Einführung in Gitter und Ordnung -Introduction to Lattices and Order
Einführung in Gitter und Ordnung ist ein mathematisches Lehrbuch zur Ordnungstheorie von Brian A. Davey und Hilary Priestley . Es wurde 1990 von der Cambridge University Press in ihrer Cambridge Mathematical Textbooks-Reihe veröffentlicht, mit einer zweiten Auflage im Jahr 2002. Die zweite Auflage unterscheidet sich in ihren Themen und ihrer Organisation erheblich und wurde überarbeitet, um die jüngsten Entwicklungen in diesem Bereich zu berücksichtigen, insbesondere in ihrer Anwendungen in der Informatik . Das Basic Library List Committee der Mathematical Association of America hat seine Aufnahme in Mathematikbibliotheken für Bachelor-Studiengänge vorgeschlagen.
Themen
Beide Ausgaben des Buches haben 11 Kapitel; im zweiten Buch sind sie organisiert, wobei die ersten vier ein allgemeines Nachschlagewerk für Mathematiker und Informatiker darstellen und die restlichen sieben sich auf spezielleres Material für Logiker, Topologen und Gittertheoretiker konzentrieren.
Das erste Kapitel betrifft teilgeordnete Mengen , wobei ein grundlegendes Beispiel durch die Teilfunktionen gegeben ist, die nach der Teilmengenrelation in ihren Graphen geordnet sind , und behandelt grundlegende Konzepte einschließlich oberer und unterer Elemente sowie oberer und unterer Mengen . Diese Ideen führen zum zweiten Kapitel über Gitter , in dem alle zwei Elemente (oder in vollständigen Gittern jede Menge) eine größte untere und eine kleinste obere Schranke haben. Dieses Kapitel beinhaltet die Konstruktion eines Gitters aus den unteren Mengen beliebiger partieller Ordnung und den Knaster-Tarski-Satz zur Konstruktion eines Gitters aus den Fixpunkten einer ordnungserhaltenden Funktion auf einem vollständigen Gitter. Kapitel drei befasst sich mit der formalen Konzeptanalyse , ihrer Konstruktion von "Konzeptgittern" aus Sammlungen von Objekten und ihren Eigenschaften, wobei jedes Gitterelement sowohl eine Menge von Objekten als auch eine Menge von Eigenschaften darstellt, die von diesen Objekten gehalten werden, und die Universalität dieser Konstruktion bei der Bildung komplette Gitter. Das vierte der einleitenden Kapitel betrifft spezielle Klassen von Gittern, einschließlich modularer Gitter , distributiver Gitter und boolescher Gitter .
Im zweiten Teil des Buches befasst sich Kapitel 5 mit dem Satz, dass jedes endliche Boolesche Gitter isomorph zum Gitter von Teilmengen einer endlichen Menge ist, und (weniger trivial) den Darstellungssatz von Birkhoff, nach dem jedes endliche Verteilungsgitter isomorph zum Gitter ist niedrigerer Mengen endlicher Teilordnung. Kapitel 6 behandelt Kongruenzrelationen auf Gittern. Die Themen in Kapitel 7 umfassen Schließoperationen und Galois-Verbindungen auf Teilordnungen sowie die Dedekind-MacNeille-Vervollständigung einer Teilordnung in das kleinste vollständige Gitter, das sie enthält. Die nächsten beiden Kapitel befassen sich mit vollständigen Teilordnungen , ihren Fixpunktsätzen, Informationssystemen und ihren Anwendungen auf die denotationale Semantik . Kapitel 10 diskutiert ordnungstheoretische Äquivalente des Auswahlaxioms , einschließlich Erweiterungen der Darstellungssätze aus Kapitel 5 auf unendliche Gitter, und das letzte Kapitel diskutiert die Darstellung von Gittern mit topologischen Räumen, einschließlich des Darstellungssatzes von Stone für Boolesche Algebren und der Dualitätstheorie für Verteilungsgitter .
Zwei Anhänge bieten Hintergrundinformationen zur Topologie, die für das letzte Kapitel benötigt werden, und eine kommentierte Bibliographie.
Publikum und Rezeption
Dieses Buch richtet sich an Studienanfänger, kann aber auch von fortgeschrittenen Studenten verwendet werden. Seine vielen Übungen machen es als Lehrbuch geeignet und dienen sowohl dazu, Details aus der Exposition im Buch zu ergänzen, als auch Hinweise auf zusätzliche Themen zu geben. Obwohl von seinen Lesern eine gewisse mathematische Raffinesse verlangt wird, sind die Hauptvoraussetzungen diskrete Mathematik , abstrakte Algebra und Gruppentheorie .
Der Rezensent Josef Niederle nennt die Erstausgabe "ein ausgezeichnetes Lehrbuch", "aktuell und übersichtlich". In ähnlicher Weise lobt Thomas S. Blyth die Erstausgabe als "einen gut geschriebenen, befriedigenden, informativen und anregenden Bericht über Anwendungen, die von großem Interesse sind", und schreibt in einer aktualisierten Rezension, dass die zweite Ausgabe genauso gut ist wie die erste. Auch wenn Jon Cohen einige Spitzfindigkeiten bei der Anordnung und Auswahl von Themen hat (insbesondere die Einbeziehung von Kongruenzen auf Kosten einer kategorietheoretischen Sicht des Themas), kommt er zu dem Schluss, dass das Buch "eine wunderbare und zugängliche Einführung in die Gittertheorie" ist , für Informatiker und Mathematiker gleichermaßen interessant".
Sowohl Blyth als auch Cohen weisen auf den geschickten Umgang des Buches mit LaTeX zum Erstellen seiner Diagramme und seine hilfreichen Beschreibungen zur Erstellung der Diagramme hin.