Intuitionismus - Intuitionism

In der Philosophie der Mathematik ist Intuitionismus oder Neointuitionismus (im Gegensatz zum Präintuitionismus ) ein Ansatz, bei dem die Mathematik als reines Ergebnis der konstruktiven geistigen Aktivität des Menschen und nicht als die Entdeckung grundlegender Prinzipien betrachtet wird, die angeblich in einer objektiven Realität existieren. Das heißt, Logik und Mathematik werden nicht als analytische Aktivitäten betrachtet, bei denen tiefe Eigenschaften der objektiven Realität offenbart und angewendet werden, sondern als Anwendung intern konsistenter Methoden, die verwendet werden, um komplexere mentale Konstrukte zu realisieren, ungeachtet ihrer möglichen unabhängigen Existenz in einer objektiven Realität .

Wahrheit und Beweis

Das grundlegende Unterscheidungsmerkmal des Intuitionismus ist seine Interpretation dessen, was es bedeutet, dass eine mathematische Aussage wahr ist. In Brouwers ursprünglichem Intuitionismus ist die Wahrheit einer mathematischen Aussage eine subjektive Behauptung: Eine mathematische Aussage entspricht einer mentalen Konstruktion, und ein Mathematiker kann die Wahrheit einer Aussage nur behaupten, indem er die Gültigkeit dieser Konstruktion durch Intuition überprüft . Die Unbestimmtheit des intuitionistischen Wahrheitsbegriffs führt oft zu Fehlinterpretationen seiner Bedeutung. Kleene definierte formal die intuitionistische Wahrheit von einer realistischen Position aus, aber Brouwer würde diese Formalisierung wahrscheinlich als bedeutungslos ablehnen, da er die realistische / platonische Position ablehnte. Die intuitionistische Wahrheit bleibt daher etwas unscharf. Da jedoch der intuitionistische Wahrheitsbegriff restriktiver ist als der der klassischen Mathematik, muss der Intuitionist einige Annahmen der klassischen Logik ablehnen, um sicherzustellen, dass alles, was sie beweisen, tatsächlich intuitionistisch wahr ist. Dies führt zu einer intuitionistischen Logik .

Für einen Intuitionisten ist die Behauptung, dass ein Objekt mit bestimmten Eigenschaften existiert, eine Behauptung, dass ein Objekt mit diesen Eigenschaften konstruiert werden kann. Jedes mathematische Objekt wird als Produkt einer Konstruktion eines Geistes betrachtet , und daher ist die Existenz eines Objekts gleichbedeutend mit der Möglichkeit seiner Konstruktion. Dies steht im Gegensatz zum klassischen Ansatz, der besagt, dass die Existenz einer Entität bewiesen werden kann, indem ihre Nichtexistenz widerlegt wird. Für den Intuitionisten gilt dies nicht; die Widerlegung der Nichtexistenz bedeutet nicht, dass es möglich ist, für das mutmaßliche Objekt eine Konstruktion zu finden, wie sie zur Behauptung seiner Existenz erforderlich ist. Als solcher ist der Intuitionismus eine Variante des mathematischen Konstruktivismus ; aber es ist nicht die einzige Art.

Die Interpretation der Negation ist in der intuitionistischen Logik anders als in der klassischen Logik. In der klassischen Logik behauptet die Negation einer Aussage, dass die Aussage falsch ist ; Für einen Intuitionisten bedeutet dies, dass die Aussage widerlegbar ist . Somit besteht im Intuitionismus eine Asymmetrie zwischen einer positiven und einer negativen Aussage. Wenn eine Aussage P beweisbar ist, dann kann P sicherlich nicht widerlegbar sein. Aber auch wenn gezeigt werden kann, dass P nicht widerlegt werden kann, ist dies kein Beweis für P . Somit ist P eine stärkere Aussage als not-not-P .

In ähnlicher Weise zu behaupten , daß A oder B hält, zu einer intuitionist ist, dadurch , dass entweder A oder B sein kann bewiesen . Insbesondere wird das Gesetz vom ausgeschlossenen MittlerenA oder nicht A “ nicht als gültiger Grundsatz akzeptiert. Wenn A zum Beispiel eine mathematische Aussage ist, die ein Intuitionist noch nicht bewiesen oder widerlegt hat, dann wird dieser Intuitionist die Wahrheit von „ A oder nicht A “ nicht behaupten . Der Intuitionist wird jedoch akzeptieren, dass „ A und nicht A “ nicht wahr sein kann. Somit genügen die Konnektoren „und“ und „oder“ der intuitionistischen Logik nicht den Gesetzen von de Morgan wie in der klassischen Logik.

Intuitionistische Logik ersetzt abstrakte Wahrheit durch Konstruierbarkeit und ist in der modernen Mathematik mit einem Übergang vom Beweis der Modelltheorie zur abstrakten Wahrheit verbunden . Der logische Kalkül bewahrt über Transformationen hinweg, die abgeleitete Aussagen ergeben, die Rechtfertigung anstelle der Wahrheit. Es wurde als philosophische Unterstützung für mehrere philosophische Schulen angesehen, insbesondere den Antirealismus von Michael Dummett . So, im Gegensatz zu dem ersten Eindruck könnte sein Name vermitteln, und wie in spezifischen realisiert Ansätze und Disziplinen (zB Fuzzy - Sets und Systeme), intuitionist Mathematik ist strenger als konventionell gegründet Mathematik, wo ironischerweise die grundlegenden Elemente , den Intuitionism Versuche Konstrukt /refute/refound werden als intuitiv gegeben angesehen.

Unendlichkeit

Unter den verschiedenen Formulierungen des Intuitionismus gibt es mehrere unterschiedliche Positionen zur Bedeutung und Realität der Unendlichkeit.

Der Begriff potenzielle Unendlichkeit bezieht sich auf ein mathematisches Verfahren, bei dem es eine endlose Reihe von Schritten gibt. Nach jedem abgeschlossenen Schritt muss immer ein weiterer Schritt ausgeführt werden. Betrachten Sie zum Beispiel den Zählvorgang: 1, 2, 3, ...

Der Begriff tatsächliche Unendlichkeit bezieht sich auf ein abgeschlossenes mathematisches Objekt, das eine unendliche Anzahl von Elementen enthält. Ein Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen , N = {1, 2, ...}.

In Cantors Formulierung der Mengenlehre gibt es viele verschiedene unendliche Mengen, von denen einige größer sind als andere. Zum Beispiel ist die Menge aller reellen Zahlen R größer als N , weil jedes Verfahren, das Sie verwenden möchten, um die natürlichen Zahlen in eine eins-zu-eins-Entsprechung mit den reellen Zahlen zu bringen, immer fehlschlägt: Es wird immer eine unendliche Zahl geben von reellen Zahlen "überbleibt". Jede unendliche Menge, die in eine eins-zu-eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden kann, wird als "abzählbar" oder "abzählbar" bezeichnet. Unendliche Mengen, die größer sind, werden als "unzählbar" bezeichnet.

Cantors Mengenlehre führte zum axiomatischen System der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZFC), der heute gebräuchlichsten Grundlage der modernen Mathematik . Der Intuitionismus entstand zum Teil als Reaktion auf Cantors Mengenlehre.

Die moderne konstruktive Mengenlehre beinhaltet das Axiom der Unendlichkeit aus ZFC (oder eine überarbeitete Version dieses Axioms) und die Menge N der natürlichen Zahlen. Die meisten modernen konstruktiven Mathematiker akzeptieren die Realität abzählbar unendlicher Mengen (siehe jedoch Alexander Esenin-Volpin für ein Gegenbeispiel).

Brouwer lehnte das Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit ab, gab aber die Idee der potentiellen Unendlichkeit zu.

"Laut Weyl 1946 hat Brouwer, wie ich glaube, über jeden Zweifel erhaben gemacht, dass es keine Beweise für den Glauben an den existenziellen Charakter der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen gibt ... schon durch den Übergang zur nächsten Zahl erreicht, ist eine Mannigfaltigkeit von Möglichkeiten, die ins Unendliche hin offen ist, sie bleibt für immer im Zustand der Schöpfung, ist aber kein abgeschlossenes Reich der an sich existierenden Dinge Quelle unserer Schwierigkeiten, einschließlich der Antinomien – eine Quelle grundlegenderer Natur, als Russells Teufelskreisprinzip angedeutet hat. Brouwer öffnete unsere Augen und ließ uns sehen, inwieweit die klassische Mathematik, genährt von einem Glauben an das „Absolute“, das alle menschlichen Möglichkeiten der Erkenntnis, geht über solche Aussagen hinaus, die auf Beweisen begründete wahre Bedeutung und Wahrheit beanspruchen können." (Kleene (1952): Einführung in die Metamathematik , S. 48-49)

Geschichte

Die Geschichte des Intuitionismus kann auf zwei Kontroversen in der Mathematik des 19. Jahrhunderts zurückgeführt werden.

Die erste davon war die Erfindung der transfiniten Arithmetik durch Georg Cantor und ihre anschließende Ablehnung durch eine Reihe prominenter Mathematiker, darunter vor allem sein Lehrer Leopold Kronecker – ein überzeugter Finist .

Die zweite davon war Gottlob Freges Versuch, die gesamte Mathematik durch die Mengenlehre und ihre Entgleisung durch den jungen Bertrand Russell , den Entdecker des Russellschen Paradoxons, auf eine logische Formulierung zu reduzieren . Frege hatte ein dreibändiges endgültiges Werk geplant, aber gerade als der zweite Band in Druck gehen sollte, schickte Russell Frege einen Brief, in dem er sein Paradox darlegte, das zeigte, dass eine von Freges Regeln der Selbstreferenz widersprüchlich war. In einem Anhang zum zweiten Band räumte Frege ein, dass eines der Axiome seines Systems tatsächlich zu Russells Paradox führte.

Frege, so heißt es, sei in Depressionen gestürzt und habe den dritten Band seines Werkes nicht wie geplant veröffentlicht. Weitere Informationen finden Sie in Davis (2000) Kapitel 3 und 4: Frege: From Breakthrough to Despair und Cantor: Detour through Infinity. Siehe van Heijenoort für die Originalwerke und van Heijenoorts Kommentar.

Diese Kontroversen sind eng miteinander verbunden, da die logischen Methoden, die Cantor zum Beweis seiner Ergebnisse in der transfiniten Arithmetik verwendet, im Wesentlichen die gleichen sind, die Russell bei der Konstruktion seines Paradoxons verwendet hat. Daher hat die Art und Weise, wie man Russells Paradox auflöst, direkte Auswirkungen auf den Status, der Cantors transfiniter Arithmetik zukommt.

Im frühen 20. Jahrhundert vertrat LEJ Brouwer die intuitionistische Position und David Hilbert die formalistische Position – siehe van Heijenoort. Kurt Gödel bot als Platoniker bezeichnete Meinungen an (siehe verschiedene Quellen zu Gödel). Alan Turing meint: "nicht-konstruktive Logiksysteme, bei denen nicht alle Schritte in einem Beweis mechanisch sind, einige sind intuitiv". (Turing 1939, abgedruckt in Davis 2004, S. 210) Später brachte Stephen Cole Kleene in seiner Einführung in die Metamathematik (1952) eine rationalere Betrachtung des Intuitionismus an.

Mitwirkende

Zweige der intuitiven Mathematik

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

In Kapitel 39 Grundlagen gibt Anglin in Bezug auf das 20. Jahrhundert sehr genaue, kurze Beschreibungen des Platonismus (in Bezug auf Gödel), des Formalismus (in Bezug auf Hilbert) und des Intuitionismus (in Bezug auf Brouwer).
  • Martin Davis (Hrsg.) (1965), The Undecidable , Raven Press, Hewlett, NY. Zusammenstellung von Originalarbeiten von Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser und Post. Wiederveröffentlicht als Davis, Martin, ed. (2004). Das Unentscheidbare . Courier Dover Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-43228-1.
  • Martin Davis (2000). Engines of Logic: Mathematiker und der Ursprung des Computers (1. Aufl.). WW Norton & Company, New York. ISBN 0-393-32229-7.
  • John W. Dawson Jr., Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
Weniger lesbar als Goldstein, aber in Kapitel III Exkursion gibt Dawson eine ausgezeichnete "A Capsule History of the Development of Logic to 1928".
  • Rebecca Goldstein , Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Godel , Atlas Books, WW Norton, New York, 2005.
In Kapitel II gibt Hilbert und die Formalisten Goldstein einen weiteren historischen Kontext. Als Platoniker hielt sich Gödel dem logischen Positivismus des Wiener Kreises gegenüber zurück. Goldstein diskutiert Wittgensteins Wirkung und die Wirkung der Formalisten. Goldstein stellt fest, dass die Intuitionisten dem Platonismus noch mehr ablehnend gegenüberstanden als dem Formalismus .
  • van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Nachdruck mit Korrekturen, 1977. Die folgenden Artikel erscheinen in van Heijenoort:
  • LEJ Brouwer , 1923, Zur Bedeutung des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie [mit Kommentar abgedruckt, S. 334, van Heijenoort]
  • Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Zum Prinzip der ausgeschlossenen Mitte , [nachgedruckt mit Kommentar, S. 414, van Heijenoort]
  • LEJ Brouwer , 1927, On the domains of definitions of function , [mit Kommentar abgedruckt, S. 446, van Heijenoort]
Obwohl dies nicht direkt von Bedeutung ist, verwendet Brouwer in seinem (1923) bestimmte Wörter, die in diesem Aufsatz definiert sind.
  • LEJ Brouwer , 1927(2), Intuitionistische Reflexionen über den Formalismus , [mit Kommentar abgedruckt, S. 490, van Heijenoort]
  • Jacques Herbrand, (1931b), "Über die Konsistenz der Arithmetik", [Nachdruck mit Kommentar, S. 618ff, van Heijenoort]
Aus van Heijenoorts Kommentar ist unklar, ob Herbrand ein wahrer "Intuitionist" war oder nicht; Gödel (1963) behauptete, dass tatsächlich "...Herbrand ein Intuitionist war". Aber van Heijenoort sagt, Herbrands Konzeption sei "im Großen und Ganzen viel näher an der von Hilberts Wort 'finitär' ('finit') gewesen als an "intuitionistisch", wie sie auf Brouwers Lehre angewendet wird.
  • Hesseling, Dennis E. (2003). Gnome im Nebel. Die Rezeption von Brouwers Intuitionismus in den 1920er Jahren . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6.
  • Arend Heyting : Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuitionismus: Eine Einführung (3d rev. ed.). Amsterdam: Nordholland Pub. Co. ISBN 0-7204-2239-6.
  • Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Einführung in die Meta-Mathematik (Zehnter Eindruck 1991 Hrsg.). Amsterdam NY: Nordholland-Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9.
In Kapitel III Eine Kritik des mathematischen Denkens, §11. Die Paradoxien , Kleene diskutiert Intuitionismus und Formalismus eingehend. Im weiteren Verlauf des Buches behandelt und vergleicht er sowohl formalistische (klassische) als auch intuitionistische Logiken, wobei der Schwerpunkt auf ersterem liegt.
  • Stephen Cole Kleene und Richard Eugene Vesley , The Foundations of Intuitionistic Mathematics , North-Holland Publishing Co. Amsterdam, 1965. Der Leitsatz sagt alles "Die konstruktive Tendenz in der Mathematik...". Ein Text für Spezialisten, aber in Kleenes wunderbar klarer Manier geschrieben.
  • Hilary Putnam und Paul Benacerraf , Philosophy of Mathematics: Selected Readings , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2. Aufl., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN  0-521-29648-X
Teil I. Die Grundlagen der Mathematik , Symposium über die Grundlagen der Mathematik
  • Rudolf Carnap , Die logistischen Grundlagen der Mathematik , p. 41
  • Arend Heyting , Die intuitionistischen Grundlagen der Mathematik , p. 52
  • Johann von Neumann , Die formalistischen Grundlagen der Mathematik , p. 61
  • Arend Heyting, Disputation , p. 66
  • LEJ Brouwer, Intuitionnismus und Formalismus , p. 77
  • LEJ Brouwer, Bewusstsein, Philosophie und Mathematik , p. 90
  • Constance Reid , Hilbert , Copernicus – Springer-Verlag, 1. Auflage 1970, 2. Auflage 1996.
Die endgültige Biographie von Hilbert stellt sein "Programm" in den historischen Kontext zusammen mit den anschließenden, manchmal bösartigen Kämpfen zwischen den Intuitionisten und den Formalisten.
  • Paul Rosenbloom , Die Elemente der mathematischen Logik , Dover Publications Inc, Mineola, New York, 1950.
Im Stil der Principia Mathematica – viele Symbole, teils antik, teils aus deutscher Schrift. Sehr gute Diskussionen über Intuitionismus an folgenden Stellen: Seiten 51–58 in Abschnitt 4 Viele geschätzte Logiken, Modallogiken, Intuitionismus; Seiten 69–73 Kapitel III Die Logik der Aussagenfunktionen Abschnitt 1 Informelle Einführung; und P. 146-151 Abschnitt 7 das Axiom der Wahl.
Eine Neubewertung des Intuitionismus aus der Sicht (unter anderem) der konstruktiven Mathematik und der nicht standardisierten Analyse .

Sekundärreferenzen

  • AA Markov (1954) Theorie der Algorithmen . [Übersetzt von Jacques J. Schorr-Kon und PST-Mitarbeitern] Impressum Moskau, Akademie der Wissenschaften der UdSSR, 1954 [dh Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; erhältlich beim Office of Technical Services, US Dept. of Commerce, Washington] Beschreibung 444 p. 28cm. tp hinzugefügt in der russischen Übersetzung der Werke des Mathematischen Instituts, Akademie der Wissenschaften der UdSSR, V. 42. Originaltitel: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Bibliothek des Dartmouth College. US Dept. of Commerce, Office of Technical Services, Nummer OTS 60–51085.]
Eine sekundäre Referenz für Fachleute: Markov meinte: "Die ganze Bedeutung der Präzisierung des Begriffs des Algorithmus für die Mathematik ergibt sich jedoch im Zusammenhang mit dem Problem einer konstruktiven Begründung der Mathematik ....[S. 3, kursiv hinzugefügt. ] Markov glaubte, dass weitere Anwendungen seines Werkes „ein besonderes Buch verdienen, das der Autor in Zukunft schreiben möchte“ (S. 3) Leider ist dieses Werk anscheinend nie erschienen.

Externe Links