Identitätsmatrix - Identity matrix

3×3-Identitätsmatrix

In der linearen Algebra ist die Identitätsmatrix der Größe n die quadratische n × n- Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen an anderen Stellen. Es wird mit I _n bezeichnet oder einfach mit I, wenn die Größe unwesentlich ist oder durch den Kontext trivial bestimmt werden kann.

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1& \cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Der Begriff Einheitsmatrix ist ebenfalls weit verbreitet, aber der Begriff Identitätsmatrix ist heute Standard. Der Begriff Einheitsmatrix ist mehrdeutig, da er auch für eine Einser-Matrix und für jede Einheit des Rings aller n × n- Matrizen verwendet wird .

In einigen Gebieten, wie der Gruppentheorie oder der Quantenmechanik , wird die Identitätsmatrix manchmal durch eine fettgedruckte 1 bezeichnet oder als "id" (kurz für Identität) bezeichnet; sonst ist es identisch mit I . Weniger häufig verwenden einige Mathematikbücher U oder E , um die Identitätsmatrix darzustellen, was "Einheitsmatrix" bzw. das deutsche Wort Einheitsmatrix bedeutet .

Wenn A ist m × n , ist es eine Eigenschaft der Matrixmultiplikation , dass

${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$

Insbesondere dient die Identitätsmatrix als multiplikative Identität des Rings aller n × n Matrizen und als Identitätselement der allgemeinen linearen Gruppe GL( n ) (eine Gruppe bestehend aus allen invertierbaren n × n Matrizen). Insbesondere ist die Identitätsmatrix invertierbar – wobei ihre Inverse genau sie selbst ist .

Wo n × n Matrizen verwendet werden, um lineare Transformationen von einem n- dimensionalen Vektorraum zu sich selbst darzustellen , repräsentiert I _n die Identitätsfunktion , unabhängig von der Basis .

Die i - te Spalte einer Identitätsmatrix ist der Einheitsvektor e _i (der Vektor ist, dessen i - te Eintrag ist 1 und 0 an anderer Stelle) folgt , daß die Determinante der Identitäts - Matrix gleich 1 ist , und die Spur ist  n .

Mit der Notation, die manchmal verwendet wird, um diagonale Matrizen prägnant zu beschreiben , können wir schreiben:

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots,1).}$

Die Identitätsmatrix kann auch in der Kronecker-Delta- Notation geschrieben werden:

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta_{ij}.}$

Wenn die Identitätsmatrix das Produkt zweier quadratischer Matrizen ist, nennt man die beiden Matrizen die Inverse zueinander.

Die Identitätsmatrix ist die einzige idempotente Matrix mit einer Determinante ungleich Null. Das heißt, es ist die einzige Matrix mit der:

1. Mit sich selbst multipliziert, ist das Ergebnis sich selbst
2. Alle seine Zeilen und Spalten sind linear unabhängig .

Die Hauptquadratwurzel einer Identitätsmatrix ist sie selbst, und dies ist ihre einzige positiv-definitive Quadratwurzel. Jede Identitätsmatrix mit mindestens zwei Zeilen und Spalten hat jedoch unendlich viele symmetrische Quadratwurzeln.

Siehe auch

• Binäre Matrix (Null-Eins-Matrix)
• Elementarmatrix
• Austauschmatrix
• Matrix von Einsen
• Pauli-Matrizen (die Identitätsmatrix ist die nullte Pauli-Matrix)
• Quadratwurzel einer 2 mal 2 Identitätsmatrix
• Einheitsmatrix
• Nullmatrix

Anmerkungen