Hyperkonus - Hypercone

Stereografische Projektion der erzeugenden Linien (rot), Parallelen (grün) und Hypermeridiane (blau) eines Kugelkegels. Aufgrund der konformen Eigenschaft der stereographischen Projektion schneiden sich die Kurven wie in 4D orthogonal (in den gelben Punkten). Alle Kurven sind Kreise oder Geraden. Die Erzeugenden und Parallelen erzeugen einen 3D-Doppelkegel. Die Hypermeridiane erzeugen einen Satz konzentrischer Kugeln.

In der Geometrie ist ein Hyperkegel (oder Kugelkegel ) die Figur im 4-dimensionalen euklidischen Raum, dargestellt durch die Gleichung

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.}$

Es ist eine quadratische Fläche und ist eine der möglichen 3- Mannigfaltigkeiten, die 4-dimensionale Äquivalente der Kegelfläche in 3 Dimensionen sind. Er wird auch Kugelkegel genannt , weil seine Schnittpunkte mit Hyperebenen senkrecht zur w- Achse Kugeln sind . Ein vierdimensionaler rechter sphärischer Hyperkegel kann als eine Kugel gedacht werden, die sich mit der Zeit ausdehnt, wobei ihre Ausdehnung von einer einzelnen Punktquelle ausgeht, so dass der Mittelpunkt der sich ausdehnenden Kugel fest bleibt. Ein schräger kugelförmiger Hyperkegel wäre eine Kugel, die sich mit der Zeit ausdehnt und ihre Ausdehnung wiederum von einer Punktquelle aus beginnt, jedoch so, dass sich der Mittelpunkt der sich ausdehnenden Kugel mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit bewegt.

Parametrische Form

Ein rechter kugelförmiger Hyperkegel kann beschrieben werden durch die Funktion

${\displaystyle {\vec {\sigma}}(\phi,\theta,t)=(ts\cos\theta\cos\phi,ts\cos\theta\sin\phi,ts\sin\theta,t) }$

mit Scheitelpunkt im Ursprung und Expansionsgeschwindigkeit s .

Ein rechter sphärischer Hyperkegel mit Radius r und Höhe h kann durch die Funktion

${\displaystyle {\vec {\sigma}}(\phi,\theta,t)=(t\cos\phi\sin\theta,t\sin\phi\sin\theta,t\cos\theta,{\ frac {h}{r}}t)}$

Ein schiefer kugelförmiger Hyperkegel könnte dann durch die Funktion

${\displaystyle {\vec {\sigma}}(\phi,\theta,t)=(v_{x}t+ts\cos\theta\cos\phi,v_{y}t+ts\cos\theta\ sin\phi,v_{z}t+ts\sin\theta,t)}$

wo ist die 3-Geschwindigkeit des Zentrums der sich ausdehnenden Kugel. Ein Beispiel für einen solchen Kegel wäre eine sich ausdehnende Schallwelle aus der Sicht eines sich bewegenden Bezugssystems: zB die Schallwelle eines Düsenflugzeugs aus der Sicht des eigenen Bezugssystems des Jets. ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$

Beachten Sie, dass die obigen 3D-Oberflächen 4D-Hypervolumina einschließen , die die eigentlichen 4-Kegel sind.

Geometrische Interpretation

Der Kugelkegel besteht aus zwei unbegrenzten Decken , die sich im Ursprung treffen und die Analoga der Decken der dreidimensionalen Kegelfläche sind. Die obere Decke entspricht der Hälfte mit positiven w- Koordinaten, und die untere Decke entspricht der Hälfte mit negativen w- Koordinaten.

Wenn es zwischen den Hyperebenen w  = 0 und w  =  r für irgendeinen von Null verschiedenen r beschränkt ist , dann kann es durch eine 3-Kugel mit Radius r , zentriert bei (0,0,0, r ), abgeschlossen werden, so dass es a bound endliches 4-dimensionales Volumen. Dieses Volumen ergibt sich aus der Formel1/3π r ⁴ und ist das 4-dimensionale Äquivalent des festen Kegels . Die Kugel kann als „Deckel“ an der Basis der Decke des 4-dimensionalen Kegels betrachtet werden, und der Ursprung wird zu seiner „Spitze“.

Diese Form kann auf verschiedene Weise in den dreidimensionalen Raum projiziert werden. Auf die xyz- Hyperebene projiziert , ist ihr Bild eine Kugel . Bei Projektion auf die xyw- , xzw- oder yzw- Hyperebenen ist das Bild ein fester Kegel . Bei Projektion auf eine schräge Hyperebene ist das Bild entweder ein Ellipsoid oder ein fester Kegel mit ellipsoider Basis (ähnlich einer Eistüte ). Diese Bilder sind die Analoga der möglichen Bilder des festen Kegels, projiziert auf 2 Dimensionen.

Konstruktion

Der (halbe) Hyperkegel kann analog zum Aufbau eines 3D-Kegels konstruiert werden. Man kann sich einen 3D-Kegel als das Ergebnis des Übereinanderstapelns von immer kleineren Scheiben vorstellen, bis sie sich zu einem Punkt verjüngen. Alternativ kann ein 3D-Kegel als das Volumen betrachtet werden, das von einem aufrechten gleichschenkligen Dreieck überstrichen wird, wenn es sich um seine Basis dreht.

Ein 4D-Hyperkegel kann analog konstruiert werden: durch Stapeln von immer kleineren Kugeln übereinander in der 4. Richtung, bis sie sich zu einem Punkt verjüngen, oder indem das Hypervolumen von einem aufrecht stehenden Tetraeder in der 4. Richtung ausgebreitet wird, während er sich frei um seine . dreht Basis in der 3D-Hyperebene, auf der es ruht.

Messungen

Hypervolumen

Das Hypervolumen einer vierdimensionalen Pyramide und eines Kegels ist

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh}$

wobei V das Volumen der Basis und h die Höhe (der Abstand zwischen der Mitte der Basis und der Spitze) ist. Für einen Kugelkegel mit einem Grundvolumen von ist das Hypervolumen ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh={\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right) h={\frac{1}{3}}\pi r^{3}h}$

Oberflächenvolumen

Die Seitenfläche Volumen eines rechten sphärischen Kegel ist , wo der Radius der sphärischen Basis und ist die Seitenhöhe des Kegels (der Abstand zwischen der 2D - Oberfläche der Kugel und der Spitze). Das Oberflächenvolumen der Kugelbasis ist das gleiche wie bei jeder Kugel, . Daher kann das gesamte Oberflächenvolumen eines geraden Kugelkegels wie folgt ausgedrückt werden: ${\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

• Radius und Höhe

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}{\sqrt {r^{2}+h^ {2}}}}$

(das Volumen der Basis plus das Volumen der seitlichen 3D-Fläche; der Begriff ist die schräge Höhe) ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

Wo ist der Radius und die Höhe.${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

• Radius und Schräghöhe

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+l\right)}$

wo ist der Radius und die schräge Höhe.${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$

• Fläche, Radius und Schräghöhe

${\displaystyle {\frac {1}{3}}Ar+{\frac {1}{3}}Al}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}A\left(r+l\right)}$

Dabei ist die Grundfläche, der Radius und die schräge Höhe.${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$

Zeitliche Interpretation

Wenn die w- Koordinate der Kugelkegelgleichung als Abstand ct interpretiert wird , wobei t die Koordinatenzeit und c die Lichtgeschwindigkeit (eine Konstante) ist, dann ist es die Form des Lichtkegels in der speziellen Relativitätstheorie . In diesem Fall wird die Gleichung normalerweise wie folgt geschrieben:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,}$

das ist auch die Gleichung für sphärische Wellenfronten des Lichts. Die obere Decke ist dann der zukünftige Lichtkegel und die untere Decke ist der vergangene Lichtkegel .

Siehe auch

• 3-Kugel
• Hyperwürfel
• Hyperebene
• Hyperfläche
• Verteiler
• Lichtkegel

Verweise