Bild Moment - Image moment

In der Bildverarbeitung , Computer Vision und verwandte Bereichen, ein Bild Moment ist ein gewisser besonderer gewichteter Durchschnitt ( Moment ) des Bildpixels Intensitäten oder eine Funktion solcher Momente, in der Regel gewählt , eine attraktive Eigenschaft oder Interpretation haben.

Bildmomente sind nützlich, um Objekte nach der Segmentierung zu beschreiben . Zu den einfachen Eigenschaften des Bildes, die über Bildmomente ermittelt werden, gehören der Bereich (oder die Gesamtintensität), sein Schwerpunkt und Informationen zu seiner Ausrichtung .

Rohe Momente

Für eine 2D-stetige Funktion f ( x , y ) ist das Moment (manchmal als "Rohmoment" bezeichnet) der Ordnung ( p + q ) definiert als

${\ displaystyle M_ {pq} = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ Grenzen _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} y ^ {q} f ( x, y) \, dx \, dy}$

für p , q = 0,1,2, ... Wenn dies an ein skalares (Graustufen-) Bild mit Pixelintensitäten I ( x , y ) angepasst wird, werden die Rohbildmomente M _ij durch berechnet

${\ displaystyle M_ {ij} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} x ^ {i} y ^ {j} I (x, y) \, \!}$

In einigen Fällen kann dies berechnet werden, indem das Bild als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion betrachtet wird , dh indem das Obige durch dividiert wird

${\ displaystyle \ sum _ {x} \ sum _ {y} I (x, y) \, \!}$

Ein Eindeutigkeitssatz (Hu [1962]) besagt, dass, wenn f ( x , y ) stückweise stetig ist und nur in einem endlichen Teil der xy- Ebene Werte ungleich Null hat , Momente aller Ordnungen existieren und die Momentenfolge ( M _pq ) ist eindeutig bestimmt durch f ( x , y ). Umgekehrt bestimmt ( M _pq ) eindeutig f ( x , y ). In der Praxis wird das Bild mit Funktionen einiger Momente niedrigerer Ordnung zusammengefasst.

Beispiele

Einfache Bildeigenschaften, die über rohe Momente abgeleitet werden , umfassen:

• Fläche (für Binärbilder) oder Graustufensumme (für Graustufenbilder): ${\ displaystyle M_ {00}}$
• Schwerpunkt: ${\ displaystyle \ {{\ bar {x}}, \ {\ bar {y}} \} = \ left \ {{\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}}, {\ frac {M_ {01}} {M_ {00}}} \ right \}}$

Zentrale Momente

Zentrale Momente sind definiert als

${\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ Grenzen _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x - {\ bar {x}} ) ^ {p} (y - {\ bar {y}}) ^ {q} f (x, y) \, dx \, dy}$

wo und sind die Komponenten des Schwerpunkts . ${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}}}$${\ displaystyle {\ bar {y}} = {\ frac {M_ {01}} {M_ {00}}}$

Wenn ƒ ( x ,  y ) ein digitales Bild ist, wird die vorherige Gleichung

${\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} (x - {\ bar {x}}) ^ {p} (y - {\ bar {y}}) ^ { q} f (x, y)}$

Die zentralen Ordnungsmomente bis 3 sind:

${\ displaystyle \ mu _ {00} = M_ {00}, \, \!}$

${\ displaystyle \ mu _ {01} = 0, \, \!}$

${\ displaystyle \ mu _ {10} = 0, \, \!}$

${\ displaystyle \ mu _ {11} = M_ {11} - {\ bar {x}} M_ {01} = M_ {11} - {\ bar {y}} M_ {10},}$

${\ displaystyle \ mu _ {20} = M_ {20} - {\ bar {x}} M_ {10},}$

${\ displaystyle \ mu _ {02} = M_ {02} - {\ bar {y}} M_ {01},}$

${\ displaystyle \ mu _ {21} = M_ {21} -2 {\ bar {x}} M_ {11} - {\ bar {y}} M_ {20} +2 {\ bar {x}} ^ { 2} M_ {01},}$

${\ displaystyle \ mu _ {12} = M_ {12} -2 {\ bar {y}} M_ {11} - {\ bar {x}} M_ {02} +2 {\ bar {y}} ^ { 2} M_ {10},}$

${\ displaystyle \ mu _ {30} = M_ {30} -3 {\ bar {x}} M_ {20} +2 {\ bar {x}} ^ {2} M_ {10},}$

${\ displaystyle \ mu _ {03} = M_ {03} -3 {\ bar {y}} M_ {02} +2 {\ bar {y}} ^ {2} M_ {01}.}$

Es kann gezeigt werden, dass:

${\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ sum _ {m} ^ {p} \ sum _ {n} ^ {q} {p \ wähle m} {q \ wähle n} (- {\ bar {x} }) ^ {(pm)} (- {\ bar {y}}) ^ {(qn)} M_ {mn}}$

Zentrale Momente sind translatorisch invariant .

Beispiele

Informationen über die Bildorientierung können abgeleitet werden, indem zunächst die zentralen Momente zweiter Ordnung zum Aufbau einer Kovarianzmatrix verwendet werden .

${\ displaystyle \ mu '_ {20} = \ mu _ {20} / \ mu _ {00} = M_ {20} / M_ {00} - {\ bar {x}} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mu '_ {02} = \ mu _ {02} / \ mu _ {00} = M_ {02} / M_ {00} - {\ bar {y}} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mu '_ {11} = \ mu _ {11} / \ mu _ {00} = M_ {11} / M_ {00} - {\ bar {x}} {\ bar {y}}}$

Die Kovarianzmatrix des Bildes ist jetzt ${\ displaystyle I (x, y)}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} [I (x, y)] = {\ begin {bmatrix} \ mu '_ {20} & \ mu' _ {11} \\\ mu '_ {11} & \ mu '_ {02} \ end {bmatrix}}}$ .

Die Eigenvektoren dieser Matrix entsprechen der Haupt- und Nebenachse der Bildintensität, so dass die Orientierung aus dem Winkel des Eigenvektors extrahiert werden kann, der dem größten Eigenwert in Richtung der diesem Eigenvektor am nächsten liegenden Achse zugeordnet ist. Es kann gezeigt werden, dass dieser Winkel Θ durch die folgende Formel gegeben ist:

${\ displaystyle \ Theta = {\ frac {1} {2}} \ arctan \ left ({\ frac {2 \ mu '_ {11}} {\ mu' _ {20} - \ mu '_ {02} }}\Recht)}$

Die obige Formel gilt solange:

${\ displaystyle \ mu '_ {20} - \ mu' _ {02} \ neq 0}$

Die Eigenwerte der Kovarianzmatrix können leicht gezeigt werden

${\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {\ mu '_ {20} + \ mu' _ {02}} {2}} \ pm {\ frac {\ sqrt {4 {\ mu '} _ {11} ^ {2} + ({\ mu '} _ {20} - {\ mu'} _ {02}) ^ {2}}} {2}},}$

und sind proportional zur quadratischen Länge der Eigenvektorachsen. Der relative Größenunterschied der Eigenwerte ist somit ein Hinweis auf die Exzentrizität des Bildes oder wie langgestreckt es ist. Die Exzentrizität ist

${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {1}}}}.}$

Momentinvarianten

Momente sind für ihre Anwendung in der Bildanalyse bekannt, da sie verwendet werden können, um Invarianten in Bezug auf bestimmte Transformationsklassen abzuleiten .

Der Begriff invariante Momente wird in diesem Zusammenhang häufig missbraucht. Während Momentinvarianten Invarianten sind, die aus Momenten gebildet werden, sind die einzigen Momente, die selbst Invarianten sind, die zentralen Momente.

Beachten Sie, dass die unten aufgeführten Invarianten nur im kontinuierlichen Bereich genau invariant sind. In einem diskreten Bereich sind weder Skalierung noch Rotation gut definiert: Ein so transformiertes diskretes Bild ist im Allgemeinen eine Annäherung, und die Transformation ist nicht reversibel. Diese Invarianten sind daher nur annähernd invariant, wenn eine Form in einem diskreten Bild beschrieben wird.

Übersetzungsinvarianten

Die zentralen Momente μ _{i j} jeder Ordnung sind konstruktionsbedingt in Bezug auf Übersetzungen unveränderlich .

Skalieren Sie Invarianten

Invarianten η _{i j} in Bezug auf Translation und Skalierung können aus zentralen Momenten konstruiert werden, indem durch ein richtig skaliertes nulltes zentrales Moment geteilt wird:

${\ displaystyle \ eta _ {ij} = {\ frac {\ mu _ {ij}} {\ mu _ {00} ^ {\ left (1 + {\ frac {i + j} {2}} \ right) }}} \, \!}$

Dabei ist i + j ≥ 2. Beachten Sie, dass die Translationsinvarianz direkt folgt, indem nur zentrale Momente verwendet werden.

Rotationsinvarianten

Wie in der Arbeit von Hu gezeigt, können Invarianten in Bezug auf Translation , Skalierung und Rotation konstruiert werden:

${\ displaystyle I_ {1} = \ eta _ {20} + \ eta _ {02}}$

${\ displaystyle I_ {2} = (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) ^ {2} +4 \ eta _ {11} ^ {2}}$

${\ displaystyle I_ {3} = (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12}) ^ {2} + (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) ^ {2}}$

${\ displaystyle I_ {4} = (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} + (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}}$

${\ displaystyle I_ {5} = (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} -3 (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}] + (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) [3 (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}]}$

${\ displaystyle I_ {6} = (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21 } + \ eta _ {03}) ^ {2}] + 4 \ eta _ {11} (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) (\ eta _ {21} + \ eta _ {03 })}$

${\ displaystyle I_ {7} = (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} -3 (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}] - (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12}) (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) [3 (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}].}$

Diese sind als Hu-Moment-Invarianten bekannt .

Der erste, I ₁ , ist analog zum Trägheitsmoment um den Bildschwerpunkt, wo die Intensitäten der Pixel analog zur physikalischen Dichte sind. Die ersten sechs, I ₁ ... I ₆ , sind reflexionssymmetrisch, dh sie bleiben unverändert, wenn das Bild in ein Spiegelbild geändert wird. Die letzte, I ₇ , ist die Reflexion antisymmetrisch (ändert das Vorzeichen unter Reflexion), wodurch Spiegelbilder von ansonsten identischen Bildern unterschieden werden können.

Eine allgemeine Theorie zur Ableitung vollständiger und unabhängiger Sätze von Rotationsmomentinvarianten wurde von J. Flusser vorgeschlagen. Er zeigte, dass die traditionelle Menge der Hu-Moment-Invarianten weder unabhängig noch vollständig ist. I ₃ ist nicht sehr nützlich, da es von den anderen abhängt (wie?). Im ursprünglichen Hu-Set fehlt eine unabhängige Momentinvariante dritter Ordnung:

${\ displaystyle I_ {8} = \ eta _ {11} [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {03} + \ eta _ {21}) ^ {2}] - (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) (\ eta _ {03} + \ eta _ {21} )}$

Wie ich ₇ , I ₈ ist auch Reflexion antisymmetrisch.

Später spezialisierten J. Flusser und T. Suk die Theorie auf den Fall der N-rotationssymmetrischen Formen.

Anwendungen

Zhang et al. wendete Hu-Moment-Invarianten an, um das Problem der pathologischen Gehirnerkennung (PBD) zu lösen. Doerr und Florence verwendeten Informationen zur Objektorientierung in Bezug auf die zentralen Momente zweiter Ordnung, um translatorisch und rotationsinvariante Objektquerschnitte effektiv aus Mikroröntgentomographie-Bilddaten zu extrahieren.

Externe Links

• Analyse von Binärbildern , University of Edinburgh
• Statistische Momente , Universität von Edinburgh
• Variantenmomente , Seite Maschinenwahrnehmung und Computer Vision (Matlab- und Python-Quellcode)
• Hu Moments Einführungsvideo auf YouTube
• Gist Die Umsetzung dieser Seite, jupyter und Python.

Verweise