte der Quadrate der Halbachsen: , und . Das Einblatt-Hyperboloid hat zwei positive Eigenwerte und einen negativen Eigenwert. Das zweischichtige Hyperboloid hat einen positiven Eigenwert und zwei negative Eigenwerte.

Eigenschaften

Hyperboloid eines Blattes

Linien auf der Oberfläche

Wenn das Hyperboloid die Gleichung hat, dann sind die Geraden

sind in der Oberfläche enthalten.

Falls das Hyperboloid eine Rotationsfläche ist und durch Drehen einer der beiden Linien oder erzeugt werden kann , die schräg zur Rotationsachse sind (siehe Bild). Diese Eigenschaft wird als Satz von Wren bezeichnet . Die häufigere Erzeugung eines Einblatt-Rotationshyperboloids ist die Rotation einer Hyperbel um ihre kleine Halbachse (siehe Bild; eine Rotation der Hyperbel um ihre andere Achse ergibt eine Zweiblatt-Rotationshyperbel).

Ein Hyperboloid eines Blattes ist projektiv äquivalent zu einem hyperbolischen Paraboloid .

Ebenenabschnitte

Der Einfachheit halber werden die ebenen Abschnitte des Einheitshyperboloids mit Gleichung betrachtet. Da ein Hyperboloid in allgemeiner Lage ein affines Abbild des Einheitshyperboloids ist, gilt das Ergebnis auch für den allgemeinen Fall.

  • Eine Ebene mit einer Steigung kleiner als 1 (1 ist die Steigung der Linien auf dem Hyperboloid) schneidet sich in einer Ellipse ,
  • Eine Ebene mit einer Steigung gleich 1, die den Ursprung enthält, schneidet sich in einem Paar paralleler Linien ,
  • Eine Ebene mit einer Steigung gleich 1, die den Ursprung nicht enthält, schneidet sich in einer Parabel ,
  • Eine Tangentialebene schneidet sich in einem Paar sich schneidender Linien ,
  • Eine nicht tangentiale Ebene mit einer Neigung von mehr als 1 schneidet sich in einer Hyperbel .

Offensichtlich enthält jedes einschichtige Rotationshyperboloid Kreise. Dies gilt auch, aber weniger offensichtlich, im allgemeinen Fall (siehe Kreisabschnitt ).

Hyperboloid aus zwei Blättern

Hyperboloid aus zwei Blättern: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel
Hyperboloid aus zwei Blättern: ebene Schnitte

Das Hyperboloid zweier Blätter enthält keine Linien. Die Diskussion der ebenen Schnitte kann für das Einheitshyperboloid zweier Blätter mit Gleichung

.

die durch eine rotierende Hyperbel um eine ihrer Achsen erzeugt werden kann (diejenige, die die Hyperbel schneidet)

  • Eine Ebene mit einer Steigung kleiner als 1 (1 ist die Steigung der Asymptoten der erzeugenden Hyperbel) schneidet sich entweder in einer Ellipse oder in einem Punkt oder gar nicht,
  • Eine Ebene mit einer Steigung gleich 1, die den Ursprung (Mittelpunkt des Hyperboloids) enthält , schneidet sich nicht .
  • Eine Ebene mit Steigung gleich 1, die den Ursprung nicht enthält, schneidet sich in einer Parabel ,
  • Eine Ebene mit einer Steigung größer als 1 schneidet sich in einer Hyperbel .

Offensichtlich enthält jedes zweischichtige Rotationshyperboloid Kreise. Dies gilt auch, aber weniger offensichtlich, im allgemeinen Fall (siehe Kreisabschnitt ).

Bemerkung: Ein Hyperboloid aus zwei Schichten ist projektiv äquivalent zu einer Kugel.

Andere Eigenschaften

Symmetrien

Die Hyperboloide mit Gleichungen sind

  • punktsymmetrisch zum Ursprung,
  • symmetrisch zu den Koordinatenebenen und
  • rotationssymmetrisch zur z-Achse und symmetrisch zu jeder Ebene, die die z-Achse enthält, im Fall von (Drehhyperboloid).

Krümmung

Während die Gaußsche Krümmung eines einschichtigen Hyperboloids negativ ist, ist die eines zweischichtigen Hyperboloids positiv. Trotz seiner positiven Krümmung kann auch das Hyperboloid zweier Blätter mit einer anderen geeignet gewählten Metrik als Modell für die hyperbolische Geometrie verwendet werden.

In mehr als drei Dimensionen

Imaginäre Hyperboloide finden sich häufig in der Mathematik höherer Dimensionen. In einem pseudoeuklidischen Raum verwendet man beispielsweise eine quadratische Form :

Wenn c eine beliebige Konstante ist , dann ist der durch gegebene Teil des Raums

heißt Hyperboloid . Der entartete Fall entspricht c = 0 .

Betrachten Sie als Beispiel die folgende Passage:

... liegen die Geschwindigkeitsvektoren immer auf einer Fläche, die Minkowski ein vierdimensionales Hyperboloid nennt, denn in rein reellen Koordinaten ( y 1 , ..., y 4 ) ausgedrückt, lautet ihre Gleichung y2
1
+ ja2
2
+ ja2
3
ja2
4
= −1
, analog zum Hyperboloid y2
1
+ ja2
2
ja2
3
= −1
des dreidimensionalen Raums.

Allerdings wird in diesem Zusammenhang auch der Begriff Quasi-Kugel verwendet, da Kugel und Hyperboloid eine gewisse Gemeinsamkeit aufweisen (siehe § Beziehung zur Kugel unten).

Hyperboloide Strukturen

Einschichtige Hyperboloide werden im Bauwesen verwendet, wobei die Strukturen Hyperboloidstrukturen genannt werden . Ein Hyperboloid ist eine doppelte Regelfläche ; Daher kann es mit geraden Stahlträgern gebaut werden, wodurch eine stabile Struktur zu geringeren Kosten als bei anderen Methoden hergestellt wird. Beispiele sind Kühltürme , insbesondere von Kraftwerken , und viele andere Bauwerke .

Bezug zur Kugel

1853 veröffentlichte William Rowan Hamilton seine Lectures on Quaternions, die auch die Präsentation von Biquaternions beinhalteten . Der folgende Abschnitt von Seite 673 zeigt , wie Hamilton Biquaternion Algebra und Vektoren aus verwendeten Quaternionen zu produzieren Hyperboloide aus der Gleichung einer Kugel :

... die Gleichung der Einheitskugel & rgr; 2 + 1 = 0 , und den Vektor ändern ρ zu einer Bivektors Form , wie σ + & tgr; -1 . Die Kugelgleichung zerfällt dann in das System der beiden folgenden:
σ 2 - τ 2 + 1 = 0 , S . στ = 0 ;
und schlägt vor, σ und τ als zwei reelle und rechteckige Vektoren zu betrachten, so dass
T τ = ( T σ 2 − 1 ) 1/2 .
Daher ist es leicht zu schließen , daß , wenn wir annehmen , σ λ , wobei λ ein Vektor in einer bestimmten Position, der neue reelle Vektor σ + τ auf der Oberfläche eines beendet wird zweischaliger Hyperboloids und gleichseitig ; und wenn wir andererseits τ λ annehmen , dann ist die Ortskurve des Endes des reellen Vektors σ + τ ein gleichseitiges, aber einschichtiges Hyperboloid . Das Studium dieser beiden Hyperboloide ist also auf diese Weise sehr einfach durch Biquaternionen mit dem Studium der Sphäre verbunden; ...

In dieser Passage ist S der Operator, der den skalaren Teil einer Quaternion angibt, und T ist der "Tensor", jetzt Norm genannt , einer Quaternion.

Eine moderne Ansicht der Vereinigung von Kugel und Hyperboloid verwendet die Idee eines Kegelschnitts als Ausschnitt einer quadratischen Form . Anstelle einer konischen Fläche benötigt man konische Hyperflächen im vierdimensionalen Raum mit Punkten p = ( w , x , y , z ) R 4 bestimmt durch quadratische Formen . Betrachten Sie zunächst die konische Hyperfläche

und
was eine Hyperebene ist .

Dann ist die Kugel mit Radius r . Andererseits ist die konische Hyperfläche

liefert das ist ein Hyperboloid.

In der Theorie der quadratischen Formen , eine Einheit Quasi-Kugel ist , die Teilmenge einer quadratischen Raum X aus der xX , so daß die quadratische Norm der x eins ist.

Siehe auch

Shukhov Hyperboloidturm (1898) in Vyksa , Russland

Verweise

Externe Links