Beschriftete Figur - Inscribed figure

Beschriftete Kreise verschiedener Polygone
Ein beschriftetes Dreieck eines Kreises
Ein Tetraeder (rot), der in einen Würfel (gelb) eingeschrieben ist, der wiederum in ein rhombisches Triacontaeder (grau) eingeschrieben ist.
(Klicken Sie hier für rotierendes Modell)

In Geometrie , eine Gravierter planar Form oder fester ist und eine , die von „schmiegt“ eingeschlossen ist innerhalb einer anderen geometrischen Form oder fest. Zu sagen, dass "Figur F in Figur G eingeschrieben ist", bedeutet genau dasselbe wie "Figur G ist um Figur F herum umschrieben". Ein Kreis oder eine Ellipse, die in ein konvexes Polygon eingeschrieben ist (oder eine Kugel oder ein Ellipsoid, das in ein konvexes Polyeder eingeschrieben ist ), berührt jede Seite oder Fläche der äußeren Figur ( semantische Varianten siehe jedoch Beschriftete Kugel ). Ein in einen Kreis, eine Ellipse oder ein Polygon eingeschriebenes Polygon (oder ein in eine Kugel, ein Ellipsoid oder ein Polyeder eingeschriebenes Polyeder) hat jeden Scheitelpunkt auf der äußeren Figur. Wenn die äußere Figur ein Polygon oder ein Polyeder ist, muss sich auf jeder Seite der äußeren Figur ein Scheitelpunkt des eingeschriebenen Polygons oder Polyeders befinden. Eine eingeschriebene Figur ist nicht unbedingt eindeutig ausgerichtet; Dies kann zum Beispiel leicht gesehen werden, wenn die gegebene äußere Figur ein Kreis ist. In diesem Fall ergibt eine Drehung einer beschrifteten Figur eine andere eingeschriebene Figur, die mit der ursprünglichen Figur kongruent ist.

Bekannte Beispiele für eingeschriebene Figuren sind Kreise, die in Dreiecken oder regelmäßigen Polygonen eingeschrieben sind , und Dreiecke oder regelmäßige Polygone, die in Kreise eingeschrieben sind. Ein Kreis in jedem Polygon eingeschrieben ist , das genannt Inkreis , wobei in diesem Fall das Polygon gesagt wird ein zu Tangentenvieleck . Ein Polygon in einem Kreis eingeschrieben ist , wobei ein sein zyklisches Polygons , und der Kreis wird gesagt, dessen Umkreises oder sein Umkreises .

Die inradius oder Füllungs Radius eines gegebenen äußeren Figur ist der Radius des einbeschriebenen Kreises oder einer Kugel, wenn sie existiert.

Die oben angegebene Definition geht davon aus, dass die betreffenden Objekte in einen zwei- oder dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind , aber leicht auf höhere Dimensionen und andere metrische Räume verallgemeinert werden können .

Eine alternative Verwendung des Begriffs "beschriftet" finden Sie im Problem der beschrifteten Quadrate , bei dem ein Quadrat als in einer anderen Figur (auch einer nicht konvexen ) eingeschrieben betrachtet wird, wenn sich alle vier Eckpunkte in dieser Figur befinden.

Eigenschaften

  • Jeder Kreis hat ein beschriftetes Dreieck mit drei gegebenen Winkelmaßen (natürlich summiert auf 180 °), und jedes Dreieck kann in einen Kreis eingeschrieben werden (der als umschriebener Kreis oder Umkreis bezeichnet wird).
  • Jedes Dreieck hat ein Inkreis, die genannt incircle .
  • Jeder Kreis hat ein eingeschriebenes reguläres Polygon mit n Seiten für jedes n ≥3, und jedes reguläre Polygon kann in einen Kreis eingeschrieben werden (der als sein Kreis bezeichnet wird).
  • Jedes reguläre Polygon hat einen beschrifteten Kreis (als sein Kreis bezeichnet), und jeder Kreis kann für jedes n ≥3 in ein reguläres Polygon mit n Seiten eingeschrieben werden.
  • Nicht jedes Polygon mit mehr als drei Seiten hat einen beschrifteten Kreis. Diese Polygone werden als tangentiale Polygone bezeichnet . Nicht jedes Polygon mit mehr als drei Seiten ist ein eingeschriebenes Polygon eines Kreises. Die so eingeschriebenen Polygone werden als zyklische Polygone bezeichnet .
  • Jedes Dreieck kann in eine Ellipse eingeschrieben werden, die als Steiner-Zirkellellipse oder einfach als Steiner-Ellipse bezeichnet wird und deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks ist .
  • Jedes Dreieck hat unendlich viele eingeschriebene Ellipsen . Einer von ihnen ist ein Kreis, und einer von ihnen ist die Steiner-Inellipse, die das Dreieck an den Mittelpunkten der Seiten tangiert.
  • Jedes spitze Dreieck hat drei eingeschriebene Quadrate . In einem rechtwinkligen Dreieck werden zwei von ihnen zusammengeführt und fallen zusammen, sodass nur zwei unterschiedliche beschriftete Quadrate vorhanden sind. Ein stumpfes Dreieck hat ein einzelnes beschriftetes Quadrat, wobei eine Seite mit einem Teil der längsten Seite des Dreiecks zusammenfällt.
  • Ein Reuleaux-Dreieck oder allgemein eine beliebige Kurve konstanter Breite kann mit einer beliebigen Ausrichtung innerhalb eines Quadrats der entsprechenden Größe beschriftet werden .

Siehe auch

Externe Links