Impedanzkontrolle - Impedance control

Die Impedanzregelung ist ein Ansatz zur dynamischen Regelung in Bezug auf Kraft und Position. Es wird häufig in Anwendungen verwendet, bei denen ein Manipulator mit seiner Umgebung interagiert und die Kraftpositionsbeziehung von Bedeutung ist. Beispiele für solche Anwendungen umfassen die Interaktion von Menschen mit Robotern, wobei die vom Menschen erzeugte Kraft sich darauf bezieht, wie schnell sich der Roboter bewegen/anhalten sollte.

Mechanische Impedanz ist das Verhältnis von Kraftausgang zu Bewegungseingang, dies ist analog zur elektrischen Impedanz, die das Verhältnis von Spannungsausgang zu Stromeingang ist (zB Widerstand ist Spannung geteilt durch Strom). Eine "Federkonstante" definiert die Kraftabgabe bei einer Spannung oder Kompression der Feder. Eine "Dämpfungskonstante" definiert die Kraftabgabe für eine Geschwindigkeitseingabe. Wenn wir die Impedanz eines Mechanismus kontrollieren, kontrollieren wir die Widerstandskraft gegen äußere Bewegungen, die von der Umgebung auferlegt werden.

Die mechanische Admittanz ist der Kehrwert der Impedanz – sie definiert die Bewegungen, die aus einer Krafteinwirkung resultieren. Wenn ein Mechanismus eine Kraft auf die Umgebung ausübt, bewegt sich die Umgebung, abhängig von ihren Eigenschaften und der aufgebrachten Kraft. Zum Beispiel reagiert eine auf einem Tisch sitzende Murmel ganz anders auf eine bestimmte Kraft als ein in einem See treibender Baumstamm.

Die Schlüsseltheorie hinter der Methode besteht darin, die Umgebung als Admittanz und den Manipulator als Impedanz zu behandeln . Es geht von dem Postulat aus, dass "kein Controller den Manipulator der Umgebung als etwas anderes als ein physisches System erscheinen lassen kann". Diese "Faustregel" , auch bekannt als "Hogan-Regel", kann auch wie folgt formuliert werden: "im häufigsten Fall, in dem die Umgebung eine Admittanz ist (z. B. eine Masse, möglicherweise kinematisch eingeschränkt), sollte diese Beziehung eine Impedanz sein. eine Funktion, möglicherweise nichtlinear, dynamisch oder sogar diskontinuierlich, die die Kraft angibt, die als Reaktion auf eine von der Umgebung auferlegte Bewegung erzeugt wird."

Prinzip

Die Impedanzkontrolle regelt nicht nur die Kraft oder Position eines Mechanismus. Stattdessen regelt es das Verhältnis zwischen Kraft und Position einerseits und Geschwindigkeit und Beschleunigung andererseits, also die Impedanz der Mechanik. Er benötigt als Eingang eine Position (Geschwindigkeit oder Beschleunigung) und hat als Ausgang eine resultierende Kraft. Der Kehrwert der Impedanz ist die Admittanz. Es erzwingt Position. Tatsächlich erzwingt die Steuerung dem Mechanismus also ein Feder-Masse-Dämpfer-Verhalten, indem sie eine dynamische Beziehung zwischen Kraft und Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung aufrechterhält : , mit Reibung und statischer Kraft. ${\displaystyle ({\boldsymbol {F}})}$${\displaystyle ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=M{\boldsymbol {a}}+C{\boldsymbol {v}}+K{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {f}}+{\boldsymbol { s}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

Massen und Federn (mit Steifigkeit) sind energiespeichernde Elemente, während ein Dämpfer ein Energie dissipierendes Element ist. Wenn wir die Impedanz kontrollieren können, können wir den Energieaustausch während der Interaktion, dh der verrichteten Arbeit, kontrollieren. Impedanzkontrolle ist also Interaktionskontrolle.

Beachten Sie, dass mechanische Systeme von Natur aus mehrdimensional sind – ein typischer Roboterarm kann ein Objekt in drei Dimensionen ( Koordinaten) und in drei Ausrichtungen (zB Rollen, Nicken, Gieren) platzieren. Theoretisch kann ein Impedanzregler bewirken, dass der Mechanismus eine mehrdimensionale mechanische Impedanz aufweist. Beispielsweise könnte der Mechanismus entlang einer Achse sehr steif und entlang einer anderen sehr nachgiebig wirken. Durch Kompensation der Kinematik und Trägheit des Mechanismus können wir diese Achsen beliebig und in verschiedenen Koordinatensystemen ausrichten. Zum Beispiel könnten wir bewirken, dass ein Roboter-Teilehalter tangential zu einer Schleifscheibe sehr steif ist, während er in der Radialachse der Scheibe sehr nachgiebig ist (Steuerungskraft mit wenig Rücksicht auf die Position). ${\displaystyle (x,y,z)}$

Mathematische Grundlagen

Gemeinsamer Raum

Ein unkontrollierter Roboter kann in der Lagrangeschen Formulierung ausgedrückt werden als

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}={\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {q}}}+{\boldsymbol {c}}({\ Fettsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {q} },{\dot{\boldsymbol{q}}})+{\boldsymbol{\tau}}_{\textrm{ext}}}$,

( 1 )

wobei bezeichnet die Gelenkwinkelposition, ist die symmetrische und positiv-definierte Trägheitsmatrix, das Coriolis- und Fliehkraftdrehmoment, das Gravitationsdrehmoment, beinhaltet weitere Drehmomente aus z. B. Eigensteifigkeit, Reibung usw. und fasst alle äußeren Kräfte aus der Umgebung zusammen . Das Betätigungsmoment auf der linken Seite ist die Eingangsgröße des Roboters. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {h}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}_{\mathrm {ext}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}}$

Man kann ein Kontrollgesetz folgender Form vorschlagen:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}={\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d}}-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D }}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d}}-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {M}}}({\ Fettsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }+{\hat {\boldsymbol {c}}}({\boldsymbol {q}},{\dot { \boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {g}}}({\boldsymbol {q}})+{\hat {\boldsymbol {h}}}({\boldsymbol {q}}, {\dot {\boldsymbol {q}}}),}$

( 2 )

wobei die gewünschte Gelenkwinkelposition bezeichnet und die Steuerparameter sind und , , , und das interne Modell der entsprechenden mechanischen Terme sind. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {M}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {c}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {g}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {h}}}}$

Das Einsetzen von ( 2 ) in ( 1 ) ergibt eine Gleichung des Closed-Loop-Systems (gesteuerter Roboter):

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d}}-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D}}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d}}-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}})({\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d}}-{\ddot {\boldsymbol {q}}})={\boldsymbol {\tau}}_{\mathrm {ext}}.}$

Sei , man erhält ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {e}}+{\boldsymbol {D}}{\dot {\boldsymbol {e}}}+{\boldsymbol {M}}{\ddot {\boldsymbol {e}}}={\boldsymbol {\tau}}_{\mathrm {ext}}}$

Da die Matrizen und die Dimension von Steifigkeit und Dämpfung aufweisen, werden sie üblicherweise als Steifigkeits- bzw. Dämpfungsmatrix bezeichnet. Offensichtlich ist der gesteuerte Roboter im Wesentlichen eine mehrdimensionale mechanische Impedanz (Masse-Feder-Dämpfer) gegenüber der Umgebung, die durch angesprochen wird . ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}_{\mathrm {ext}}}$

Aufgabenbereich

Das gleiche Prinzip gilt auch für den Aufgabenraum. Ein ungesteuerter Roboter hat die folgende Aufgabenraumdarstellung in Lagrange-Formulierung:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {\Lambda}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}+{\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\boldsymbol {\gamma}}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {\eta}} ({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext}}}$,

wobei bezeichnet die Gelenkwinkelposition, die Aufgabenraumposition, die symmetrische und positiv-definitive Aufgabenraum-Trägheitsmatrix. Die Terme , , , und sind die verallgemeinerte Kraft des Coriolis- und Zentrifugalterms, die Gravitation, weitere nichtlineare Terme und Umweltkontakte. Beachten Sie, dass diese Darstellung nur für Roboter mit redundanter Kinematik gilt . Die verallgemeinerte Kraft auf der linken Seite entspricht dem Eingangsdrehmoment des Roboters. ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal{F}}}_{\mathrm {ext}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$

Analog kann man folgendes Kontrollgesetz vorschlagen:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }({\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {x }}})+{\hat{\boldsymbol {\Lambda}}}({\boldsymbol{q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d}}+{\hat{ \boldsymbol {\mu}}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {\gamma}}}({\boldsymbol {q}} )+{\hat{\boldsymbol {\eta}}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}}),}$

wobei die gewünschte Position des Aufgabenraums bezeichnet und die Steifigkeits- und Dämpfungsmatrizen des Aufgabenraums und , , , und das interne Modell der entsprechenden mechanischen Terme sind. ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\Lambda}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\gamma}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta}}}}$

Ebenso hat man

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d}}-{\boldsymbol {x}}}$,

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }{\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }{ \dot {\boldsymbol {e}}}_{\mathrm {x} }+{\boldsymbol {\Lambda}}{\ddot {\boldsymbol {e}}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {\mathcal{F}}}_{\mathrm {ext}}}$

( 3 )

als geschlossenes Regelkreissystem, das im Wesentlichen auch eine mehrdimensionale mechanische Impedanz gegenüber der Umgebung ist ( ). Somit kann man die gewünschte Impedanz (hauptsächlich Steifigkeit) im Aufgabenraum wählen. Zum Beispiel kann man den gesteuerten Roboter in einer Richtung sehr steif verhalten lassen, während er in anderen relativ nachgiebig ist, indem man ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal{F}}}_{\mathrm {ext}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1000\end{pmatrix}}\mathrm {N/m} ,}$

Angenommen, der Aufgabenraum ist ein dreidimensionaler euklidischer Raum. Die Dämpfungsmatrix wird üblicherweise so gewählt, dass das Closed-Loop-System ( 3 ) stabil ist . ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }}$

Anwendungen

Die Impedanzsteuerung wird in Anwendungen wie der Robotik als allgemeine Strategie verwendet, um Befehle an einen Roboterarm und einen Endeffektor zu senden, die die nichtlineare Kinematik und Dynamik des manipulierten Objekts berücksichtigen.

Verweise